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jazz24

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Suite

Bonjour, merci de toute contribution pour la question n°2 de l'exercice, sur laquelle je sèche depuis un certain temps:

1) La première question consistait à établir un équivalent à l'infini de [tex]\frac{(2n)!}{n!^2}[/tex] à partir de la suite[tex]\int_{0}^\frac{\pi}{2}\,(cost)^n\ dt\,[/tex] , sans difficulté particulière. On obtient: [tex]\frac{(2n)!}{n!^2}[/tex] ~ [tex]\frac{2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}[/tex]     

2) La seconde question demande de démontrer la convergence de la suite de terme générique 2^-2n[tex]\sum_{nx<p<n} C(2n,n-p)[/tex],  pour tout x dans ]0,1[. C(n,k) désigne le coefficient du binôme [tex]\frac{n!}{(n-k)!k!}[/tex]

Note: une faute de frappe s'était glissée dans mon précédent énoncé.

Je ne sais pas comment minorer efficacement (n-p)!(n+p)! , pour p entier dans l'intervalle ]n.x,n[ ... et espérer retomber sur mes pattes afin d'utiliser le résultat du 1)

A tous et toutes, bonne année 2013 ... un p.q.r = (3x11x61).

Dernière modification par jazz24 (02-01-2013 21:58:39)

Fred

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Re : Suite

Salut jazz24,

  Voici une piste : si tu calcules le quotient
[tex]\frac{(n-p)!(n+p)}{(n!)^2}[/tex], tu trouves un truc du type
[tex]\frac{(n+1)\dots (n+p)}{(n-p+1)\dots n}[/tex], et
tu dois évaluer des quotients du type
[tex]\frac{n+k}{n+k-p}[/tex] pour k allant de 1 jusqu'à p.

Fred.

jazz24

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Re : Suite

Merci Fred d'initier la discussion. J'ai bien essayé de bricoler ces sommes de produits, sans succès ...

Le majorant de la suite en question est toujours trop grand (c'est à dire divergent pour n infini); j'obtiens, en exploitant le résultat du 1) un majorant en [tex]\frac{n^n}{a^n}[/tex], avec a= (1+x)^(1+x); a>1 donc, ce qui est bien mais insuffisant pour compenser le terme en nⁿ ...
Je pense avoir un minorant (beaucoup) trop insuffisant pour les termes en [tex]\frac{1}{(n-p)!}[/tex]. Leur influence, me permettant d'obtenir le majorant ci-dessus, intervient dans le terme [tex]\sum_{0<k<n(1-x)}\frac{1}{k!} [/tex], que je majore simplement par e.

A bientôt et merci encore.

Dernière modification par jazz24 (04-01-2013 10:45:49)

Fred

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Re : Suite

Re-

  Je crois tout de même que mon idée fonctionne. Tu écris
[tex]\frac{(n!)^2}{(n-p)!(n+p)!}=\prod_{k=1}^p \frac{n+k-p}{n+k}=\prod_{k=1}^p \left(1-\frac p{n+k}\right).[/tex]

Maintenant, pour [tex]nx\leq p\leq n[/tex], on peut trouver [tex]\delta>0[/tex] indépendant de [tex]p,k[/tex] tel que
[tex]  \left(1-\frac p{n+k}\right)\leq 1-\delta [/tex]
D'où
[tex]\frac{(n!)^2}{(n-p)!(n+p)!}\leq (1-\delta)^p [/tex]
et ceci devrait suffire à conclure.

Fred.

jazz24

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Re : Suite

Fred, merci beaucoup, cela a une bonne (très bonne) tête en effet, à condition de démontrer que [tex]\delta[/tex], indépendant de p (et surtout k), existe bien ... C'est là que je n'ai pas le bon argument (!). En effet, écrivant que [tex]lim_ {n \to +\infty} \frac{p}{(n+k)}[/tex] = 1, je ne peux majorer [tex]\frac{{p}}{(n+k)} [/tex] que par une valeur arbitraire (1-[tex]\delta[/tex]) , [tex]\forall [/tex] n>N([tex]\delta[/tex],k) , ce seuil N dépendant aussi de k ... non?

Dernière modification par jazz24 (07-01-2013 14:02:27)

Fred

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Re : Suite

Est-ce qu'on ne peut pas simplement encadrer ????

[tex]p\geq nx[/tex] et [tex]n+k\leq 2n[/tex]????

jazz24

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Re : Suite

En effet Fred , et cette fois cela fonctionne ...

[tex]p\geq nx[/tex] et [tex]n+k\leq 2n[/tex]

On a alors [tex]\frac{p}{(n+k)} [/tex] [tex]\geq[/tex]  [tex]\frac{x}{2}[/tex]

[tex]\delta[/tex]=[tex]\frac{x}{2}[/tex] convient et on conclut pour la question 2), et en utilisant le résultat du 1), à la convergence de la suite (vers zéro), puisque majorée, à partir d'un certain rang, par [tex]\frac{C}{\sqrt{n}}[/tex] [tex]\sum_{nx<p<n}(1-\frac{x}{2})^p [/tex], C étant une constante et la tranche de la série géométrique tendant vers zéro pour n infini.

Merci beaucoup de nouveau (!)

Dernière modification par jazz24 (05-01-2013 13:56:46)