Equations trigonométriques

soso · 09-02-2013 15:31:36

Bonjour à tous,

j'ai fait un petit exo en vue du Bac Blanc sur les équations trigonométriques, pouvez-vous me dire si c'est bon?

Je galère encore avec les intervalles....

Exercice:

Résoudre dans[tex] \mathbb{R}[/tex] les équations suivantes.

a)sin x=-1

[tex]x1=\pi - \frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] ou[tex] x=- \frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]

[tex]S= -\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi,[/tex]

[tex]cosx= \frac{1}{2}[/tex]
[tex]cos x=cos(\frac{\pi}{3})[/tex]

[tex]S= \frac{-\pi}{3}+2k\pi ; \frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex]

c) [tex]sin x=\frac{-\sqrt3}{2}[/tex]

[tex]x=\pi-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] ou [tex]x=\frac{-\pi}{3}+2k\pi[/tex]

S=[tex]\frac{2\pi}{3}+2k\pi; \frac{-\pi}{3}+2k\pi[/tex]

Résoudre dans [tex][0;2\pi[[/tex] les inéquations suivantes. (on pourra s'aider du cercle trigonométrique):

a- cosx<0
b.sin x>(ou égale) [tex]-\frac{\sqrt2}{2}[/tex]

Là j'avoue que je ne sais toujours pas faire.....

Merci d'avance!

ymagnyma · 09-02-2013 16:24:41

Bonjour Soso, c'est bien ça de se préparer toute seule ; c'est comme ça qu'on progresse !

Bon, pour l'équation un, un problème pour [tex]x_1[/tex] ; c'est [tex]\pi - a[/tex] que tu veux et a c'est [tex](- \frac{\pi}{2})[/tex] ... bilan, [tex]x_1[/tex] n'est pas [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] ce qui est rassurant puisque[tex] sin(\frac{\pi}{2}) = 1[/tex] et non [tex]-1[/tex].

Je regarde la suite.

ymagnyma · 09-02-2013 16:43:33

(b), OK ;
(c), même erreur qu'au (a) plus erreur de frappe, attention donc à l'erreur quand a est négatif

p.s. vérifie, place les solutions sur le cercle, tu verras si elle sont dans le bon cadrant.
(cadrant 1, cos >0 et sin >0 ; cadrant 2, cos<0 et sin >0 ; cadrant 3, cos<0 et sin <0 ; cadrant 4, je te laisse deviner).

Pour les inéquations, commence par tracer, même à main levée, si, un jolie cercle (pas trop carré).
Place D, comme départ, sur le cercle, correspondant à la première borne de ton intervalle de recherche.
Place A comme, mais oui, arrivée, sur le cercle, correspondant à la deuxième borne de ton intervalle de recherche.

Donc, dans le cas présent, D est le point du cercle trigonométrique correspondant à 0 radian, et a celui correspondant à 2\pi radians, et, what a surprise, D et A sont au même endroit !

Certes, mais entre les deux, il y a toute une histoire, un peu comme quand tu cours un 400 m sur une piste d'athlétisme, tu est rarement la même au départ et à l'arrivée.

Bref, tu cherches les x du cercle pour lesquels les cos(x), de l'axe des abscisses, sont négatifs. x se balade de 0, en D, à 2\pi, en A.
Prend ton crayon, place le sur D et en avant, dans le sens trigonométrique, tu tournes, vers A. Et tu regardes comment évolue cos(x), sur l'axe des abscisses.
Au départ, cos(x) vaut 1 puisque cos(0)=1. Puis, cos(x) diminue, diminue, diminue, et d'un coup, il est nul, (où ? pour quel x ?) ; mais voilà, il continue de diminuer, (il est donc NéGaTiF !, donc tous les x que tu ramasses là tel un pacman te conviennent), il continue de diminuer ainsi jusqu'à -1, (où ? pour quel x ?)
Or tu n'es pas encore arrivée en A !

Tu continues donc ton chemin, mais cette fois, le cosinus augmente et augmente et augment et pouf, il est de nouveau nul. Puis il continuera d'augmenter jusqu'à l'arrivée A, bref, à partir du moment où il s'est de nouveau annulé, il n'y avait plus rien d'intéressant.

C'est clair ? avec une figure dynamique, ce serait sans doute plus clair !

Bref, que proposes-tu ?
(a) une solution, envoie là
(b) rien, dis-le,
(c) une autre aide, dis-le aussi, il n'y aura pas de mal.

soso · 09-02-2013 16:55:37

Bonjouuuuur ,

merci pour votre réponse, ^^
voici ce que je propose
sin(x)=-1
[tex]sin(x)=sin(\frac{-\pi}{2})[/tex]
[tex]x_1=\frac{-\pi}{2}+2k\pi[/tex]
ou [tex]x_2=\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/tex]

Mais après je dois regarder la re..je ne sais pas quoi! Mais je ne sais pas comment faire ...

le c)
je trouve [tex]x_1=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/tex]
[tex]x_2=\frac{-\pi}{3}+2k\pi[/tex]

A suivre.

soso · 09-02-2013 17:05:17

alalal pour le 2. je suis complètement perdue avec le cercle trigo...je vais donc demander avec honte le (c) . Le problème c'est que je n'arrive pas à visualiser le cercle ....c'est mission impossible!!

ymagnyma · 09-02-2013 18:15:06

Ok pour ton post#4, en dehors du "après je dois regarder la re.. je ne sais pas quoi!" ; là c'est moi qui ne vois pas de quoi tu parles.

pour le 2., je laisse la main pour l'explication, je te donne ci-après la réponse à la première inéquation en reprenant mon raisonnement, qui suppose en effet d'avoir en tête ou sous les yeux, un cercle trigonométrique.

D et A sont en (1 ; 0) dans le repère orthonormé (O, I, J) du plan, (autrement-dit, ils sont confondus avec I.

Imaginons donc un point S comme Soso qui part de D pour faire le tour du cercle.
Au départ, S est en D. Le cosinus vaut 1, (et le sinus 0). Tu viens de partir, ton cosinus diminue, (et ton sinus augmente, ainsi jusqu'à ce que tu arrives en J(0 ; 1). En J, comme indiqué par les coordonnées, ton cosinus vaut 0 (et ton sinus vaut 1).

à partir de J, (et pour tout un demi-tour), ton cosinus sera négatif, c'est ce que tu cherches, (et ton sinus va diminuer de 1 à -1). Autrement-dit, pour S, (ou x), entre [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] et [tex]\frac{3\pi}{2}[/tex], cos(x) est négatif. Tu ne veux pas des bornes car tu cherches cos(x)<0). Après,, on est en (0 ; -1), tu termines le dernier quart de cercle, le cosinus est positif, donc ça ne t'intéresse pas.

Bref, cos(x)<0 pour x dans [tex]]\frac{\pi}{2} ; \frac{3\pi}{2}[[/tex].

Je ne peux faire mieux, mais il y a sur le forum des gens qui ont de tas de bonnes idées et images mentales qui devraient te permettre de mieux visualiser et comprendre.
Un dernier conseil, essaye d'avoir une vision dynamique de ce qui se passe, pas facile certes, mais très pratique.

Dernière modification par ymagnyma (09-02-2013 18:16:12)

yoshi · 09-02-2013 21:27:14

Bonsoir,

Tu dois résoudre :
[tex]\sin(x)\geq -\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

Or, il se trouve que
[tex]-\frac{\sqrt 2}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)[/tex]
et
[tex]-\frac{\sqrt 2}{2} = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)[/tex] (j'utilise volontairement [tex]\frac{5\pi}{4}[/tex] et non [tex]-\frac{3\pi}{4}[/tex])

L'inéquation devient donc (en partie):
[tex]\sin(x)\geq \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)[/tex]

Et si tu as peur de te tromper, garde un œil sur le dessin du cercle trigonométrique :

Alors, en avant, vas-y et donne nous tes réponses, même si ce n'est pas si facile que ça...

@+

Dernière modification par yoshi (09-02-2013 23:02:41)

soso · 10-02-2013 11:44:49

Bonjour à tous,

merci pour vos réponses.
C'est compliqué....
mais je dirais pour l'inéquation 2) que ça fait[ [tex]0;\frac{5pi}{4}[/tex]]U [tex][\pi;\frac{-\pi}{4}][/tex]? Hum, pas sûr pour le deuxième intervalle, ....

Dernière modification par soso (10-02-2013 11:46:41)

soso · 10-02-2013 12:01:27

Non, je rectifie c'est [tex][0; \frac{5\pi}{4}]U[\frac{7\pi}{4}; 2\pi]?[/tex]

Dernière modification par soso (10-02-2013 12:01:44)

ymagnyma · 10-02-2013 12:21:27

Bingo ! le post #9 est bon.
p.s. bien la remarque du post #8 " hum, pas sûr pour le deuxième intervalle, ..." en effet, déjà, en général on écrit les bornes dans l'ordre croissant, et puis, vu que tu cherches entre 0 et 2pi, on se demande bien ce que des valeurs négatives viendraient faire ici. (d'où d'ailleurs la remarque de Yoshi au post#7 :" j'utilise volontairement [tex]\frac{5\pi}{4}[/tex] et non [tex]- \frac{3\pi}{4}[/tex])

Ben, tu sembles commencer à mieux y voir ; pas de secret, il faut manipuler ! Bravo.

Dernière modification par ymagnyma (10-02-2013 12:21:48)

yoshi · 10-02-2013 12:59:09

Bonjour,

Oui, bravo !
Avant le bravissimo, j'aimerais voir ton raisonnement...
Parce que la lecture graphique, c'est bien, mais ça ne fait, au mieux, que 50 % de la note !

@+

soso · 10-02-2013 13:08:22

Ah, merciii ! Alala yoshi cherche toujours compliqué ! sniff ...Je ne sais pas faire ça par le calcul, je l'ai fait par lecture graphique.

yoshi · 10-02-2013 14:09:34

Re,

Moi, chercher compliqué ? Meueuhhh non !
En tout cas, pas ici.
1. L'énoncé disait :
on pourra s'aider du cercle trigonométrique mais pas le faire avec...
2. J'ai toujours dit à mes "affreux" : dans les exos, DM j'aurai un niveau d'exigence n+1, et les contrôles seront eux au niveau n normal : ainsi vous aurez une marge d'erreur...

Donc, ici, qu'est ce qui la différence et la singularité de cet exercice par rapport à [tex]\sin(x)=-\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] ?
Et bien on a une inéquation...
(Non, non, je n'enfonce pas de porte ouverte)

Et on va devoir faire appel à la définition de fonction croissante et décroissante, et navré de décevoir ymagygna, je ne m'étais pas encore projeté dans l'exigence [tex][0\;;\;2\pi][/tex], je m'étais dit que ça te simplifierait le boulot de penser [tex]\frac{5\pi}{4}[/tex] et non [tex]-\frac{3\pi}{4}[/tex] parce que on a l'ordre [tex]-\frac{\pi}{4}<\frac{5\pi}{4}[/tex] alors que [tex]-\frac{3\pi}{4}<-\frac{\pi}{4} [/tex]...

Donc pour être logique et tenir compte de l'intervalle de travail [tex][0\;;\;2\pi][/tex], adoptons [tex]\frac{7\pi}{4}[/tex] au lieu de [tex]-\frac{\pi}{4}[/tex].

Revenons à nos moutons :
* Sur [tex]\left[0\;;\;\frac{\pi}{2}\right][/tex] [tex]\sin(x)[/tex] est croissante [tex]f(x)\geq f(a) \Rightarrow x \geq a[/tex]
* Sur [tex]\left[\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{3\pi}{2}\right][/tex] [tex]\sin(x)[/tex] est décroissante [tex]f(x)\geq f(a) \Rightarrow x \leq a[/tex]

* Sur [tex]\left[\frac{3\pi}{2}\;;\;2\pi\right][/tex] [tex]\sin(x)[/tex] est croissante [tex]f(x)\geq f(a)\Rightarrow x \geq a[/tex]

Vois-tu où je veux en venir ?

@+

soso · 10-02-2013 18:08:46

Bonsoir^^ merci pour votre réponse !

J'ai compris les calculs mais j'avoue que j'ai du mal à voir...
Pourquoi étudie t-on les variations de sinus?

yoshi · 10-02-2013 19:36:11

Bonsoir,

1. Tu peux te contenter de l'étude de [tex]\sin(x)[/tex] sur[tex] [\pi\;;\;2\pi][/tex] puisque sur l' intervalle [tex][0\;;\;\pi],\; \sin(x) \geq 0[/tex] et que l'énoncé demande que tu trouves x pour que [tex]\sin(x) \geq -\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] (négatif)...

2. Pourquoi l'étude des variations de [tex]\sin(x)[/tex] ?
Et bien par rapport aux définitions de la Croissance/décroissance d'une fonction f que je t'ai rappelées, ici [tex]f(x)=\sin(x)[/tex]..
On cherche
a) [tex]\sin(x)\geq \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)[/tex]
et
b) [tex]\sin(x)\geq \sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)[/tex]

Voyons cela de plus près...
Si tu cherches x tel que [tex]\sin(x) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)[/tex], pas de problème : [tex]x = \frac{5\pi}{4}[/tex], mais là c'est une inéquation que tu dois résoudre...
Sur l'intervalle [tex]\left[\pi\;;\;\frac{3\pi}{2}\right][/tex], à partir de [tex]\sin(x)\geq \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)[/tex] tu déduis quoi ? [tex]x\geq \frac{5\pi}{4}[/tex] ou [tex]x\leq \frac{5\pi}{4}[/tex] ???
Tu tires la réponse à pile ou face ? Non, tu regardes le dessin ? Là, ok ! Mais pour justifier ce que tu vois, tu es bien obligée de savoir si [tex]\sin(x)[/tex] croît ou décroît sur l'intervalle, s'pas ?
Là, elle est décroissante, donc [tex]\sin(x)\geq \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\Rightarrow x\leq \frac{5\pi}{4}[/tex]
Donc, on prolonge l'intervalle déjà obtenu au 1) avec [tex]\left[\pi\;;\;\frac{5\pi}{4}\right][/tex]...
Et donc, compte tenu de ma remarque n° 1, je sais déjà que x est solution si [tex]x \in \left[0\;;\;\frac{5\pi}{4}\right][/tex]

Et maintenant il te reste à traiter de la même façon l'inéquation [tex]\sin(x)\geq \frac{7\pi}{4}[/tex] sur l'intervalle [tex]\left[\frac{3\pi}{2}\;;\;2\pi\right][/tex]...

En fait, la résolution se résume à peu de choses...

C'est plus clair ?

@+

soso · 13-02-2013 14:02:40

Bonjour!

merci pour votre réponse,.
C'est quand même dur cette histoire....bon, je vais essayer de faire la même chose pour l'autre inéquation....mais je ne garanti rien

yoshi · 13-02-2013 14:22:57

RE,

C'est quand même dur cette histoire...

Qu'est-ce qui te paraît dur ?

On fera un résumé à la fin...

@+

yoshi · 15-02-2013 10:24:28

Bonjour,

Résumé des chapitres précédents.
Enoncé
Résoudre dans [tex][0;2\pi[[/tex] l'inéquation suivante. (on pourra s'aider du cercle trigonométrique) :
[tex]\sin x\geq −\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

Solution
Sur [tex][0;\pi][/tex] on a [tex]\sin(x)\geq 0 \geq −\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]
On pourra donc limiter l'étude à l'intervalle [tex][\pi\;;\;2\pi][/tex]

Sur cet intervalle, on a :
On a [tex]\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] et [tex]\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]

avec [tex]\frac{3\pi}{4} \in \left[\pi\;;\;\frac{3\pi}{2}\right][/tex] et [tex] \frac{5\pi}{4} \in \left[\frac{3\pi}{2}\;;\;2\pi\right][/tex].

1. Etude sur [tex]\left[\pi\;;\;\frac{3\pi}{2}\right][/tex] : la fonction sinus y est décroissante.
Donc
[tex] \sin(x)\geq −\frac{\sqrt 2}{2}\Leftrightarrow \sin(x)\geq \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \Leftrightarrow x\leq \frac{3\pi}{4}[/tex]

2. Etude sur [tex]\left[\frac{3\pi}{2}\;;\;2\pi\right][/tex] : la fonction sinus y est .... (à toi de finir)
...............

@+

soso · 09-03-2013 10:02:53

Bonjouuur et merci pour vos réponse!
Désolée du retard,.....j'ai eu les bacs blancs entre temps (qui ont été une très grosse catastrophe :( )

Revenons à l'exo,

2. La fonction sinus est croissante sur [tex][\frac{3\pi}{2};2\pi[/tex].
On a donc [tex]x>\frac{5\pi}{4}[/tex]

Bonne vacances :D

Dernière modification par soso (09-03-2013 10:03:16)

yoshi · 09-03-2013 10:48:41

Salut,

Tu devrais nous donner ton sujet qu'on examine ensemble ce qui a cloché et dans le détail, en cherchant pourquoi.
Ce qui nous permettrait peut-être de t'aider à ne pas refaire ces erreurs...

@+

totomm · 09-03-2013 11:48:30

Bonjour,
Petites corrections après avoir tout relu :

yoshi post #15 a écrit :

Et maintenant il te reste à traiter de la même façon l'inéquation [tex]\sin(x)\geq \frac{7\pi}{4}[/tex] sur l'intervalle [tex]\left[\frac{3\pi}{2}\;;\;2\pi\right][/tex]...

C'est sans doute [tex]\sin(x)\geq \sin {(\frac{7\pi}{4})}[/tex] au lieu de [tex]\sin(x)\geq \frac{7\pi}{4}[/tex]

soso post #19 a écrit :

Revenons à l'exo,
2. La fonction sinus est croissante sur [tex][\frac{3\pi}{2};2\pi[/tex].
On a donc [tex]x>\frac{5\pi}{4}[/tex]

C'est sans doute [tex]x>\frac{7\pi}{4}[/tex] au lieu de [tex]x>\frac{5\pi}{4}[/tex]

Toutes ces écritures sont vraiment délicates...
Cordialement

yoshi · 09-03-2013 12:05:04

Re,

Ce n'est pas "sans doute", c'est une certitude...
Ces écritures, ne sont pas "délicates", c'est l'attention qui doit être sans faille pour avoir une bonne représentation mentale : cela n'a pas été, je vous prie de m'en excuser.
Heureusement, l'Inspecteur veillait au grain...

@+

totomm · 09-03-2013 12:16:01

Bonjour,

C'est la réponse du post #19 qui est préoccupante...
Le reste n'est qu'une relecture : Il vaut mieux être plusieurs pour cela

Cordialement

soso · 10-03-2013 16:15:28

Bonjour!

J'attends ma note pour poster le sujet, j'ai trop peur de voir ce que j'ai raté ...

Bonne journée à vous deux!

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 09-02-2013 15:31:36

Equations trigonométriques

#2 09-02-2013 16:24:41

Re : Equations trigonométriques

#3 09-02-2013 16:43:33

Re : Equations trigonométriques

#4 09-02-2013 16:55:37

Re : Equations trigonométriques

#5 09-02-2013 17:05:17

Re : Equations trigonométriques

#6 09-02-2013 18:15:06

Re : Equations trigonométriques

#7 09-02-2013 21:27:14

Re : Equations trigonométriques

#8 10-02-2013 11:44:49

Re : Equations trigonométriques

#9 10-02-2013 12:01:27

Re : Equations trigonométriques

#10 10-02-2013 12:21:27

Re : Equations trigonométriques

#11 10-02-2013 12:59:09

Re : Equations trigonométriques

#12 10-02-2013 13:08:22

Re : Equations trigonométriques

#13 10-02-2013 14:09:34

Re : Equations trigonométriques

#14 10-02-2013 18:08:46

Re : Equations trigonométriques

#15 10-02-2013 19:36:11

Re : Equations trigonométriques

#16 13-02-2013 14:02:40

Re : Equations trigonométriques

#17 13-02-2013 14:22:57

Re : Equations trigonométriques

#18 15-02-2013 10:24:28

Re : Equations trigonométriques

#19 09-03-2013 10:02:53

Re : Equations trigonométriques

#20 09-03-2013 10:48:41

Re : Equations trigonométriques

#21 09-03-2013 11:48:30

Re : Equations trigonométriques

#22 09-03-2013 12:05:04

Re : Equations trigonométriques

#23 09-03-2013 12:16:01

Re : Equations trigonométriques

#24 10-03-2013 16:15:28

Re : Equations trigonométriques

Pied de page des forums