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soso

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Limites

Bonjour / Bonsoir,
j'ai fait un petit exercice, pouvez-vous me dire s'il est correcte s'il vous plaît?

Consigne: déterminer les limites de f(x).

[tex]f(x)=\sqrt {x²+4x+3}-2x[/tex] en [tex]- \infty [/tex]

lim(x²+4+3)= lim x²= [tex]+ \infty[/tex]
lim ([tex]\sqrt x[/tex])= [tex]+\infty [/tex].
Par composition j'ai lim [tex]\sqrt {x²+4x+3}[/tex]= [tex]+\infty [/tex]
lim( -2x)= [tex]-\infty [/tex].
On a donc une forme inderterminer et il faut la levée (logique !)

[tex]f(x)=\sqrt {x²+4x+3}-2x [/tex]

=[tex]\sqrt {x²(1+ \frac{4}{x}+ \frac{3}{x}  }-[/tex]2x
=[tex]x\sqrt {(1+ \frac{4}{x}+ \frac{3}{x}  }-[/tex]2x
=[tex]x\sqrt {(1+ \frac{4}{x}+ \frac{3}{x}  }-[/tex]2)
[tex]lim( 1+ \frac{4}{x}+ \frac{3}{x})=1[/tex]
lim(-2)=-2 
Par addition[tex] lim(\sqrt {1+ \frac{4}{x}+ \frac{3}{x}}-2)=-1[/tex]

[tex]lim x=+\infty [/tex]
[tex] lim(\sqrt {1+ \frac{4}{x}+ \frac{3}{x}}-2)=-1[/tex]
par multiplication, [tex]lim f(x)=-\infty[/tex]

2.[tex]f(x)=\frac{\sqrt{x²+x+3}}{x}[/tex] en [tex]-\infty[/tex]
[tex]lim (x²+x+3)=lim x²= + \infty[/tex]
[tex]lim\sqrt x= [/tex] ça n'existe pas...?
Du coup je ne sais pas comment continuer !

3.f(x)=[tex]\frac{x cosx}{1+x²}[/tex] en [tex]\frac{pi}{3}[/tex] puis en[tex] -\infty[/tex]

[tex]f(x)=\frac{xcosx}{1+x²} en \frac{pi}{3}
=\frac{xcosx}{1+x²}[/tex]
= [tex]\frac{\sqrt 3}{6}[/tex]?

En [tex]- \infty[/tex]
je n'arrive pas à lever l'indertermination
Je trouve [tex]\frac{cos}{x(\frac{1}{x²}+1)}[/tex]
Je sait que le bas tend vers [tex]- \infty [/tex]mais le haut ? il tend vers -1 ???Merci d'avance :)

Valentin

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Re : Limites

Bonsoir,
Il faut plutôt que tu appliques la définition de valeurs absolues : racine de x²=valeur absolue de x. Voici un exemple pour ta fonction f(x):
[tex]\sqrt{a{x}^{2}+bx+c}=\left|x\right|\sqrt{a+\frac{b}{x}+\frac{c}{{x}^{2}}}\,et\,\left|x\right|=\left\{x\,si\,x>0\,et\,-x\,si\,x<0\right.[/tex]

Valentin

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Re : Limites

1)Ici, f(x) est équivalent à -3x et tend vers + l'infini quand x tend vers - l'infini.
2)Tu raisonnes comme à la question 1).
3)limite en - l'infini, utilises un encadrement : -1<=cos(x)<=1 et appliques le théorème de Gendarme.

soso

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Re : Limites

Bonjour et merci beaucoup pour votre réponse :).

1. Mais comme je trouve le même résultat que vous( en utilisant la méthode dans le poste #1), c'est quand même juste ?Mais comment est ce que vous trouvez -3x?

3. d'accord mais du coup ce sera la même limite pour [tex]\frac{pi}{3}[/tex] et [tex]-\infty[/tex]?.

Merci d'avance et bonne journée.
Sophie.

Valentin

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Re : Limites

[tex]f\left(x\right)=\left|x\right|\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}-2x\,Comme\,x<0,\,\left|x\right|=-x.\,alors\,f\left(x\right)=-x\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}-2x[/tex]

Valentin

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Re : Limites

(Mon éditeur d'équation ne fonctionne pas!!!)

Valentin

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Re : Limites

[tex]{\lim }_{x\rightarrow -\infty }-x\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}-2x=+\infty ,car\,{\lim }_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}=1[/tex]

Valentin

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Re : Limites

3) [tex]f\left(x\right)=\frac{x\cos \left(x\right)}{1+{x}^{2}}\,f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\frac{\pi }{3}\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)}{1+\frac{{\pi }^{2}}{{3}^{2}}}=\frac{\frac{\pi }{3}\times \frac{1}{2}}{9+{\pi }^{2}}\times 9=\frac{3\pi }{2\left(9+{\pi }^{2}\right)}[/tex]

amatheur

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Re : Limites

salut
pour la question 3; la limite en  [tex]-\infty [/tex] s'obtient en encadrant la fonction.
a+

Valentin

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Re : Limites

3)[tex]\frac{x}{1+{x}^{2}}\leq f\left(x\right)\leq -\frac{x}{1+{x}^{2}}[/tex], et d'après le théorème des Gendarmes,[tex]\lim _{x \mapsto -\infty}f\left(x\right)=0[/tex]

Dernière modification par yoshi (10-12-2012 07:15:30)

soso

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Re : Limites

Bonjour et merci beaucoup pour votre réponse :)

Je trouve pareil que vous sauf pour celui ci:

[tex]{\lim }_{x\rightarrow -\infty }-x\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}-2x=+\infty ,car\,{\lim }_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}=1[/tex]

Je trouve -1 :S

valentin12

Invité

Re : Limites

Salut Sophie,
il faut que tu lises attentivement les posts.

[tex]\forall x<0,f\left(x\right)=-x\left(2+\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}\right),\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left(-3x\right)=+\infty[/tex] ,car [tex]\lim_{x\rightarrow -\infty }\sqrt{1+\frac{4}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}=1\,[/tex]
Valentin

soso

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Re : Limites

D'accord merci :) Bonne soirée,
Sophie