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samo12

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semi-continuité inférieure

Salut,
Soient E=E'=R² et[C={(x_1,x_2) ; x_1 >0 et x_2>0}]
On définit sur E la fonction:
f(x)= -racinecarée(x1x2) si x dans C et +[\infty] sinon
1) Montrer que f est convexe , s.c.i sur E.
merci de m'aider :)

Dernière modification par samo12 (05-01-2013 23:01:20)

Fred

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Re : semi-continuité inférieure

Salut,

  Pour la convexité, tu peux utiliser la caractérisation par la monotonie du gradient : http://fr.wikipedia.org/wiki/Gradient#G … exit.C3.A9

F.

samo12

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Re : semi-continuité inférieure

Re, et pour la s.c.i pourriez-vous m'aider, merci d'avance

Fred

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Re : semi-continuité inférieure

J'ai envie de dire qu'elle est sci par définition....
Ou bien elle est continue, ou bien, sur le bord de C, quand on s'approche d'un point, on ne s'en approche que par valeur supérieure.
C'est très clair je crois en utilisant la limite inf...

F.

samo12

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Re : semi-continuité inférieure

Bonjour,
C'est à dire je dois utiliser:
f est s.c.i  si et seulement si quelque qoit x_n converge vers x alors liminff(x_n)>= f(x)??
je n'ai pas compris, s'il vous plaît aidez-moi

Fred

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Re : semi-continuité inférieure

C'est cela, oui.

Tu distingues trois cas :
1. ou bien (x1,x2) est dans C - et dans ce cas la fonction est continue
2. ou bien il ne l'est pas.....

Cela dit, es-tu sur dans ta définition de C que l'on n'a pas des inférieurs ou égaux au lieu d'avoir des inférieurs stricts!

F.

samo12

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Re : semi-continuité inférieure

Re,
désolé,  vous avez raison C={(x_1,x_2) ; x_1 >=0 et x_2>=0}  comment faire dans le cas où f(x) = +\infty

Fred

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Re : semi-continuité inférieure

Si [tex]f(x)=+\infty[/tex], il y a un voisinage de x pour lequel la fonction est égale à [tex]+\infty[/tex]....