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Simon

Invité

Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'un éclairage pour savoir comment procéder de manière rigoureuse, pour résoudre une équation différentielle (a priori non linéaire).
Si ma fonction f=y' est localement lipschitzienne ou de manière moins générale, C1, le théorème de Cauchy-Lipschitz m'assure qu'il existe une solution (unique sous certaines conditions initiales) définie sur un intervalle ouvert de mon ensemble de définition de mon équation différentielle. Prenons le cas d'une équation à variables séparables, je procède par équivalence en me donnant une solution non constante.

Mais j'ai le droit de travailler uniquement sur mon intervalle I en question puisqu'il n'existe pas de solutions autre part de manière a priori. J'obtiens ainsi une fonction définie uniquement sur I.
Comment se fait-il que dans la plupart des résolutions d'exercices, les solutions ne sont pas définies sur cet intervalle I en question ? Peut-on extrapoler I à l'ensemble de définition de la fonction trouvée ?

Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

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Re : Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

Salut,

  Est-ce que tu peux nous donner un exemple précis sur lequel discuter????

F.

Simon

Invité

Re : Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

C'est un problème que j'ai rencontré dans plusieurs cas mais bon prenons cet exemple :

[tex]\frac{{e}^{y}-1}{{e}^{y}-2}\,y'\,=\,\frac{1}{x}[/tex] 

(i) Ensemble de définition de l'équation :  [tex]x\,\in \,\mathbb{R}-\left(0\right)\cap \left(x\,\in \,\mathbb{R}\,\mathbb{/}\,y\left(x\right)\,\neq \,\ln 2\right)[/tex]

(ii)  Soit   [tex]f\left(x,y\right)=\,\frac{{e}^{y}-2}{{e}^{y}-1}\,\frac{1}{x}[/tex]
f est C1 sur (R*)x(R*) et non localement lipschitzienne en 0 donc d'après le théorème de Cauchy-Lispschitz, il existe une solution sur un intervalle ouvert I de  [tex]\mathbb{R}-\left(0\right)\cap \mathbb{D}[/tex]

(iii) La fonction y:=0 est solution de mon équation sur  [tex]\mathbb{R}-\left(0\right)\cap \mathbb{D}[/tex]
Soit y une solution non constante : d'après le théorème de Cauchy Lipschitz :   [tex]\forall x\,\in \,\mathbb{R}-\left(0\right)\cap \mathbb{D},\,y\left(x\right)\,\neq \,0[/tex]

Ensuite je procède par équivalence

y est solution de E ssi : [tex]\forall \,x\,\in \,\mathbb{I},\,{e}^{y\left(x\right)}\left|{e}^{y\left(x\right)}-2\right|=\,\lambda {x}^{2},\,\lambda \,\in \,\mathbb{R}\mathbb{+}-\left(0\right)[/tex]

Puis, je "transfère" la valeur absolue dans mon lambda, en prenant (x0,y0) dans R* inter D :

[tex]\lambda \,=\,\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}\,{e}^{{y}_{0}}\left({e}^{{y}_{0}}-2\right)[/tex]

Puis j'obtiens une équation en polynôme exponentielle :

[tex]{e}^{2y\left(x\right)}-2{e}^{f\left(x\right)}-\lambda {x}^{2}=\,0[/tex]

Simon

Invité

Re : Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

Puis calcul du déterminant :

[tex]\Delta \,=\,4\left(1+\lambda {x}^{2}\right)[/tex]

- cas :  [tex]\lambda >0[/tex]   ie   [tex]\Delta \geq 0[/tex]

[tex]{e}^{y\left(x\right)}=\,1\,+\,\sqrt{1+\lambda {x}^{2}}>\,0  [/tex]

ou

[tex]{e}^{y\left(x\right)}=\,1\,-\,\sqrt{1+\lambda {x}^{2}}<\,0[/tex] impossible

D'ou

[tex]\forall x\,\in \,I,\,fy\left(x\right)=\,\ln \left(1+\sqrt{1+\lambda {x}^{2}}\right)[/tex]

C'est là qu'est mon problème, j'ai ma solution définie uniquement sur I, pourquoi le résultat final (de mon corrigé) donne cette solution sur R ? Je vois bien qu'elle est définie sur R mais j'ai l'existence que sur R

Puis quand je continue ma disjonction de cas

- cas  [tex]\lambda <0[/tex]

Pour qu'il y ait des solutions :  [tex]\Delta \geq 0[/tex]   ie   [tex]{x}^{2}\leq -\frac{1}{\lambda}[/tex]  ie   [tex]0\leq \left|x\right|\leq \frac{1}{\sqrt{-\lambda }}[/tex]

J'ai deux solutions possibles pour  [tex]x\in I\,\cap \,\left(\left|x\right|<\frac{1}{\sqrt{-\lambda }}\right)[/tex]

[tex]y\left(x\right)=\ln \left(1+\sqrt{1+\lambda {x}^{2}}\right)[/tex]

et

[tex]y\left(x\right)=\ln \left(1-\sqrt{1+\lambda {x}^{2}}\right)[/tex]

Je ne vois pas ou sont définies ces solutions ? On a pas unicité pour x dans l'intervalle ou ces deux solutions sont définies ?
Cela a été fait de manière très imprécise en TD, on a juste eu une fiche réponse sans nous avoir présenté les éléments de rigueur. Je vous en serait très reconnaissant si vous pourriez m'aider.

Simon

Invité

Re : Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

Je n'ai pas trouvé les { } pour les ensembles sur le module Latex R-(0) signifie R * ...

Simon

Invité

Re : Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

L'ensemble D n'a pas été défini, il s'agit des x tels que y(x) soit différent de ln2

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

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Re : Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

Salut,

Concernant Latex, je peux répondre...
Pour afficher { avec LateX, il faut "échapper" le { ainsi : \{.
\mathbb{R}^*=\mathbb{R} - \{0\} devient alors :
[tex]\mathbb{R}^*=\mathbb{R} - \{0\}[/tex]

Quant à "différent de" ce n'est pas \noteq mais \neq -->
1 \noteq 2 ---> [tex]1 \noteq 2[/tex]
mais
1 \neq 2 ---> [tex]1 \neq 2[/tex]

@+

Simon

Invité

Re : Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

Merci Yoshi !
En relisant mon message je me suis apercu qu'il y avait quelques bourdes dans mon raisonnement par équivalence il s'agit uniquement de la fonction y(x) le f(x) n'a rien à faire ici. Désolé

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

Salut Simon,

  Je comprends effectivement beaucoup mieux ton problème.
Ce que l'on fait, en général, c'est de chercher le plus grand intervalle sur lequel la fonction est défini.
Plutôt que de faire un raisonnement par équivalence, je ferai un raisonnement par analyse-synthèse.

1ère étape (cas [tex]\lambda>0[/tex]) : si [tex]y[/tex] est solution de l'équation sur un intervalle I, alors patati
patata, elle est égale à [tex]\ln(1+\sqrt{1+\lambda x^2})[/tex] sur I.

2ème étape, la réciproque : Réciproquement, je vérifie que la fonction [tex]\ln(1+\sqrt{1+\lambda x^2})[/tex], qui
est définie sur [tex]\mathbb R[/tex] tout entier, est solution de l'équation différentielle,
simplement en la dérivant.

Peut-être que tu peux, pour comprendre, jeter un coup d'oeil ici : http://www.bibmath.net/exercices/index. … oi=analyse
Cherche la feuille consacrée aux équations différentielles non linéaire, et jette un coup d'oeil aux exercices 2 et 3 notamment.

Fred.

Simon

Invité

Re : Théorème de Cauchy-Lipschitz et intervalle maximal

D'accord, merci beaucoup pour votre aide précieuse, j'ai compris !

Bonnes fêtes