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aseft89

Invité

réduction des endom.

Salut à vous!

Je souhaite mq [tex] vect(id_E , u) = Ker(\phi_u)[/tex] où [tex]E[/tex] est un [tex]K[/tex]-ev de dimension 2, [tex]u \in L(E)[/tex] qui n'est pas une homothétie et [tex]\phi_u[/tex] est l'endomorphisme de [tex]L(E)[/tex] qui à chaque [tex]v[/tex] associe l'endomorphisme [tex]uv -vu[/tex].

J'ai commencé par déterminer une base de [tex]E[/tex] qui est [tex](e, u(e))[/tex] avec [tex] e[/tex] un vecteur non nul, ceci découle du fait que [tex]u[/tex] n'est pas une homothétie, on sait qu'on a cette inclusion [tex]\subset[/tex] mais pour l'autre ça revient à quoi faire? chercher la dimension de  [tex]Ker(\phi_u)[/tex] ou bien chercherà écrire les endomorphismes qui commutent avec [tex]u[/tex] en fonction de [tex]id_E[/tex] et [tex]u[/tex] ou c'est autre chose?

Je suis bloquée depuis longtemps, pourriez-vous m'aider?

Merci !

Fred

Administrateur

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Messages : 7 352

Re : réduction des endom.

Salut,

  Considère [tex]v\in \ker\phi_u[/tex], et note [tex]a,b[/tex] tels que [tex]v(e)=a e+bu(e)[/tex]

Je prétends qu'on a aussi [tex] v(u(e))=a u(e)+bu^2(e)[/tex] et que ceci suffit pour prouver que
[tex]v=aId_E+bu [/tex].

Fred.