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Laured

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Logarithmes

Bonjour, je dois faire l'exercice suivant que je n'ai absolument pas compris, j'aimerais avoir un peu d'aide, ne serais ce que pour savoir quoi faire...

Ecrire à l'aide d'un seul logarithme :
A= 2 ln(10) - 3 ln(5) + ln(2)
B= 7 ln(4) - 3 ln(2) - 4ln(8)
C= ln(1/2) - 4 ln(2)+ ln(16)
D= 1+3 ln(2)

Je ne sais absolument pas quoi faire...

Merci d'avance

yoshi

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Re : Logarithmes

Bonjour,

Bienvenue à bord...

Je ne sais absolument pas quoi faire...

Euh... apprendre les leçons, peut-être ? ;-)
Voilà du grain à moudre :
[tex]\ln(a\times b) = \ln(a) +\ln(b)[/tex] (1)
[tex]\ln\left(\frac a b\right) = \ln(a) -\ln(b)[/tex] (2)
[tex]\ln(a^n)=n\times\ln(a)[/tex] (3) (qui est une conséquence de la ligne n° 1 ci-dessus)

Ces formules devront être employées dans les deux sens.
Je commencerais par simplifier chaque ligne.
En remarquant que 
- pour A : [tex]10 = 2 \times 5[/tex] tu vas pouvoir décomposer [tex]\ln(10)[/tex] en utilisant la formule (1).
  Tu simplifies et tu reviens à un seul log avec (3) puis (2). dans le sens inverse de celui donné,

- pour B : [tex]4 = 2^2[/tex]  et  [tex]8 = 2^3[/tex] Décompose avec (3), simplifie, reviens à un seul log avec (3) puis (1) dans le sens inverse de celui donné

Pour : [tex]\ln(1) = 0[/tex]  et [tex]1 =\ln(e)[/tex]

Maintenant au boulot et reviens avec quelque chose à présenter qu'on te dise si c'est bon ou pas (et dans ce cas, où ça pèche)...

@+

[EDIT]
Je constate qu'effectivement ce sujet devait tourmenter gravement son auteur : il n'y a qu'à voir la pléthore de réaction...
Citation historique :
<< Souviens-toi du vase de Soissons... >>

Dernière modification par yoshi (20-01-2013 19:53:58)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Logarithmes

Bonjour,

A= 2 \ln(10) - 3 \ln(5) +\ln(2)
Or, [tex]10 = 2 \times 5[/tex]

D'où
[tex]A = 2\ln(2\times 5) - 3 \ln(5) + \ln(2)[/tex]
Décomposons le log :
[tex]A = 2[\ln(2)+\ln(5)]- 3 \ln(5) + \ln(2)[/tex]
On développe :
[tex]A = 2\ln(2)+2\ln(5)- 3 \ln(5) + ln(2)[/tex]
On réduit :
[tex]A = 3\ln(2) -\ln(5)[/tex]
On réintègre le 3 comme une puissance :
[tex]A = \ln(2^3) -\ln(5)[/tex]
Et enfin  [tex](2^3 =  8)[/tex] :
[tex]A=\ln\left(\frac{8}{5}\right)[/tex]

[tex]B = 7\ln(4) - 3 \ln(2) - 4\ln(8)[/tex]
Transformons 4 et 8 en puissances de 2 :
[tex]4= 2^2\;;\;8=2^3[/tex]
Donc :
[tex]B = 7\ln(2^2) - 3 \ln(2) - 4\ln(2^3)[/tex]
Sortons les exposants du log :
[tex]B = 14\ln(2) - 3 \ln(2) - 12\ln(2)[/tex]
On réduit :
[tex]B = -\ln(2)[/tex] On peur s'arrêter là...
Si on veut ne plus avoir ce moins :
[tex]B = -\ln(2)= (-1)\times \ln(2) =\ln(2^{-1})=\ln\left(\frac 1 2\right)[/tex]
Autre manière de procéder :
[tex]B = -\ln(2)=0-\ln(2)=\ln(1)-\ln(2)=\ln\left(\frac 1 2\right)[/tex]

[tex]C= \ln(1/2) - 4 \ln(2)+ \ln(16)[/tex]
On décompose le 1er log en une différence de 2 log (à l'inverses de ce qui a été fait pour B) et 16 en [tex]2^4[/tex]
[tex]C= \ln(1)-\ln(2) - 4\ln(2)+ \ln(2^4)[/tex]
On réduit et simplifie :
[tex]C= -\ln(2) - 4\ln(2)+ 4\ln(2)[/tex]
[tex]C= -\ln(2)[/tex] on peut s'arrêter là, ou encore écrire :
[tex]C =\ln\left(\frac 1 2\right)[/tex]

Et on voit qu'il eût été plus court soit de remarquer que [tex]4\ln(2) = \ln(2^4)=\ln(16)[/tex]
Et donc
[tex]C= \ln\left(\frac 1 2\right) - \ln(16)+\ln(16) =  \ln\left(\frac 1 2\right)[/tex]

@+

Einstein gil

Invité

Re : Logarithmes

Salut à tous!
Aidez moi à résoudre cette équation trigonométrique (E):cos(4x)+cos(8x)=2

yoshi

Modo Ferox

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Re : Logarithmes

Bonjour,

Ras-le-bol !
Ras-le-bol de tous ces clients qui se pointent  la bouche en coeur et
- déposent leurs posts n'importe où (comme un clébard dans la rue) alors que dans la page d'accueil de chaque sous-forum figure le lien "Nouvelle discussion"...
- Confondent donc  le verbe Répondre avec l'expression "Nouvelle discussion"
- demandent qu'on fasse le boulot à leur place
- Ne disent ni merci, ni s'il vous plaît.
Bon, on a quand même eu droit à Bonjour...

Donc discussion fermée, ouvre la tienne propre, et on y répondra.
Je supprimerai mon post et le tien dans 24 h.

Merci de ta compréhension.

@+..