La fonction exponentielle

soso · 31-01-2013 17:40:33

Bonsoir,

je n'arrive pas à résoudre un exercice, pouvez-vous m'aider à le faire.

Le voici:

La fonction f est définie par [tex]\frac{2e^x+3}{e^x-1}[/tex]

1. Déterminer f aux bornes de son domaine.
[tex]\lim_{x \to +\infty} f(x)=2[/tex]
[tex]\lim_{x \to -\infty}f(x)=-3[/tex]
Je n'arrive pas à trouver en 0...

2.Calculer la dérivé puis étudier le signe de la fonction.

Je trouve pour la dérivé [tex]\frac{-5e^x}{(e^x-1)^2}[/tex]
Comme [tex](e^x-1)²>0[/tex] alors f'(x) a le signe de[tex] -5e^x[/tex]
[tex]-5e^x=0[/tex]
[tex]e^x=0[/tex]
[tex]e^x=In0[/tex]

[tex]e^x>0 [/tex] car[tex] e^x[/tex] est toujours positif
[tex]-5e^x<0[/tex]

Première ligne x: [tex]-\infty In0 +\infty[/tex]
Deuxieme ligne signe: - 0 +
Troisieme ligne: -3 décroit valeur interdite croit 2

Merci d'avance

freddy · 31-01-2013 19:05:37

Salut,

ben en [tex]x= 0[/tex], il faut que tu calcules le signe de [tex]e^x - 1[/tex] par valeurs inférieures à 0 et par valeur supérieures à 0.

Comme le numérateur est toujours positif, c'est assez facile !

Ensuite, tu as montré que la dérivée est toujours négative sur[tex] D_f[/tex], donc la fonction est décroissante de -3 à ... et de ... à +2 !

Dernière modification par freddy (31-01-2013 19:06:34)

soso · 01-02-2013 19:11:37

Bonsoir, merci pour votre réponse.
Voici ce que je trouve

[tex]\lim_{x \to 0^-} e^x-1=0^-[/tex]
Donc
[tex]\lim_{x \to 0^-} f(x)=-\infty[/tex]

De même,
[tex]\lim_{x \to 0^+} e^x-1=0^+[/tex]
Donc
[tex]\lim_{x \to 0^+} f(x)=+\infty[/tex]
On a une asymptote c'est l'axe des abscisses, mais y'en a t il d'autre ?

Je ne dois pas calculer quand est ce que e^x s'annule ?

la fonction est décroissante de -3 à ... et de ... à +2 !

Mais ce sont des valeur interdite non?

yoshi · 01-02-2013 19:48:45

RE,

Un p'tit coucou à freddy - mon "vieux" complice - et juste des ch'tites questions pour soso et un rappel, après fredy reprendra la main...

On a une asymptote c'est l'axe des abscisses, mais y en a-t-il d'autres ?

Tiens donc ! Et pourquoi ça ? --> Equation de l'axe des abscisses y = 0.
Je parierais ma chemise que tu n'as pas tracé ta courbe : pourtant ymagygna te l'avait assez suggéré dans d'autres discussions...
Oui, il y a d'autres asymptotes, celle-là n'en est pas une !
Tu devrais revoir la définition d'asymptote...

Je ne dois pas calculer quand est ce que e^x s'annule ?

Question intéressante ! A mon tour : as-tu regardé la courbe de e^x pour voir (à défaut de savoir que 0 est la limite de e^x quand x tend vers -oo) ?...

l
a fonction est décroissante de -3 à ... et de ... à +2 !
Mais ce sont des valeur interdite non?

Ah bon ? Non !
Rappel : (ici) les seules valeurs interdites sont celles qui annulent le dénominateur... Il n'y en qu'une d'ailleurs !

@+

soso · 01-02-2013 19:52:24

rhoooo oui c'est vrai je ne l'ai pas tracé! :p

Bon après l'avoir tracer, je viens de me rendre compte qu'il y en a 3.
x=0; y=-3 et y=2

freddy · 01-02-2013 20:00:31

Salut yoshi,

tu interviens quand tu veux, pas de souci, je ne suis pas tout le temps disponible et donc faut jouer collectif, sans pb !

soso · 01-02-2013 20:07:40

Re, et coucou yoshi (j'avais oublié de le dire :s)

Hum, je crois que [tex]e^x[/tex] ne s'annule jamais mais je ne vais pas parié dessus.
Sinon je crois que j'ai compris pour le tableau:
Première ligne: -infini.......0........+infini
f'(x)..........................----.........-----
f(x)..................-3.....décroit.......-infini||+infini..décroit ..2

freddy · 01-02-2013 20:36:33

Re,

ben oui, exp(x) > 0 !!!

yoshi · 01-02-2013 20:57:52

RE,

Hum, je crois que [tex]e^x[/tex] ne s'annule jamais mais je ne vais pas parié dessus.

Oui, c'est bien exact.
C'est pour quelle valeur de x le dénominateur s'annulait que tu devais chercher...
Autrement dit pour quelle valeur de x on avait [tex]e^x = 1[/tex].
La réponse était x = 0
Donc la valeur interdite était x = 0 ce qui te donnait l'axe des ordonnées et non des abscisses...
Donc maintenant c'est bon.
Ton "tableau" est bon aussi...

Par contre post #1, tu ne peux pas écrire[tex] x=\ln(0)[/tex] 0 est une valeur interdite pour le log...
Avec la ligne du dessus[tex] e^x = 0[/tex], tu concluais qu'aucune valeur de x ne vérifiait cette égalité...
En repartant encore au dessus : -5e^x = 0 c'était la même chose...

Tu cherchais quoi ? Réponse : le signe de [tex]-5e^x[/tex] !
Et bien, ta leçon qui te dit que [tex]e^x>0\; \forall x\in\,]-\infty\;;\;+\infty[[/tex]
te suffit pour dire que [tex]-5e^x<0 \;\forall x\in\,]-\infty\;;\;+\infty[[/tex]
Pas besoin d'écrire des rtas de trucs pour finir sur une sottise ;-)
C'est clair ?

@+

soso · 02-02-2013 18:06:55

Ouiii merci ^^

Bonne soirée!

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