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samo12

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Topologie

Salut, j'ai besoin de vos aides.
1)Soient E et F deux espaces de Banach et supposons qu'il
existe f : E --> F un isomorphisme de E sur F. Montrer que E est réflexif si et
seulement si F est réflexif.
2)Soit E un espace de Banach et (xn) n>=1 une suite de E qui
converge faiblement vers un élément x de E. Montrer qu'il existe une suite de
combinaisons convexes des xn qui converge fortement vers x.
3)Soit E un espace réflexif et soit f appartient à  E'. Montrer que ||f|| sur E'
est atteinte.
Pour la troisième question, on f est continue sur E donc elle est continue sur la boule unité fermé qui est compacte car E réflexif, alors on a une application continue sur un compact donc elle atteint ses bornes d'où le résultat c'est correct?
Et pour la première question il faut montrer que la boule unité fermé de F est compact, On a BF(0,1)=f(BE(0,1)) et comme f est isomorphisme donc f est continue et BE(0,1) est compact (E est réflexif) donc l'mage d'un compact par une application continue est un compact. et je crois que pour le deuxième sens c'est la même chose si on utilise l'image réciproque de f, c'est juste??
La deuxième question, je me suis bloqué, Pourriez- vous m'aider? merci d'avance :)

Fred

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Re : Topologie

Salut Samo12,

  D'abord, une petite précision. Dans un espace de Banach réflexif, la boule unité fermée est compacte pour la topologie faible.
La preuve de 1. que tu donnes est correcte en rajoutant pour la topologie faible partout, et parce qu'une application linéaire de E dans F est continue pour la topologie de la norme si et seulement si elle est continue pour la topologie faible.

Pour la question 2., j'imagine que tu as vu dans ton cours qu'un convexe est fermé pour la topologie faible si et seulement si il est fermé pour la topologie de la norme. Notons C l'enveloppe convexe de la suite [tex](x_n)[/tex] et [tex]D[/tex] son adhérence pour la topologie de la norme. C'est aussi son adhérence pour la topologie faible d'après ce que je viens de rappeler. D'autre part, x est dans l'adhérence faible de la suite [tex](x_n)[/tex], donc dans l'adhérence faible de C, donc dans D, qui est aussi l'adhérence pour la norme de C, et donc x est bien limite, pour la norme, d'une suite de combinaisons convexes de la suite [tex](x_n)[/tex].

F.

samo12

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Re : Topologie

Re,
Merci beaucoup :) et j'ai quelque chose que je n'ai pas comprise dans le même contexte et merci de m'aider:
Soit E un Banach. Soit A appartient à E un sous ensemble fermé pour la topologie faible. soit B appartient à E compact faible.
Montrer que A+B est fermé pour la topologie faible?
j'ai essayé de  montrer que le complémentaire de A+B est un ouvert pour la topologie faible et puis je me suis bloqué
Et j'ai une autre question, comment je montre que l'orthogonal de M qui est s.e.v de E(Banach)  fermé faible .f0 appartient à E'
On sait que L'orthogonal de M est convexe donc reste à vérifier que M est fermé fort(on peut voir que M est l'image réciproque d'une application continue ) C'est ça ?

Dernière modification par samo12 (24-12-2012 20:42:42)