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vrouvrou

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Convergence faible de la base hilbertienne

Salut ,
pour prouver que la base hilbertienne $(e_n)_n$ converge faiblement vers 0
on fait :
1- tout élément x d'un éspace de Hilberte $H$ s'écrit comme une combinaison linéaire [tex]x= \displaystyle\sum _{n=1} ^{\infty} (e_n , x ) e_n[/tex] ..... c'est ok
2- donc on a [tex](e_n,x) \longrightarrow 0[/tex] ..... pourquoi ?
ce qui fait que [tex](e_n,x) \longrightarrow (0,x) \forall x \in H[/tex]
donc [tex]e_n[/tex] converge faiblement vers 0 .
comment passer de 1 vers 2 ?
j'ai lu qu'on prouver utiliser le théorème de Bessel
mais comment arriver a la formule [tex]x = \sum |(e_n ,x)|^2[/tex] en utilisant [tex]x= \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (e_n,x)e_n[/tex]
s'il vous plait
merci

Fred

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Re : Convergence faible de la base hilbertienne

Salut,

  Simplement, tu écris que
[tex] \|x\|^2=\left(\sum_{n=1}^{+\infty}(e_n,x)e_n,\sum_{n=1}^{+\infty}(e_n,x)e_n\right) [/tex]
et tu obtiens la formule de Bessel.....

Plus généralement, si une série converge, son terme général tend vers 0. Donc, par exemple
[tex] (e_n,x) e_n [/tex] tend vers 0, et puisque [tex]e_n[/tex] et de norme 1, c'est bien que
[tex] (e_n,x)[/tex] tend vers 0.

F.

vrouvrou

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Re : Convergence faible de la base hilbertienne

Bonjour,
donc j'ai [tex]||x||^2= \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} |(e_n,x)|^2[/tex]
je cherche sur le net je ne trouve pas un théorème qui dit si cet une formule de Bessel alors elle converge
je fait comment alors ?
je regarde si [tex]\displaystyle \sum _{n=1}^{N} |(e_n,x)|^2[/tex] tand vers 0 ?
s'il vous plait
merci

vrouvrou

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Re : Convergence faible de la base hilbertienne

l’avant dernière ligne du poste 2 ,
je n'ai pas compris
s'il vous plait

Dernière modification par vrouvrou (09-12-2012 20:56:19)

Fred

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Re : Convergence faible de la base hilbertienne

Puisque tu as

[tex]||x||^2= \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty} |(e_n,x)|^2[/tex]

c'est bien que la série converge  (ie que la suite [tex]\sum _{n=1}^{N} |(e_n,x)|^2[/tex]
admet une limite lorsque N tend vers l'infini).
Et donc son théorème général tend vers 0.

F.

vrouvrou

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Re : Convergence faible de la base hilbertienne

parce que ||x|| est borné , la série converge ?

Fred

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Re : Convergence faible de la base hilbertienne

Parce que ||x|| est un réel, oui.

vrouvrou

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Re : Convergence faible de la base hilbertienne

réel donc fini c'est ça ! et après comme tu ma dit la série converge donc le terme général tand vers zéro
c'est ça

Fred

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Re : Convergence faible de la base hilbertienne

C'est cela.