Forum de mathématiques - Bibm@th.net

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Exercice d'équation différentielle

Bonjour ;
j'ai cette question  :
Soit g une fonction de classe [tex]C^1[/tex] de R dans R , telle que [tex]g(0)=g(1)=0[/tex] et [tex]g(x)<0[/tex] pour tout [tex]0<x<1[/tex].
1) Soit [tex]0<x_0<1[/tex] et soit [tex]x[/tex] une solution sur [0,T[ du problème [tex]x(0)=x_0 , x'=g(x)[/tex].
Montrer que[tex] 0<x(t)<1[/tex] pour tout [tex]t \in [0,T[[/tex] .
j'arrive pas a la faire , aidez moi s'il vous plait

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

Salut,

  Une première étape : démontre que x(t)>0.
Pour cela, tu peux remarquer que la fonction identiquement nulle est solution, et
que deux solutions différentes ne sont jamais égales en un point....

Fred.

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

Oui merci, entre temps j'ai résolue  cette question
mais s'il vous plait , je bloque sur la suite :
En déduire que le problème [tex]x(0)=x_0 ,x'=g(x)[/tex] admet une solution globale unique sur [tex][0, \infty[[/tex] , et montrer que cette solution vérifie [tex]\displaystyle\lim_{t \rightarrow \infty} x(t)=0[/tex] .
je sait que comme [tex]g[/tex] est de classe [tex]C^1[/tex] alors il est localement lipschitzien et donc le problème admet une unique solution locale , mais comment dire la solution est globale
s'il vous plait
merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

Bonsoir,

  Il faut utiliser ce que l'on appelle parfois le théorème d'explosion en temps fini
(c'est-à-dire le comportement au bord des solutions d'une équation différentielle),
dont tu trouveras un énoncé sur cette page.

Pour déterminer la limite en l'infini, remarque déjà que x est décroissante....

Fred.

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

J’avoue que je n'ai pas bien compris le théorème ,
moi j'ai une solution locale unique , maintenant je doit supposer qu'il existe une solution maximal , c'est ça ?
et après je fait quoi ?
s'il vous plait
merci.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

Tu considères une solution maximale (unique elle aussi) définie sur un intervalle ]a,b[, qu'on note donc [tex]x[/tex]

Si [tex] b\neq +\infty[/tex], le théorème que je t'ai signalé dit que [tex]x[/tex] ne peut pas être bornée au voisinage de [tex]b[/tex]

Mais ceci contredit la première question que dit que [tex]x[/tex] est toujours compris entre 0 et 1.

Et donc [tex]x[/tex] est définie sur [tex] [0,+\infty[ [/tex]

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

S'il vous plait; on a [tex]0<x(t)<1[/tex] pour tout [tex]t \in [0,T[[/tex] , es qu'on prend [tex]]a,d[ \subset [0,T[[/tex] ?
Merci.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

Si tu considères une solution maximale, tu as forcément d=T.

F.

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

donc on considère une solution maximal et on prouve par l'absurde qu'elle est globale
c'est ça ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

Exactement.

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

ok, merci
et pour la limite s'il vous plait ,x est  décroissante , alors on peut dire que[tex] 0<x(t)< x_0[/tex] et comment faire après ?
après y a une autre question
on suppose que [tex]g'(0)=- \alpha <0[/tex] , montrer que pour tout[tex] 0< \beta <\alpha[/tex] , il existe une constante [tex]C >0[/tex] telle que[tex] x(t) \leq C \exp ^{-\beta t}[/tex] pour tout [tex]t \geq 0[/tex]
je pense je suis même quasiment sure que je doit appliquer Gronwall mais j'ai pas su comment faire ,c'est le fait que je ne sais pas ou utiliser le fait que [tex]g'=-\alpha[/tex]
s'il vous plait
merci.

Dernière modification par vrouvrou (29-12-2012 19:58:20)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

[tex]x[/tex] est décroissante minorée, donc admet une limite!!!!

Il te reste à démontrer que cette limite est nulle. Mais [tex]x'[/tex] tend vers [tex]g(l)[/tex]
et si [tex]x[/tex] et [tex]x'[/tex] admettent tous deux une limite, [tex]x'[/tex] ne peut que tendre vers 0.
Donc....

Pour l'autre question, il faudrait que je réfléchisse un peu, et je n'ai pas le temps pour l'instant!

F.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

Re-

  La dernière question est plus difficile, et je doute que le lemme de Gronwall soit utile.
Une possibilité est de dire que g étant de classe C^1, on peut trouver un intervalle
de la forme [tex] [0,\delta] [/tex] sur lequel [tex]g(x)\leq -\beta x[/tex]
si [tex]x\in [0,\delta] [/tex] (c'est-à-justifier en utilisant ton hypothèse sur g'(0) ).

Ensuite, tu peux étudier la fonction
[tex]y(t)=x(t)\exp(\beta t)[/tex] et vérifier notamment que la dérivée est négative au voisinage de l'infini.....

F.

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

ah d'accord alors c'est pour ça  que je n'est pas su utiliser Gronwall !
j'ai une petite question au sujet de la limite
si x' tend vers 0 alors x aussi tend vers 0 ?
s'il vous plait

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

c'est bon j'ai compris la limite merci

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

Pour la deuxième question : je fait comme tu la dit et pour voir si j'ai bien compris je résume tout
soit [tex]\alpha , \beta[/tex] telle que [tex]0<\beta <\alpha[/tex]
[tex]g'(0)=-\alpha[/tex] , comme g est de classe [tex]C^1[/tex] il existe un intervalle [tex][0,\delta][/tex] sur lequel [tex]g(x) \leq -\beta x , x \in [0,\delta][/tex]
soit la fonction [tex]y(t)=x(t) \exp( \beta t)[/tex]
[tex]y(t) > 0[/tex] pour [tex]t \in [0,\infty[[/tex]
[tex]y'(t)= x'(t) \exp ( \beta t) + \beta x(t) \exp ( \beta t) = (x'(t)+ \beta x(t)) \exp ( \beta t)[/tex]
[tex]\displaystyle \lim _{t \rightarrow \infty} y (t) = 0 ,y(0)=x_0 > 0[/tex]
donc [tex]y'(t)\leq0 sur [0,\infty[[/tex] ce qui implique que :
[tex]x'(t) \leq \beta x(t) \Rightarrow \int \displaystyle \frac{x'(s)}{x(s)} ds \leq  \int \beta \Rightarrow \ln x(t) \leq -\beta t +c \Rightarrow x(t)\leq C \exp(-\beta t)[/tex]
[tex]C=\exp(c) >0[/tex]
c'est ça ?

Dernière modification par vrouvrou (30-12-2012 20:15:02)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

Pour la deuxième question : je fait comme tu la dit et pour voir si j'ai bien compris je résume tout
soit [tex]\alpha , \beta[/tex] telle que [tex]0<\beta <\alpha[/tex]
[tex]g'(0)=-\alpha[/tex] , comme g est de classe [tex]C^1[/tex] il existe un intervalle [tex][0,\delta][/tex] sur lequel [tex]g(x) \leq -\beta x , x \in [0,\delta][/tex]
soit la fonction [tex]y(t)=x(t) \exp( \beta t)[/tex]
[tex]y(t) > 0[/tex] pour [tex]t \in [0,\infty[[/tex]
[tex]y'(t)= x'(t) \exp ( \beta t) + \beta x(t) \exp ( \beta t) = (x'(t)+ \beta x(t)) \exp ( \beta t)[/tex]
[tex]\displaystyle \lim _{t \rightarrow \infty} y (t) = 0 [/tex]

Déjà là, je ne suis pas d'accord! Tu as une forme indéterminée, tu ne peux pas décider de la limite comme cela.
Une chose qui devrait te mettre la puce à l'oreille, c'est que nulle part dans ton raisonnement tu n'utilises que
[tex]g(x)\leq -\beta x[/tex]....

Je reprends juste avant la bêtise que je viens de signaler.
Tu as
[tex]y'(t)=\big( g(x(t))+\beta x(t) \big) \exp(\beta t)[/tex]

Or, tu sais que [tex]x(t)[/tex] tend vers 0 lorsque [tex]t[/tex] tend vers l'infini.
Maintenant, tu peux donc utiliser l'hypothèse que tu as sur [tex]g[/tex] pour en déduire des informations
sur le signe de [tex]y'(t)[/tex].

Fred.

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

[tex]g(x(t)) \leq - \beta x(t) \Rightarrow g(x(t))+\beta x(t) < 0 \Rightarrow x'(t)+ \beta x(t) < 0 \Rightarrow y'(t)<0[/tex]
s'il vous plait on peut ignorer la fonction y ,et par le fait que [tex]g(x) \leq -\beta x[/tex] en déduit la suite ?
Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

[tex]g(x(t)) \leq - \beta x(t) \Rightarrow g(x(t))+\beta x(t) < 0 \Rightarrow x'(t)+ \beta x(t) < 0 \Rightarrow y'(t)<0[/tex]
s'il vous plait on peut ignorer la fonction y ,et par le fait que [tex]g(x) \leq -\beta x[/tex] en déduit la suite ?
Merci

Je ne sais pas ce que tu veux dire par ignorer la fonction y, mais dans tous les cas tu as démontré que y' est décroissante...
Enfin, presque!
Je ne suis pas d'accord quand tu écris que

[tex]g(x(t)) \leq - \beta x(t)[/tex]

Ceci n'est vrai que si t est assez grand pour que [tex]x(t)\in [0,\delta] [/tex], disons pour [tex]t\geq A[/tex]

Et ce que tu peux donc déduire immédiatement de cela, c'est que, pour [tex]t\geq A[/tex], on a
[tex]y(t)\leq y(A) [/tex].....

F.

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

j'ai pas compris ce que je doit déduire -_-

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

[tex]0<y(t)< x_0 , t_0 \in [0,+\infty[[/tex] !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

Que suffit-il de prouver sur y pour arriver au résultat?????

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

il faut que [tex]y \leq C[/tex] ,C>0

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Exercice d'équation différentielle

Oui, donc tu as déjà démontré que [tex]y(t)\leq y(A)[/tex] si [tex]t\geq A[/tex].
Il te reste à démontrer que [tex]y[/tex] est bornée sur [tex] [0,A] [/tex], ce qui utilise
un théorème de première année après le bac!

vrouvrou

Membre

Inscription : 20-09-2012

Messages : 311

Re : Exercice d'équation différentielle

théorème de Weierstrass !