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Michael Hédi Ben Ali

Invité

exercice theoreme de projection sur un convexe fermé

Bonjour ,

voila j'ai pas idée comment trouver la solution de cette exercice, quelqu'un peut il me donner des indications ?

Soit H un espace de Hilbert :
determiner:
1) La projection sur le segment [0,e] où e est un vecteur unitaire de H
2)La projection sur la boule unité fermée de H

Soit C une partie convexe fermée non vide de H. notons Pc la projection sur C

3) montrer que que que soit x,y dans H ||Pc(x)-Pc(y)||<= ||x-y|| (<= inferieur ou égal)
4)montrer que , si F est un sous espace vectoriel fermé de H contenant C, on a Pc o Pf = Pc
5) Donner un exemple de deux fonctions convexes fermés C et C' pour lequels on a C inclus dans C' et Pc o Pc' différent Pc (utiliser 1 et 2)

Voila la seule que j'ai reussi a faire est la question 3 pour la 1, 2 jai pas d'idée comment attaqué le probleme j'ai essayer en utilisant le fait que Pc est l'unique point vérifiant Pc(x) apartient a F et
x-Pc(x) appartient a F orthogonal mais jai rien trouver, de plus jai du mal a calculer l'espace orthogonal car on a pas de produit scalaire bien définie .

Merci d'avance pour votre aide :)

Fred

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Re : exercice theoreme de projection sur un convexe fermé

Bonjour,

  Alors on va commencer par la question 1).
J'ai une suggestion : commence par répondre à la question dans un espace de dimension 2 en faisant un dessin!,
ce sera plus facile ainsi et cela te permettra de deviner la réponse dans le cas général.

F.