Forum de mathématiques - Bibm@th.net

zarga

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exo

Salut,
j'ai l'exercice suivant et je n'ai pas d'idée pour le faire.
Soit [tex] T \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex] où [tex]\Omega[/tex] est un ouvert de [tex]\mathbb{R}^n.$[/tex] On suppose qu'il existe une constante [tex]c[/tex] telle que
[tex] \forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega), |<T , \varphi > | \leq c \sqrt{\displaystyle\int_{\Omega} |\varphi(x)|^2 dx}[/tex]

Montrer qu'il existe [tex] f \in L^2(\Omega)[/tex] telle que
[tex] \forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega), < T , \varphi> = \displaystyle\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx.[/tex]
Merci par avance.

Fred

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Re : exo

Salut,

  Démontrer que [tex]T[/tex] s'étend en une forme linéaire continue sur [tex]L^2(\Omega)[/tex]
et le fait que l'on connait les formes linéaires continues sur cet espace.

Fred.

zarga

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Re : exo

Il y'a un point pas  pas très nette. C'est comment expliquer que [tex]T[/tex] s'étend à une fonction continue de [tex]L^2(\Omega)?[/tex] L'hypothèse de l'exercice nous dit que [tex]T[/tex] est continue dans [tex]L^2,[/tex] et où intervient exactement la densité de [tex]\mathcal{D}[/tex] dans [tex]L^2?[/tex] Merci bien.

x-member

Invité

Re : exo

je pense que, L'hypothèse de l'exercice nous ne dit pas que T est continue dans L^2.
c'est quoi la continuité dans L^2.

zarga

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Re : exo

La continuité de [tex]T[/tex] dit que pour tout compact [tex]K[/tex] et pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega)[/tex] il existe une constante [tex]c > 0[/tex] et [tex]m \in \mathbb{N}[/tex] tels que [tex] |<T,\varphi>| \leq c \sup_{x\in K, \alpha \leq m} |D^{\alpha} \varphi|[/tex]
et la continuité de dans [tex]L^2[/tex] c'est pour tout [tex] \varphi \in L^2, T(\varphi) \leq c ||\varphi||_{L^2}[/tex]
je pense que c'est là qu'il faut utiliser la densité, mais comment?
alors que veut dire l"hypothèse de l'exo? j'ai posé la question un peu partout est personne n'a l'air de comprendre. Merci!

Dernière modification par zarga (16-02-2013 18:57:12)

Fred

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Re : exo

Tu as presque l'hypothèse de continuité dans [tex]L^2[/tex], mais avec simplement les fonctions
de [tex]\mathcal D(\Omega)[/tex]. Pour l'obtenir avec toutes les fonctions de [tex]L^2[/tex],
il faut simplement raisonner par densité.

F.

zarga

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Re : exo

on sait que [tex]\mathcal{D}[/tex] est dense dans [tex]L^2[/tex] et mon problème est: comment utiliser  cette densité pour dire que T est continue sur
L^2? merci!

zarga

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Re : exo

est-ce que dire: puisqe [tex]\mathcal{D}(\Omega)[/tex] est dense dans [tex]L^2[/tex] alors l'hypothèse de l'exo est vrai pour tout [tex]\varphi \in L^2[/tex]?
mais ca me parait incomplet. Pourquoi cette densité permet de dire que T est continue sur  [tex]L^2[/tex]? merci!

Dernière modification par zarga (16-02-2013 20:26:08)

zarga

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Re : exo

Quel est le théorème qui affirme que puisque [tex]\mathcal{D}(\Omega)[/tex] est dense dans [tex]L^2(\Omega)[/tex] alors l'application T se prolonge continument à [tex]L^2(\Omega)?[/tex]merci!

Roro

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Re : exo

Bonsoir,

Je ne sais pas si un tel "théorème" a un nom mais tu dois pouvoir le démontrer assez facilement (encore faudrait-il essayer!).
Comment pourrais-tu construire le prolongement de ta fonction ? (utilise que les espaces en jeu sont complets)

Roro.

zarga

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Re : exo

C'est le théorème de prolongement. Mon problème est ainsi réglé, merci!