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la miss

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exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Bonjour, j'ai 15 ans , voila j'ai des exercices de maths a faire pour ce vendredi et je galère. je n'ai pas très bien compris le chapitre, j'ai absolument besoins de votre aide.

voila les deux exercices :

L'entreprise bienavue fabrique des montures de lunettes.
Pour un nouveau modèle, le bénéfice réalisé en fonction du nombre x de lunettes fabriquées (compris entre 100 et 850) et vendues est donné en euros par:
B(x)= -0,7x²+693,7x-88350,8
1. conjecturer le nombre de lunettes à fabriquer pour que le bénéfice réaliseé soit supérieur ou égal à 79,309 milliers d'euros

2.a démontrer que, pour tout x appartient [100;850],   B(x) -79 309 = -0,7(x-573)(x-418).

b. En déduire le nombre de lunettes à fabriquer pour que le bénéfice soit supérieur ou égal a 79,309 milliers d'euros.

second exo :

1.Déterminer les variations de f:x -> -(x-3)²+9 sur ]-infini; 3]et sur [3; +infini [

2.ABCD est un rectangle tel que AB =4 cm et AD = 6 cm
on place E sur [AB], puis F sur [AD] tel que AE=DF. Le point G est tel que AEFG est un rectangle.

a. Conjecturer la  position de E sur [AB] telle que l'aire de AEGF soit supérieure ou égale  a 5cm².

b. En posant AE = x, démontrer la conjecture.

j'espère que vous comprendrez et que vous pouvez m'aider.

yoshi

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Bonjour... lamiss,

15 ans, le bel âge !
Donc exo1 :

1. Conjecturer le nombre de lunettes

Conjecturer n'est pas démontrer, c'est une forme de supposition (mais pas pifométrique, quand même hein...)
Alors, conjecturons...
Par le calcul, ça ferait beaucoup d'essais...
Je penche pour une supposition graphique en traçant la courbe d'équation y = -0.7x²+693.7x88360.8 et la droite d'équation y = 79309.
Toutes les abscisses des points de la courbe sur la droite ou au dessus conviennent : ton prof attend donc donc non pas une valeur mais un intervalle...
Ta courbe est d'abord croissante puis décroissante c'est le coefficient négatif de x² qui permet de le dire...
Ton bénéfice passe donc par un maximum atteint pour [tex]x=\frac{-693,7}{2\times (-0.7)}=495.5[/tex]
Le nombre de lunettes étant entier, le calcul dirait qui de x=495 ou de x=496 donne le meilleur bénéfice...
Mais on s'en moque.
Si tu ne sais pas que le maximum ou minimum de [tex]ax^2+bx+c[/tex] est atteint pour [tex]x=\frac{-b}{2a}[/tex], ce n'est pas grave, tu prends ta calculette tu traces droite et courbe.
Ensuite, probablement tu ne verras rien à l'écran, donc tu vas devoir modifier l'échelle, pour afficher la partie de la courbe entre les points d'abscisses 400 et 600 et d'ordonnées supérieures à 79000...
Tu déplaces alors le curseur sur la courbe, jusqu'à rencontrer la droite 2 fois.
tu zoomeras autour de chaque intersection tu ajusteras alors la position du curseur et en bas de l'écran...
Pourquoi 400 et 600 ?
Et bien après, on te dit de prouver que B(x) -79 309 = -0,7(x-573)(x-418). Ceci équivaut à faire un changement de repère en mettant l'axe des abscisses coïncidant avec la droite y=79309... Donc, les zéros de la courbe le sont pour les valeurs x = 418 et x = 573...
Selon la précision à laquelle tu arriveras avec ta calculette, tu devras prendre par exemple [tex]x \in ]415 ; 580[[/tex]

2.a démontrer que, pour tout x appartient [100;850],   B(x) -79 309 = -0,7(x-573)(x-418)

Tu as B(x)= -0,7x²+693,7x-88350,8, tu calcules B(x) -79309 = -0.7x²+693,x-167659.8
Et maintenant tu développes et tu réduis -0.7(x-573)(x-418) et tu constates que c'est bien B(x)-79309

2b. En déduire le nombre de lunettes à fabriquer pour que le bénéfice soit supérieur ou égal a 79,309 milliers d'euros.

Si le bénéfice B(x) est supérieur à 79309 alors B(x)-79309 >=0...
Sachant que B(x)-79309=-0.7(x-573)(x-418), et que ses zéros sont 418 et 537, tu vas quand même pouvoir dire quelles sont les valeurs de x qui rendent B(x)-79309 supérieur ou égal à 0, donc qui rendent B(x) supérieur ou égal à 79309, non ?

Exercice 2
Est-ce que tu as vu la définition de fonction croissante et fonction décroissante. As-tu déjà fait des exercices en t'appuyant sur cette définition ? Même si tu ne les as pas compris..
Ce qui suit n'est qu'une explication de ce qui sa passe, pas une démonstration...
Tu dois partir de x-3.
Tu vois que pour x=3, x-3 =0 et f(x) =9...
Pour mieux comprendre, écris f(x) comme ça = f(x) =9-(x-3)²
On va retrancher à 9 un nombre (x-3)² toujours positif ou nul... Donc f(x) ne sera jamais supérieur à 9.
Pour x entre ]-oo ; 3], suppose que tu partes de -10, et que tu prennent pour x, successivement -9, -8, -7...-2... +2,  (x-3)² devient de plus en plus petit jusqu'à 0 pour x =3
Quant à f(x), à 9 on enlève (x-3)², un nombre de plus en plus petit : donc f(x) augmente et se rapproche de 9...
Entre ]-oo ; 3] ta courbe est croissante.
Entre [3 ; +oo[ x-3 devient de plus en grand (x-3)² aussi et 9 - (x-3)² de plus en plus petit... Ok ? Donc f(x) décroissante...

Démonstration sur ]-oo ; 3]
Soient deux nombres a et b tels que [tex]a < b \leq 3[/tex]
Puisque [tex]a < b \leq 3[/tex] alors [tex]a-3 < b-3 \leq 0[/tex] : j'ai soustrait un même nombre aux membres de l'inéquation.

Là il faut bien penser a-3 et b-3 sont négatifs, donc que leurs carrés sont dans l'ordre inverse :
[tex]0\leq (b-3)^2 < (a-3)^2[/tex]

Mais [tex]f(a)=9-(a-3)^2[/tex]  et  [tex]f(b)=9-(b-3)^2[/tex]
Donc, je vais encadrer -(b-3)^2 et -(a-3)^2 en multipliant les membres par -1 : donc on rechange l'ordre :
[tex]-(a-3)^2 < -(b-3)^2 \leq 0[/tex]
Et maintenant, ce qui ne change pas l'ordre, j'ajoute 9 à tous les membres :
[tex]-(a-3)^2 +9< -(b-3)^2 +9\leq 9[/tex]  d'où  [tex]f(a) < f(b)\leq 9[/tex]...

Résumé si on a : [tex]a < b \leq 3[/tex]   alors   [tex]f(a) \leq (f(b)[/tex] C'est la définition d'une fonction croissante de -oo à 3.

Maintenant, à toi, essaie la "même chose" en partant de [tex]3 \leq a < b[/tex]  et prouve que f(b) < f(a)...

Question 2
Là, pas d'équation, pas de courbe à tracer...
Je ferais un tableau de valeurs de 0.5 en 0.5 ) pour AE de 0 et 4 :
AE   AF    Aire
0      6       0
0.5   5.5   2,75
1      5       5
1.5  4.5    6,75
....
...
...
3.5  2.5
....

A toi de jouer.

Question 3
On te dit de poser AE = x (avec 0<=x <=4). Puisque DF = AE = x, comment écris-tu AF qui vaut AD-DF ?
Cela fait, écris l'aire en fonction de x : A = AE * AF =....
Maintenant
1. Développe et réduis l'expression f(x)=-(x-3)^2+9
2. Développe et réduis l'expression de ton aire
Compare les deux développements réduits.
Que constates-tu ?
Maintenant tu peux reprendre et adapter les résultats de la question 1.
Essaie et reviens.

@+

la miss

Invité

Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Merci de ta réponse.
j'ai compris le  2a et b de l'exo 1 , mais qu'est ce que tu entends quand tu dis : "ses zéros sont 418 et 537" , dans le 2b. ?
je laisse tomber le 1, trop compliqué.. :/

Oui, j'ai vu les définitions fonctions croissantes et décroissante, j'ai approximativement compris ton explication. je vais m'y remettre, maintenant que tu ma poussé sur la bonne piste, je viendrais te donné mes résultats quand j'aurais terminé.

merci encore.

yoshi

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Re,

mais qu'est ce que tu entends quand tu dis : "ses zéros sont 418 et 537

Ce sont les valeurs qui annulent -0.7(x-537)(x-518)...
Après réflexion, je vais être plus clair (sinon, oui, ton exo est assez méchant...).
1. Tu cherches à savoir quand  B(x)>=79309, c'est à dire quand b(x) -79309>= 0 c'est à dire encore pour quelles valeurs de x on a : -0.7(x-537)(x-518) >=0. OK ?
2. Tu sais faire (en principe ^_^) un tableau de signes ; là tu le fais comme ça :

            x      |100     518               573         850 |
-------------------|---------|-----------------|--------------|
         (x-573)   |         |                 0              |
-------------------|---------|-----------------|--------------|  
       (x- 518)    |         0                 |              |
-------------------|---------|-----------------|--------------|
   (x-573)(x-518)  |         0                 0              |
-------------------|---------|-----------------|--------------|
-0,7(x-573)(x-518) |   -     0         +       0    -         |
-------------------|---------|-----------------|--------------|

Et tu auras les valeurs de x telles que  B(x)-79309 >=0 : ça se voit comme nez au milieu de la figure...

@+

thadrien

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

j'ai compris le  2a et b de l'exo 1 , mais qu'est ce que tu entends quand tu dis : "ses zéros sont 418 et 537" , dans le 2b. ?

C'est le terme zéro qui te pose problème à mon avis. Un zéro de quelque chose est une valeur qui annule ce quelque chose. Exemple : sin(0) = 0 donc 0 est un zéro de la fonction sinus. Cependant, en classe de seconde, on parlera plutôt de racine que de zéro, terme plus fréquent en analyse complexe.

je laisse tomber le 1, trop compliqué.. :/

Ne te décourage pas !

C'est en effet un exercice purement mécanique : tu peux pratiquement l'ajouter dans ton tableau d’exercices avec, à gauche, la méthode, à droite, la solution. Il n'y a pas à réfléchir.

Yoshi a donné de très bonnes explications, mais je me permets de donner quelques explications sur LE point complexe de toute méthode graphique : déterminer les échelles optimales en x et en y.

En x : le nombre de lunettes est compris entre 100 et 850. Ce sera donc l'intervalle des x. Pas la peine de réfléchir plus.

En y : c'est un peu plus compliqué. Trois méthodes possibles :

a/ Beaucoup de calculatrices ont une fonction qui permet de déterminer automatiquement l'intervalle optimal des y à partir de celui des x. Relis avec attention le mode d'emploi de ta calculatrice !!! A utiliser en priorité si possible !

b/ Cette fonction est d'une forme connue ! C'est un trinome de degré 2 : [tex]B(x) = a x^2 + b x + c[/tex] avec a = -0,7 b = 693,7 et c=-88350,8. Sa courbe est une parabole, de sommet dirigé vers le haut, comme a est négatif. Il serait dirigé vers le bas sinon. Ta fonction monte jusqu'à son maximum et descend ensuite. Ce maximum se situe en [tex]- \frac{b}{2a} = 495,5[/tex] (formule importante qu'il faudra bien apprendre un jour, donc pourquoi pas maintenant). Arrondis à 500. Calcule ta fonction en 100, 500 et 850. Elle y vaut respectivement environ -26000, 83500 et -4500. Prends le min et le max comme axe des y : [-26000;83500].

c/ Dans le cas où la forme de la fonction n'est pas bien connue. Calculer la valeur de la fonction pour les bornes plus un point au milieu de ton intervalle. Tu prends le min et le max des valeurs comme intervalle des y. Ce n'est absolument pas un intervalle optimal mais tu en vois assez pour pouvoir ajuster l'intervalle de visualisation. Typiquement, dans ton cas, tu fais le calcul en 100, 400 (milieu approximatif de l'intervalle) et 850. Je te laisse faire le calcul. Ajuste ensuite empiriquement ton intervalle afin de tout voir.

Pour une fonction plus complexe, donc avec plus de variations, tu prendra typiquement 100, 200, 400, 600 et 850. Mais c'est inutile dans ton cas.

Tout le reste se fait comme l'a très bien expliqué Yoshi.

Quant à l'exo méchant, je trouve qu'il l'est plus dans sa formulation que dans l'exercice lui-même. Parler de "conjecturer" pour la question 1.a, c'est un peu comme dire que monsieur Jourdain fait de la prose...

yoshi

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Bonsoir,

Alors là, si la conjecture demandée doit aboutir à la réponse [100 ; 850], j'en resterais assez épaté vu que l'énoncé précise avant de poser la question :

(...) nombre x de lunettes fabriquées (compris entre 100 et 850)

.
En outre, je considère qu'il est douteux de dire que pour x dans [100 ; 850] le bénéfice est supérieur ou égal à 79 309 €, vu qu'il est négatif pour x dans [100 ; 150], qu'il passe à 0 entre 150 et 151, qu'il repasse à 0 entre 840 et 841 pour être négatif à 841...; on est loin des 79039...
Pour qu'un bénéfice soit supérieur ou égal à 79039, il faudrait déjà qu'il y ait un bénéfice.
Donc, j'admettrais ]150 ; 841[ : dans cet intervalle, il y a effectivement un bénéfice et non une perte...
Et je veux bien reconnaître que je ne sais pas vraiment à ce niveau (2nde !) comment un élève peut être capable de conjecturer un intervalle plus restreint, à part une lecture graphique sur la courbe tracée à la calculette (ce qui n'est pas la mer à boire -le tracé -)

Si toutefois la réponse est bien celle que tu donnes, j'irai plus loin que toi : non seulement elle confine à la tautologie mais elle est foutrement mal posée.

Si, l'exercice est méchant pour un élève de 2nde qui n'est qu'un ex-3e : je viens de vérifier le bouquin de 2nde à ma disposition et n'y ai trouvé aucun exo de ce type.
D'ailleurs avant de voir le niveau dans l'objet, j'avais cru 1ES.
On peut l'y avoir pêché, puis supprimé des choses annexes, genre dérivées, pour pouvoir le donner un cran en dessous...

On ne saura probablement jamais le fin mot de l'histoire...
Dommage !

@+

thadrien

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Alors là, si la conjecture demandée doit aboutir à la réponse [100 ; 850], j'en resterais assez épaté vu que l'énoncé précise avant de poser la question :
[...]
Si toutefois la réponse est bien celle que tu donnes, j'irai plus loin que toi : non seulement elle confine à la tautologie mais elle est foutrement mal posée.

Je vois que je n'ai pas été assez clair...

L'intervalle dont je parle est l'intervalle de tracé de la courbe ! En gros, le xmin et xmax de la calculatrice. Ce n'est absolument pas la réponse à la question. C'est seulement une étape intermédiaire dans sa résolution.

Si, l'exercice est méchant pour un élève de 2nde qui n'est qu'un ex-3e : je viens de vérifier le bouquin de 2nde à ma disposition et n'y ai trouvé aucun exo de ce type.

Là encore, je n'ai pas été assez clair... au risque de heurter certains, je vais préciser mon propos.

Un exercice n'a pas de volonté propre. Je n'ai personnellement jamais vu d'exercice se jeter sur moi pour me mordre. Il n'y a donc pas d'exercice méchant; il n'y a que des professeurs méchants qui les donnent. Un exercice peut éventuellement être difficile mais ne sera jamais méchant.

Heureusement que j'ai eu la chance d'avoir d'excellents professeurs, qui ont su faire de moi un homme meilleur. Mais j'ai hélas eu aussi l'occasion de voir des pratiques pédagogiques douteuses, pour ne pas dire absolument contre-productives. On m'a par exemple dit au collège que j'étais "sur la mauvaise pente".

Si j'étais sur la mauvaise pente, je me demande à quoi doit ressembler la bonne...

Dernière modification par thadrien (01-04-2012 20:03:10)

yoshi

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Re,

Bin, ça dépend si ta pente à toi était montante... Dans ce cas-la, si on a estimé que l'autre était la bonne, bin tu vois qu'ils se sont trompés...
On peut même préciser, si on veut faite des maths, que pente est associé à un coefficient directeur positif : donc dans ce cas-là, tout dépendait du sens de parcours : visiblement d'aucuns devaient être dans le sens de la descente.
M'fait penser à La RocheFoucauld qui disait :
Les vieillards aiment à donner de bons conseils pour se consoler de ne ne plus être en mesure de donner de mauvais exemples.
On doit pouvoir adapter cette maxime à ceux qui portent des jugements définitifs et à l'emporte-pièce sur leurs élèves...

Méchant a encore un autre sens familier - voire argotique -, coco et c'est cuilà que j'ai employé : on dit couramment que quelqu'un a ramassé "une méchante gamelle" pour signifier qu'il a fait une chute assez dure...
Ce n'était donc pas méchant dans le sens avec "volonté propre de nuire", le "contraire" de gentil.. ;-)
Allez, comme dirait nerosson :
Pax tecum, vale tibi !

@+

la miss

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

coucou, je reviens pour tous vous remercier. Finalement j'ai eu 18.5 a mon Dm.
si les réponses intéresse quelqu'un, dites moi le et je les posterai.
je vous remercie encore une fois, bonne après-midi.

yoshi

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Re,

C'est bien, je pense que tu saurais refaire...
Oui, moi ce qui m'intéresse, c'est de savoir ce que ton prof voulait dire avec sa 1ere question : conjecturer et comment il a fait.

@+

la miss

Invité

Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

1 : conjecture

a l'aide de la calculatrice, dans le menu table
pour 418 lunettes, le benefice est egal à 79309
pour 419 lunettes, le benefice est egal à 79309
pour 572 lunettes, le benefice est egal à 79416
pour 573 lunettes, le benefice est egal à 79309

Donc le bénèfice est supérieur ou égal a 79309 pour un nombre de lunettes fabriquées compris entre 418 et 573

Voila la correction qu'elle nous a donnée.

yoshi

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Bonsoir,

Merci...
Voilà qui me rassure : le côté lecture graphique (1) associé à un peu de calcul (2) était bien la seule possibilité.
Donc :
(1) Il fallait bien tracer la courbe avec un niveau de zoom suffisant,
(2) Sauf si la mention du menu Table, signifie qu'on donne 418, 419, 472.... à la machine et qu'elle offre directement les valeurs du bénéfice...
Je ne suis pas chez moi et je n'ai donc ma vieille graphique TIXX (j'ai oublié le modèle exact) et je ne l'ai pas sous la main pour vérifier si elle a ce menu (+de 10 ans que j'ai pas mis le nez dedans).
Ma fille par contre a une casio graphique assez récente avec elle et s'en sert souvent : je lui poserai la question.

J'espère que tu as compris ce qu'il fallait faire et que devant un pb semblable, tu saurais dorénavant te débrouiller.

@+

Rania

Invité

Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Bonsoir, je serais intéressée par les réponses svp, merci :)

yoshi

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Bonsoir,

Le travail est déjà tout mâché, il n'y aura pas de 2e service...
Il te suffit de suivre attentivement ce qui a été crit.
1. Les réponses à quelles questions ?
2. Si tu nous donnais plutôt les tiennes de réponses pour qu'on puise te dire oui ou non et pourquoi c'est faux ?

@+

Rania

Invité

Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Enfaite, je n'ai pas compris la question 2)a ... Je n'arrive pas à développer et réduire -0,7(x-573)(x-418)>=0

yoshi

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Re : exercices de maths niveau seconde sur les fonctions carrées

Re,

Alors tu commences par développer (x-573)(x-418), puis tu multiplies le tout par -0,7
Niveau 3e.
(x-573)(x-418) = x² -573x-418x+239514
                      = x² - 991x +239514
Et maintenant tu continues :
-0,7(x-573)(x-418)=-0,7(x² - 991x +239514) = ...

Quand ce sera fait, sachant que B(x)= -0,7x²+693,7x-88350,8, tu calcules B(x)-79 309
Et, ô miracle tu constates que tu as bien :
B(x)-79 309 = -0,7(x-573)(x-418)

@+