Forum de mathématiques - Bibm@th.net

cabouse

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[Résolu] Arithmétique

Bonjour,
j'ai un problème avec mon exercice je n'arrive pas à le traité alors qu'il m'a l'air simple :
Calculer le reste de la division euclidienne d'un entier dont l’écriture décimal est 311...311 (3n fois) par 7.
j'ai trouvé que 311 [tex]\equiv 3[/tex] [7] et donc j'ai essayé : 3³ⁿ [7] qui m'a donné 2ⁿ
enfin j'ai essayé 311 modulo 1000 qui m'a donné 311 [tex]\equiv [/tex] 6 [1000].
mais tout ce que je fait c'est tourné en rond quelqu'un à une idée ?

merci.

Dernière modification par cabouse (13-01-2013 14:04:30)

totomm

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Re : [Résolu] Arithmétique

Bonjour,  une idée :

[tex]311 \equiv 3 [7] [/tex]
[tex]311311 \equiv 0 [7][/tex] donc par récurrence [tex]311...311(2n fois)*1000000 + 311311 \equiv 0 [7][/tex]
alors si n pair : [tex]311...311(3n fois) \equiv 0 [7][/tex]
et si n impair : [tex]311...311(3n fois) \equiv 3 [7][/tex]

Cordialement

cabouse

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Re : [Résolu] Arithmétique

bonjour,
merci de ta réponse totomm par contre je comprend pas la 2eme ligne :
pourquoi 311311[tex]\equiv[/tex]0 [7] ?
merci

totomm

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Re : [Résolu] Arithmétique

Bonjour,

Une réponse est que 44473*7=311311 mais sans doute la question est : "Pourquoi s'intéresser à 311311 ?"
Si c'est la bonne question la réponse est : Pour avoir une base de départ dans la récurrence qui étudie 311...311 (2n fois)
Maintenant pourquoi étudier les (2n fois)  alors que le problème porte sur les (3n fois) ? : Parce que cela fournit la solution complète...

Autre question : Comment penser à regarder les (2n fois) ? Je n'ai d'autre réponse que : Il faut chercher pour trouver...

Bien sûr, on peut conduire vers la solution de manière plus "formalisée"

Cordialement

Dernière modification par totomm (13-01-2013 12:35:56)

cabouse

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Re : [Résolu] Arithmétique

Ok merci de ta réponse ça répond à ma question.

cabouse

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Re : [Résolu] Arithmétique

J'ai une autre question et j'aimerai évité de faire un autre sujet.

Comment je fais pour montrer que n¹³ - n est divisible par 78?
Comme 78=13*3*2 j'ai montré que n¹³ - n est divisible par 2 et 3 mais pour montrer que c'est divisible par 13 c'est assez pénible Quelqu'un aurait une solution ?

merci d'avance

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Arithmétique

RE

J'ai une autre question et j'aimerais éviter de faire un autre sujet.

Et pourtant, tu DOIS le faire.
Extrait des Règles de Bibm@th :

Comment bien poster

   
*Une première règle à ne jamais perdre de vue : un sujet = une discussion.

Pour cette fois, je ne ferme pas le sujet, mais s'il te plaît conforme-toi à la règle : simple question de logique et d'ordre pour ceux qui nous visitent.
Selon la suite, je le ferai malgré tout ou pas.

Merci d'avance de ta compréhension.

      Yoshi
- Modérateur -

totomm

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Re : [Résolu] Arithmétique

Bonsoir,

C'est directement le petit théorème de FERMAT

Bon courage, Cordialement.

cabouse

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Re : [Résolu] Arithmétique

Ok merci avec le corollaire du théorème de Fermat ça coule de source, et désoler mais je savais pas pour les régles du forum.

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] Arithmétique

Bonjour,

@cabouse

désoler mais je savais pas pour les régles du forum.

Désolé, je n'ai pas pris le temps de répondre hier soir.
Excuse vraie, mais excuse en bois...
Et ça :

En outre tu trouveras la même règle sur
http://www.framasoft.net
http://www.zebulon.fr
htpp://www.siteduzero.com
http://forum.openoffice.org/fr/forum/
...
Et sur tous les forums à cause de la formule Questions/Réponses...

@totomm
C'est en pensant à vous, ô Maître, que j'avais laissé la porte ouverte.
Vous ne m'avez pas déçu. Tolérance zéro dorénavant :

pour avoir encouragé cabouse dans le mauvais sens...

      Yoshi
- Modo ferox -