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amatheur

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équivalence d'une sommes fonctions.

bonsoir,
j'ai du mal à comprendre une partie de la démonstration de la propriété suivante:
si au voisinage d'un point a on a les équivalence suivante: [tex]f\sim \phi \,\,et\,\,g\sim \psi [/tex] 
et si [tex]\phi \,\,et\,\psi [/tex]  sont à valeurs positives au voisinage de a ,
on a alors [tex]f+g\sim \phi +\psi \,\,[/tex]

pour la démo l'auteur s'y prend de la manière suivante:

[tex]\left(f+g\right)-\left(\psi +\phi \right)=\left(f-\phi \right)+\left(g-\psi \right)[/tex]

[tex]f-\phi =o\left(\phi \right)=o\left(\phi +\psi \right)\,\,\,[/tex] c'est la deuxième égalité que je n'arrive pas à comprendre
[tex]g-\psi =o\left(\psi \right)=o\left(\phi +\psi \right)\,\,et\,[/tex] . là aussi je ne comprend pas la deuxième égalité.
et il finit la démonstration en écrivent:
[tex]\left(f+g\right)-\left(\phi +\psi \right)=o\left(\phi +\psi \right)\,\Rightarrow f+g\sim \phi +\psi \,\,[/tex]  : ça je l'ai compris!
merci pour vous explications.

Fred

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Re : équivalence d'une sommes fonctions.

Salut amatheur,

  Dire que [tex]f-\phi=o(\phi)[/tex] signifie que [tex]\frac{|f-\phi|}{\phi}\to 0[/tex] (je n'ai pas de valeurs absolues
au dénominateur car je sais que c'est positif).
Maintenant, on a [tex]\psi+\phi\geq \phi>0[/tex] et donc [tex]\frac 1{\phi}\geq \frac 1{\psi+\phi}\geq 0[/tex] 
Tu remultiplies :
[tex]0\leq \frac{|f-\phi|}{\psi+\phi}\leq \frac{|f-\phi|}{\phi}[/tex]

Fred.

amatheur

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Re : équivalence d'une sommes fonctions.

salut
ah ok. je comprend l'astuce , merci beaucoup.