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ledoux

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algebre ( theoreme du rang )

bonjour mes amis, j ai besoin de votre aide encore une foi MERCI d avance pour vos lumieres

c'est sutout la premiere partie sur laquelle je suis bloque, l autre est relativement facile , pour le a) je n arrive pas a cerner la question

(a) Donnez une preuve directe du Theoreme du rang (sans invoquer le 1er Theoreme d'isomorphisme) en montrant que pour[tex]\varphi :U\longmapsto V[/tex] lineaire
il existe une decomposition en somme directe interne [tex]U\quad =\quad ker\varphi \quad \oplus \quad W[/tex]   telle que
[tex]\varphi |W:\quad W\longmapsto Im\varphi[/tex]
soit in isomorphisme.

(b) Deduisez de ce qui precede que pour une application lineaire  [tex]\varphi :\quad U\longmapsto U[/tex], on a
'[tex]\varphi[/tex]  injective [tex]\Longleftrightarrow[/tex]   [tex]\varphi[/tex]surjective [tex]\Longleftrightarrow[/tex]  [tex]\varphi[/tex] isomorphisme.

Fred

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Re : algebre ( theoreme du rang )

Salut,

  Tu considères [tex]W[/tex] n'importe quel supplémentaire au noyau de [tex]\varphi[/tex]. Tu dois démontrer que
ton application [tex]\varphi|W :W\to Im\varphi[/tex] est un isomorphisme.
1. Elle est injective : quel est le noyau de cette application?
2. Elle est surjective : prends [tex]y\in Im\varphi[/tex]. Tu sais déjà qu'il existe [tex]x\in U[/tex] avec [tex]\varphi(x)=y[/tex].
Reste à voir qu'on peut le prendre dans [tex]W[/tex] : décompose [tex]x[/tex] dans la somme directe [tex]\ker \varphi\oplus W[/tex].

F.