Système différentiel

vrouvrou · 01-01-2013 23:15:58

Bonsoir et bonne année 2013
j'ai ce système différentiel : [tex]x'=-(b+1)x+x^2y+a , t \geq 0 ; y'=bx-x^2y , t\geq 0 ; x(0)=x_0,y(0)=y_0[/tex] , [tex]a,b >0[/tex]
[tex](x,y)[/tex] est une solution maximal , [tex]x > 0 ,y>0[/tex] pour tout [tex]t \in [0,\infty[[/tex] ,
[tex](x+y)'(t) \leq a[/tex] pour tout [tex]t \in [0, \infty[[/tex] et que [tex]x'(t) \geq -(b+1)x(t)+a[/tex] pour tout [tex]t \in [0,\infty[[/tex].
on a la fonction[tex] t \rightarrow x(t) e^{(b+1)t}[/tex]
on nous demande de calculer la primitive et elle est de : [tex](x'(t)+(b+1) x(t) ) e^{(b+1)t}[/tex]
après on nous demande de montrer que ,pour pour tout [tex] 0<\gamma <\displaystyle \frac{a}{b+1}[/tex] il existe [tex] T_{\gamma}>0[/tex] indépendant de [tex]x_0 > 0[/tex] et de [tex]y_0 >0[/tex] , tel que [tex]x(t) \geq \gamma[/tex] pour tout [tex]t\geq T_{\gamma}[/tex]
comment je doit faire s'il vous plait
merci pour votre aide .

Dernière modification par vrouvrou (01-01-2013 23:16:33)

vrouvrou · 01-01-2013 23:29:29

on a [tex]x'(t) \geq -(b+1) x(t)+a[/tex] et donc [tex]x'(t)+(b+1) x(t) \geq a[/tex] alors [tex]x'(t)+(b+1) x(t) \geq x'(t)+y'(t)[/tex]
d'ou [tex](b+1) x(t) \geq y'(t)[/tex]
mais je ne sais pas comment terminer?
s'il vous plait ,merci.

yoshi · 03-01-2013 16:13:21

Salut vrouvrou,

Pourquoi personne ne veut m'aider ? =(

T'as fini de jouer à calimero ?

Bon, ici, il n'y a que des bénévoles : du latin bene et volare, qui veulent bien... Pas des professionnels appointés pour ce faire !

Et donc à ce titre, ils ont eu vie professionnelle, sociale et familiale qui fait qu'ils ne sont pas scotchés en permanence derrière leur écran à attendre que toi ou un autre vous postiez.
Alors, il va falloir faire preuve d'un minimum de patience.

Puis-je te rappeler ce que disent les Règles de fonctionnement BibMath :

*Toute mention "urgent", "à l'aide", "aidez-moi" (liste non exhaustive), dans un message est inutile, tout comme l'est de poster plusieurs fois de suite le même : si l'un des membres du forum (ou un invité) possède la réponse, soyez sûr qu'il ne manquera pas de vous la donner.

Donc, tu ne peux qu'attendre : moi, je n'ai pas la compétence pour te répondre.

@+

vrouvrou · 03-01-2013 17:09:04

Message reçue , désolé de vous avoir dérangé !

vrouvrou · 03-01-2013 21:39:28

J'écris l'exercice au cas ou
Soit a, b deux constantes positives et [tex]x_0 > 0[/tex] , [tex]y_0 > 0[/tex] donné .
Considérons le système différentielle : [tex]x'= -(b+1)x+x^2y+a , t \geq 0 ; y'=bx-x^2y ,t\geq 0 ; x(0)=x_0, y(0)=y_0[/tex]
dans la suite on note [tex](x,y)[/tex] une solution maximale sur [tex][0,T_m[[/tex]
1- soit[tex] \overline{t} \in [0,T_m[[/tex] tel que [tex]x(\overline{t})=0[/tex], montrer que [tex]x'(\overline{t})>0[/tex], puis que[tex] x(t)>0[/tex] pour tout [tex]t\in [0,T_m[[/tex]. montrer que de même [tex]y(t) >0[/tex] pour tout[tex] t \in [0, T_m[/tex][.
2- montrer que [tex](x+y)'(t)\leq a[/tex] pour tout [tex]t \in [0,T_m[[/tex], en déduire que [tex]T_m =\infty[/tex]
3-remarquer que[tex] x'(t) \geq -(b+1) x(t)+a[/tex] pour tout[tex] t\in [0,\infty[[/tex], calculer la dérivée [tex]t \rightarrow x(t) e^{(b+1)t}[/tex]. montrer que pour tout [tex]0<\gamma <\displaystyle\frac{a}{b+1}[/tex], il existe [tex]T_{\gamma }>0[/tex], indépendant de [tex]x_0 >0[/tex] et de [tex]y_0 >0[/tex] tel que [tex]x(t)\geq \gamma[/tex] pour tout [tex]t\geq T_{\gamma}[/tex]
je bloque sur la dernière question de la question 3
merci de m'aider

Dernière modification par vrouvrou (04-01-2013 16:56:39)

Fred · 04-01-2013 12:03:40

Salut,

On pose
[tex]z(t)=x(t)e^{(b+1)t}[/tex]. Tu as calculé la dérivée de z, et en utilisant ce qui est écrit "remarquer que" au début de la question 3, on a
[tex]z'(t)\geq ae^{(b+1)t}[/tex]. On intègre cette inégalité et on trouve
[tex]z(t)-z(0)\geq \frac a{b+1}e^{(b+1)t}-\frac a{b+1} [/tex]

Puisque [tex] z(0)\geq 0[/tex], on en déduit [tex] z(t)\geq \frac a{b+1}e^{(b+1)t}-\frac a{b+1} [/tex]

Il te reste à revenir à remplacer [tex]z(t)[/tex] par [tex] x(t) [/tex] et à conclure....

Fred.

vrouvrou · 04-01-2013 14:26:47

Bonjour ,ravie de vous revoir
je remplace z(t) par x(t) alors j’obtiens [tex]x(t) \geq \displaystyle \frac{a}{b+1}- \displaystyle \frac {a}{b+1} e^{-(b+1)t}[/tex]
mais [tex]0<\displaystyle \frac{a}{b+1}- \displaystyle \frac {a}{b+1} e^{-(b+1)t} <\displaystyle \frac{a}{b+1}[/tex] pour tout [tex]t \in [0,\infty[[/tex]
donc comment dire qu'il existe un [tex]T_{\gamma}[/tex]
s'il vous plait
merci.

Fred · 04-01-2013 14:38:46

Quelle est la limite du minorant de x(t) en +oo???

vrouvrou · 04-01-2013 14:46:28

c'est [tex]\displaystyle \frac {a}{b+1}[/tex]

Fred · 04-01-2013 14:48:59

Donc tu as presque fini!!!!!

vrouvrou · 04-01-2013 15:39:57

je dirai qu'il existe un T quelque soit t >T alors[tex] x(t) \geq \displaystyle \frac {a}{b+1}[/tex]
mais sans conviction

vrouvrou · 04-01-2013 16:06:04

en réalité je ne sais toujours pas comment dire que [tex]T_{\gamma}[/tex] existe !

Fred · 04-01-2013 21:08:01

Posons [tex]f(t)=\frac a{b+1}-\frac a{b+1}e^{-(b+1)t} [/tex]

Cette fonction ne dépend pas de [tex]x_0,y_0[/tex] et sa limite en l'infini est strictement plus grande que [tex]\gamma[/tex]

Là, on va pouvoir facilement construire un [tex]T_\gamma[/tex]....

vrouvrou · 04-01-2013 21:16:52

[tex]T_{\gamma} = f(t)[/tex] ???

Fred · 04-01-2013 21:27:08

vrouvrou a écrit :

[tex]T_{\gamma} = f(t)[/tex] ???

Ceci n'a aucun sens!!!!!!
Mais relis bien mon message : la limite de f en l'infini......

vrouvrou · 04-01-2013 21:46:54

ah donc je dit il existe un rang [tex]T_{\gamma}>0[/tex] pour le quel quelque soit [tex]t \geq T_{\gamma}[/tex] ,[tex]x(t) > f(t) >\gamma[/tex] !

Fred · 04-01-2013 21:48:53

Voila.

vrouvrou · 04-01-2013 21:49:33

ok, merciiiiiiii

vrouvrou · 04-01-2013 22:06:41

Y a une autre question après :
soit [tex]0<\gamma< \displaystyle\frac{a}{b+1}[/tex], et soit [tex]T_{\gamma} >0[/tex] défini a la question 3
montrer que si [tex]t \geq T_{\gamma}[/tex] et [tex]y(t)> \displaystyle\frac{b}{\gamma}[/tex]
alors y'(t) <0 . j'ai fait comme ça : d'aprés 2) on a [tex]y'(t) \leq a- x'(t) \leq a-(b+1)x(t) -a \leq -a[/tex] donc [tex]y'(t) <0[/tex] !
En déduire que [tex]y(t) \leq S_{\gamma} = max (y(T_{\gamma}),\displaystyle \frac {b}{\gamma})[/tex] pour tout [tex]t\in [T_{\gamma}, \infty[[/tex]
comme y'(t)< 0 alors y est décroissant !
mais je sais pas comment déduire que [tex]y(t) \leq S_{\gamma} = max (y(T_{\gamma}),\displaystyle \frac {b}{\gamma})[/tex]
merci de m'aider , s'il vous plait .

Fred · 04-01-2013 22:16:39

Raisonne par l'absurde. S'il existe [tex]t>T_\gamma [/tex] tel que [tex]y(t)>\max(\dots)[/tex],
alors considère [tex] t_0=\inf(t\geq T_\gamma; y(t)>\max(\dots) ) [/tex]
Par construction,
* [tex] y(t_0)=\max(\dots) [/tex]
* [tex] y'(t_0)<0 [/tex]
* Il existe une suite [tex](t_n)[/tex] qui décroit vers [tex]t_0[/tex] tel que [tex] y(t_n)>y(t_0) [/tex]

d'où....

vrouvrou · 04-01-2013 22:30:50

[tex]y(t_n)>y(t_0)[/tex] donc [tex]y(t_n) > max (y(T_{\gamma}),b/\gamma)[/tex]!
je ne voie pas la contradiction , je doit normalement trouver un t pour le quel y(t) < max(.,.)

Dernière modification par vrouvrou (04-01-2013 22:33:10)

Fred · 04-01-2013 22:57:46

La contradiction peut aussi être avec [tex] y'(t_0)<0[/tex]....

vrouvrou · 05-01-2013 09:18:05

Je ne sais pas comment faire , un autre indice s'il vous plait !

vrouvrou · 05-01-2013 16:54:07

es que [tex]y'(t_n) < 0[/tex] aussi ? je ne voie pas la contradiction , peut être que je suis bête !

Fred · 05-01-2013 18:55:17

Si [tex]y'(t_0)<0[/tex], [tex]y[/tex] est décroissante au voisinage de [tex]t_0[/tex]

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