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Boul92

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Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonjour à tous,

Je voudrais savoir s'il est possible de calculer les coordonnées des sommets d'un quadrilatère connaissant la longueurs des 4 cotés et la longueur des diagonales?

En fait, même s'il existe plusieurs solutions, j'aimerais savoir si la forme du quadrilatère est toujours la même pour l'ensemble de ces solutions.

Ensuite si c'est le cas, ce qui m'intéresse bien sur, c'est de trouver au moins une solution, c'est à dire les coordonnées des 4 sommets du quadrilatère.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider car je suis bloqué?

Merci.

yoshi

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

RE,

Je vais y réfléchir...

En fait, même s'il existe plusieurs solutions,

MAIS il existe une infinité de solutions, c'est sûr !
Prenons le problème à l'envers...
Prends un repère orthonormé, dessine un quadrilatère quelconque.
Décalque-le.
Qu'est-ce qui t'empêche maintenant de poser le calque n'importe où dans ton repère : tu auras bien conservé les longueurs des côtés et celles des diagonales ; il y a donc bien une infinité de solutions/positions...

Ensuite si c'est le cas, ce qui m'intéresse bien sur, c'est de trouver au moins une solution, c'est à dire les coordonnées des 4 sommets du quadrilatère.

En l'occurrence, ce serait plutôt des coordonnées que "les"...

On peut commencer à placer l'un des 4 sommets à l'origine en (0 ; 0) : il n'y a plus que 3 sommets sur lesquels réfléchir...

C'est sur cette base que je vais travailler.
Si un esprit brillant est plus prompt que moi ou a plus de temps, pas souci : go !

@+

totomm

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonjour,

Si l'on n'a que les longueurs des 4 cotés, on peut plus ou moins ouvrir ou fermer un angle entre 2 cotés consécutifs, donc infinité de solutions s'il y en a au moins une
il faut donc fixer une diagonale.
Avec un des sommets hors de cette diagonale,on a un triangle dont les 3 longueurs des 3 cotés sont fixées : Il faut que ces longueurs respectent les inégalités d'existence d'un triangle

Supposons OK : On sait tout résoudre dans un triangle dont on connait 3 cotés : En utilisant la loi des sinus par exemple, etc... donc en particulier trouver la longueur de la deuxième diagonale du quadrilatère qui dépend des 5 longueurs déjà données

Cordialement

Edit :
Si l'on donne un nom aux 4 sommets consécutifs, exemple A,B,C, D et si l'on donne les longueurs AB, BC, CD, DA entre les sommets et la longueur d'une diagonale nommée, AC par exemple,
il y a, sous réserve d'existence des triangles, 2 quadrilatères possibles : Un convexe et l'autre concave

Si l'on donne simplement 5 longueurs, et toujours sous réserve d'existence des triangles, il y a pour chaque longueur choisie comme diagonale, et sans symétries particulières :
6 quadrilatères convexes et 6 concaves.
Exemple : on donne 5 longueurs a, b, c, d, e et on choisit e comme diagonale AC
on peut avoir AB=a et BC=b ainsi que CD=c et DA=d  OU CD=d et DA=c
on peut avoir AB=a et BC=c ainsi que CD=b et DA=d  OU CD=d et DA=b
on peut avoir AB=a et BC=d ainsi que CD=b et DA=c  OU CD=c et DA=b
Sauf erreur...

Dernière modification par totomm (21-01-2013 15:19:48)

Boul92

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonjour,

Merci pour vos réponses. Je précise qu'on connait la longueur des diagonales également. Soit un quadrilatère ABCD, on sait par exemple que:

AB = c
BC = a
AC = b
AD = d
CD = e
BD = f

Si je fixe A en (0,0), je peux placer B en (c,0) ou C en (b,0) ou D en (d,0). Comme totomm le dit, il faut, je pense, diviser le quadrilatère en 2 triangles.
Il faut fixer un 2ème point donc comme je l'ai dit plus tôt B, C ou D. Pour choisir lequel de ces points, je pense qu'il faut choisir la diagonale qui soit un coté en commun des 2 triangles (reste à savoir comment déterminer cela). On connait donc 2 coordonnées pour les 2 triangles. Ensuite reste à determiner le dernier point des 2 triangles.

D'après moi cela est possible lorsque le quadrilatère est convexe ou croisé (il existe une diagonale commune) mais pas quand le quadrilatère est concave, cela ne marche pas. Qu'en pensez vous?

Est-ce que mon raisonnement vous semble juste? Si oui, comment déterminer la diagonale commune connaissant les distances entre les sommets du quadrilatère? Et comment faire lorsque le quadrilatère est concave?

Dernière modification par yoshi (21-01-2013 16:01:28)

yoshi

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonjour,

Je précise qu'on connait la longueur des diagonales également

Inutile, c'était déjà précisé dans ton post #1 :

(...) calculer les coordonnées des sommets d'un quadrilatère connaissant la longueurs des 4 cotés et la longueur des diagonales ?

Un quadrilatère de dimensions données étant tracé
- s'il est convexe : tous les autres quadrilatères convexes ayant ces mêmes dimensions auront toujours la même forme à une transformation géométrique près : translation rotation, symétries...
-s'il est concave : tous les autres quadrilatères concaves ayant ces mêmes dimensions auront toujours la même forme à une transformation géométrique près : translation rotation, symétries...
La condition d'existence d'un tel quadrilatère ABCD, si [AC] est l'une des diagonales est que l'inégalité triangulaire appliquée aux triangles ABC et ADC soit vérifiée.
En outre, dans le cas de la concavité, selon les dimensions des triangles, il arrive qu'on n'obtienne plus qu'un triangle (deux superposés en un seul) et plus un quadrilatère.

Si oui, comment déterminer la diagonale commune connaissant les distances entre les sommets du quadrilatère?

Désolé, je dois être dur de la "comprenette" : diagonale commune à qui ?

@+

PS
Inutile de t'embêter à écrire |AB| = a...
AB est l'écriture de la longueur du segment [AB], et une longueur est toujours positive...

yoshi

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Re,

Supposons que les dimensions a, b, c, d, e, f permettent la construction d'un quadrilatère.
Je choisis A comme origine des coordonnées et l'axe des abscisses porté par la demi droite [AB) dans ce sens.
J'ai donc A(0 ; 0) et B(a ; 0).
Je cherche à construire C.
Le point C est à l'intersection du cercle de centre A de rayon AC = e et du cercle de centre B et de rayon BC = b.
Ces deux cercles ont pour équations respectives :
[tex]\begin{cases}x^2+y^2 &= e^2\\(x-a)^2+y^2 &= b^2\end{cases}[/tex]
La deuxième équation devient [tex]x^2+y^2-2ax + a^2 = b^2[/tex]
Ce qui me permet d'écrire :
[tex]e^2-2ax+a^2 = b^2[/tex]
Et enfin
[tex]x =\frac{a^2+e^2-b^2}{2a}[/tex]
A cette abscisse donnée correspondront deux ordonnées de signes opposés.

Pour D, je prends les cercles de centre a et de rayon AD = d et de centre B et de rayon BD = f
Et je recommence.
D est tel que :
[tex]\begin{cases}x^2+y^2 &= d^2\\(x-a)^2+y^2 &= f^2\end{cases}[/tex]
La deuxième équation devient [tex]x^2+y^2-2ax + a^2 = f^2[/tex]
Ce qui me permet d'écrire :
[tex]d^2-2ax+a^2 = b^2[/tex]
Et enfin
[tex]x =\frac{a^2+d^2-f^2}{2a}[/tex]
etc...

Sauf erreur comme dirait freddy.

@+

Boul92

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

ReBonjour,

Un quadrilatère de dimensions données étant tracé

Comment est-il-tracé?

- s'il est convexe : tous les autres quadrilatères convexes ayant ces mêmes dimensions auront toujours la même forme à une transformation géométrique près : translation rotation, symétries...
-s'il est concave : tous les autres quadrilatères concaves ayant ces mêmes dimensions auront toujours la même forme à une transformation géométrique près : translation rotation, symétries...

Je suis d'accord avec ca. Le premier problème à résoudre est donc le suivant: Connaissant la distance entre les sommets du quadrilatère, comment déterminer s'il est convexe ou concave?

Désolé, je dois être dur de la "comprenette" : diagonale commune à qui ?

Je voulais dire "coté commun" aux 2 triangles. Soit ABCD un quadrilatère convexe. Si [AD] et [BC] sont les diagonales, alors [AD] est un coté commun aux triangles ADC et ABD et [BC] est un coté commun aux triangles ABC et BCD.
Ce que je voulais dire, c'est que connaissant les longueurs entre les sommets du quadrilatère. Supposons qu'il soit convexe. Comment déterminer quels segments sont les diagonales du quadrilatère et quels segment sont les cotés du quadrilatère?

Boul92

Invité

Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Yoshi,

Je suis complétement d'accord avec ton dernier post.

Cependant, d'après moi tes calculs marchent uniquement dans le cas où [AB] est une des deux diagonales du quadrilatère convexe ABCD.
Si [AB] est un coté, avec cette méthode on aura bien AB=a et AC = e, BC=b et AD = d et BD=f mais il n'y aucune raison pour que DC=c

Par contre si [AB] est une diagonale du quadrilatère convexe ABCD, si on prend des ordonnées de signe opposé pour les points C et D, on aura bien toutes les longueurs qui seront respectées

Sauf erreur de ma part?

yoshi

Modo Ferox

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonsoir,

Cependant, d'après moi tes calculs marchent uniquement dans le cas où [AB] est une des deux diagonales du quadrilatère convexe ABCD.

Le propre de ces calculs est de ne s'appuyer sur aucun dessin et donc valable quel que soit le figure pourvu que les dimensions AB = a, BC = b et AC = e d'une part et AD = d, BD = f et AB = a vérifient l'inégalité triangulaire...
Je me suis basé sur un ordre des points ABCD parfaitement arbitraire, tu peux bien choisir l'ordre que ru veux et le 2e point que tu veux sur [Ox, je recommencerai les mêmes calculs en changeant de variables...
La seule incertitude que je te concède est la question : Est-ce que CD = c ?

Cela dit, tu vas ramener la construction de ton quadrilatère à celle de deux triangles...
Et un triangle, dont on connaît les dimensions se construit bien avec règle et compas, non ?
Et quel que soit l'ordre donné de tes points,, tu décides du placement de deux d'entre eux, puis chacun des 2 autres points va bien être l'intersection de deux cercles, non ? Dans le cas contraire je voudrais bien voir ça...

Un quadrilatère peut être :

-    convexe, si les deux diagonales sont à l'intérieur du quadrilatère ;
-    concave, si (au moins) une des diagonales est à l'extérieur du quadrilatère ;
-   croisé, si les deux diagonales sont à l'extérieur du quadrilatère. Un quadrilatère croisé est concave.

Que veux-tu que je te dise d'autre ?
A moins que ton problème ne soit :
étant donné un quadrilatère, ou supposé tel (puisque je ne sais même pas à quoi il ressemble, si tant est qu'il existe), dont on me donne les dimensions des côtés plus les diagonales
1. Ce quadrilatère existe-t-il ?
2. Est-il convexe ou concave (dans ce cas, croisé ou pas ?)
3. Comment le construire ?
4. Trouver les coordonnées des sommets.

Si oui, alors je retourne jouer aux échecs, ce sera plus simple...

Au fait, point de "détail" (!!!!):  si [AB] est une diagonale de ton quadrilatère convexe, alors par convention, il ne se nomme pas ABCD mais ACBD ou ADBC.

Un quadrilatère de dimensions données étant tracé

Comment est-il-tracé?

Pour être drôle aussi : avec un crayon, une règle graduée et un compas.

Bon, je partais du problème résolu, comme souvent en géométrie.
Alors je reprends :
Supposons que tu me présentes un quadrilatère ayant les dimensions données...
A partir de là :
- s'il est convexe : tous les autres quadrilatères convexes ayant ces mêmes dimensions auront toujours la même forme à une transformation géométrique près : translation rotation, symétries...
- s'il est concave : tous les autres quadrilatères concaves ayant ces mêmes dimensions auront toujours la même forme à une transformation géométrique près : translation rotation, symétries...
J'ajoute maintenant un codicille à concave : je pensais à un seul triangle et deux sommets confondus.
Mais depuis, j'ai pensé que :
- Il pourrait être croisé
- On pourrait avoir un triangle et le 4e sommet sur un des côtés...

Par contre si [AB] est une diagonale du quadrilatère convexe ABCD, si on prend des ordonnées de signe opposé pour les points C et D, on aura bien toutes les longueurs qui seront respectées.

Ainsi que je l'ai dit ci-dessus [AB] ne peut être diagonale du quadrilatère convexe ABCD...
Disons qu'on le nomme ACBD...
L'autre diagonale se nomme [CD]. Tu remplaces mon questionnement sur la longueur de "mon" côté [CD] par un questionnement sur la longueur de "ta" diagonale [CD].
J'attends que tu me montres :
1. Que ma construction ne donne pas CD = c... Moi, je n'ai pas de certitudes là-dessus, surtout sans raisonnement...
   Et "yapas de raison que" n'est qu'un sentiment, une supputation...
2. L'exactitude de ton affirmation, à savoir qu'on a bien CD = c avec ta proposition...
C'est peut-être vrai, je ne sais. Mais a priori comme ça, tout comme moi tu n'auras utilisé que 5 dimensions sur les 6...
En n'utilisant que des lettres, moi, je ne vois pas comment prouver que CD = c dans ton cas (ni dans le mien, on est bien d'accord)
Si j'avais 6 valeurs numériques, je pourrais savoir... si ça marche avec ces 6 valeurs, rien de plus.

Au passage, si tu me relis, je n'ai pas tranché sur la construction : je m'en suis gardé. Ma construction dégage deux points C et C' d'ordonnées opposées et deux points D et D' également d'ordonnées opposées.
Lequel est le bon  C ou C' ? D ou D' ? Aucun ?
Ça, c'était  : "à suivre..."
Mon sentiment, ma supputation est que "yapas de raison que" il n'y en ait pas un de bon...
Mais je peux me tromper, bien sûr.

@+

Roro

Membre expert

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonsoir,

J'ai un peu lu en diagonale ce que vous avez raconté mais j'ai l'impression que
"Il existe un seul quadrilatère convexe (à isométrie près) dès qu'on se donne les quatre longueurs et une diagonale."
C'est en gros ce que dit Totomm...

Si vous imposez les longueurs des deux diagonales, il y a peu de chance qu'il existe un tel quadrilatère...

Roro qui vient mettre son grain de sel (de Guérande) dans la diagonale.

Dernière modification par Roro (21-01-2013 23:11:45)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

RE,

Le petit grain de poivre (Gris ? Noir ? ) de Roro aura eu le double mérite de livrer une synthèse (je n'avais pas lu ça comme ça) et de m'aider à éclaircir mes idées...

Je pense maintenant que, à quelques exceptions près (j'y reviens de suite), si je fixe les 6 contraintes de façon "aléatoire" mais en faisant en sorte que les deux triangles existent, il n'y aura pas de quadrilatère y répondant aux 6.
On doit pouvoir calculer les valeurs possibles de la 6e dimension, à partir du moment ou les 5 autres sont fixées, pour que le quadrilatère existe.
Dans l'exemple fourni par mon dessin, ma longueur c ne peut être quelconque, même en respectant l'inégalité triangulaire pour mon triangle BCD.
Les 5 dimensions utilisées étant supposées fixées, et le point D aussi, je n'ai que deux longueurs possibles pour c : CD et C'D permettant de construire le quadrilatère. Toute autre dimension, même différente d'un "pouième", ne permettra pas une construction géométriquement exacte.
J'avais tort.
Mais ça vaut aussi pour la contre-proposition de notre ami.

La nuit affinera encore tout ça.

@+

yoshi

Modo Ferox

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonjou,

La nuit n'a rien affiné du tout...
Je ne sais même plus si j'avais vraiment tort ou non parce que je me suis penché sur Google, je n'ai rien trouvé sur la théorie de construction de quadrilatères...
Alors j'aimerais avoir le pourquoi des affirmations, sur leur nombre et les données nécessaires...
Je reviens sur mes calculs du post #6.
Je n'ai en fait construit le point D à partir du cercle de rayon AD et du cercle de rayon BD que par commodité, pour simplifier les calculs.
Si vraiment il ne faut pas donner les deux diagonales, ce n'est pas grave, je vais refaire les calculs à partir des cercles (A, AD) et (B,BD)...

@+

Boul92

Invité

Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonjour,

Dans mon cas, les deux diagonales sont fixées et donc les 6 longueurs sont fixées. Ca à l'air compliqué de construire un quadrilatère dans ce cas. Je vais réfléchir encore un peu sur ce sujet mais au final je pense que je vais explorer d'autres solutions.

Merci.

Merci

Boul92

Invité

Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Yoshi,

Je pense que tu avais raison. Pas besoin que les deux premiers points fixés soient une diagonale ou quoi que ce soit.
En fixant, les deux premiers points sur l'axe des absisses, on peut construire 4 quadrilatères différents (2 ordonnées possibles pour les points C et D).
Je pense que parmi ces 4 quadrilatères, il y a en a un qui respecte la dernière dimension (dans ton exemple, c'est la longueur CD), sous l'hypothèse que l'inégalité triangulaire soit respectée. Ca reste à vérifier.

totomm

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonjour,

Donnez votre énoncé avec vos valeurs numériques !

yoshi

Modo Ferox

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Re,

J'avoue humblement que j'en perds mon latin.
Il faut peut-être attendre que quelqu'un passe (ou repasse) avec la réponse.
Il faut dire que les calculs théoriques ne sont pas agréables...
Je reprends les calculs avec côtés + 1 diagonale.

[tex]x =\frac{a^2+e^2-b^2}{2a}[/tex]
A cette abscisse donnée correspondront deux ordonnées de signes opposés.

[tex]\left(\frac{a^2+e^2-b^2}{2a}\right)^2+y^2=e^2[/tex]
[tex]y=\pm\sqrt{e^2-\left(\frac{a^2+e^2-b^2}{2a}\right)^2}[/tex]

Soir k et l, les cordonnées de C, on a [tex]l^2 = e^2-\left(\frac{a^2+e^2-b^2}{2a}\right)^2[/tex]
Pour le point D.
[tex]\begin{cases}x^2+y^2&=d^2\\(x-k)^2+(y-l)^2&=c^2\end{cases}[/tex]
[tex]x^2+y^2-2kx-2ly+k^2+l^2= c^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]d^2-2kx-2ly+b^2=c^2[/tex]

[tex]y=-\frac{k}{l}x+\frac{b^2+d^2-c^2}{2l}[/tex]
que je reporte dans la première équation :
[tex]x^2+\left(-\frac{k}{l}x+\frac{b^2+d^2-c^2}{2l}\right)^2= d^2[/tex]
D'où
[tex]x^2+\frac{k^2}{l^2}x^2-\frac{k(b^2+d^2-c^2)}{l^2}+\frac{(b^2+d^2-c^2)^2}{4l^2}=d^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\left(1+\frac{k^2}{l^2}\right)x^2-\frac{k(b^2+d^2-c^2)}{l^2}+\frac{(b^2+d^2-c^2)^2}{4l^2}-d^2=0[/tex]
Je mets dans ma 1ere parenthèse tout sur l²... Au numérateur je tombe sur k²+l² que je remplace par b² et je multiplie les 2 membres par 4l² pour "éliminer" les dénominateurs... :
[tex]4b^2x^2-4k(b^2+d^2-c^2)x +(b^2+d^2-c^2)^2-4l^2d^2 =0[/tex]
Et si x est solution de cette équation du 2nd degré...
Je ne pense pas avoir fait d'erreur, mais tout est possible.
Je m'arrête là, ça devient trop pénible...

@+

Boul92

Invité

Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Totomm,

Je n'ai pas d'énoncé, pas de valeur numérique. Mon application est un problème de classification. J'ai 4 classes. Je connais les distances entre les moyennes de ces 4 classes. Comment représenter dans le plan ces 4 classes?

Au final, je voudrais généraliser aux cas N classes mais on en est pas encore là.

totomm

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonjour,

J'ai enfin compris où vous vouliez aller :

Vous comparez les moyennes de 4 classes prises 2 à 2, donc vous avez 6 valeurs
Mais ces 6 valeurs ne sont pas indépendantes

Il serait donc bien que vous regardiez d'abord les solutions du système d'équations (linéaires ?) que vous créez avec vos classes et vos valeurs

Cordialement

Roro

Membre expert

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Re : Coordonnées quadrilatère connaissant les distances entre les sommets

Bonsoir Boul92,

Je précise ma réponse : on ne peut pas, de façon générale, représenter 4 points dont les distances deux à deux sont données sur un plan. On peut le faire dans l'espace en utilisant un tétraèdre.
Un exemple est celui ou les distances sont toutes égales à 1.

Peut-être que je n'ai pas bien compris le problème...

Roro.