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Juju79

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Messages : 8

suite de Sturm

Bonjour, voici notre problème:

Soit P(x) un polynôme (à coefficients réels) n'ayant que des racines simples.

La suite de Sturm de ce polynôme est une suite de polynômes qui permet de déterminer le nombre de racines de P dans un intervalle donné. Elle est définie de la façon suivante : on écrit P0(x)=P(x), et P1(x)=P'(x), où P' est le polynôme dérivé de P.

Pour calculer P2, on écrit alors
P0(x)=P1(x)Q1(x)-P2(x),
où le degré de P2 est strictement inférieur à celui de P1.

En d'autres termes, P2 est l'opposé du reste dans la division euclidienne de P0 par P1. Puis on recommence pour calculer P3 :
P1(x)=P2(x)Q2(x)-P3(x),
et ainsi de suite...

On s'arrête lorsqu'on obtient un polynôme constant Pn, ce qui arrive forcément puisque les degrés des polynômes obtenus décroissent à chaque division.
La suite de Sturm du polynôme P est alors : S(x)=(P0(x),P1(x),...,Pn(x)).

Ensuite, pour chaque x, on note V(x) le nombre de changements de signes dans la suite V(x).

Le théorème de Sturm s'énonce à présent ainsi :
Le nombre de racines de P dans l'intervalle [u,v] est égal à la différence V(u)-V(v).

Nous devons démontrer ce théorème mais nous sommes bloqués.
Nous comprenons avec un exemple mais nous restons bloquées au changement de signes dans le cas général.

Merci d'avance pour votre aide.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : suite de Sturm

Re-

  On vous demande de démontrer cela sans donner d'indications! C'est très difficile.

Voici une piste :
1. [tex]V[/tex] ne peut changer de valeurs qu'en une racine d'un des polynômes [tex]P_k[/tex]

2. Si [tex]x_0[/tex] est racine de [tex]P_k[/tex], pour [tex]k\geq 1[/tex], et pas racine de [tex]P_0[/tex],
alors [tex]V[/tex] ne change pas de valeurs en [tex]x_0[/tex]. En effet, d'après la relation,
[tex]P_{k-1}(x_0)[/tex] et [tex]P_{k+1}(x_0)[/tex] sont de signes opposés, et donc dans la suite
[tex](P_{k-1}(x),P_k(x),P_{k+1}(x)[/tex], autour de [tex]x_0[/tex], il y aura toujours exactement un changement de signes.

3. Si [tex]x_0[/tex] est une racine de [tex]P_0[/tex], [tex]V[/tex] est effectivement augmenté de 1 en ce point
(il faut distinguer plusieurs cas, suivant qu'il s'agisse d'une racine simple ou multiple).

Bon courage,
Fred.