Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ozvessaillus

Membre

Inscription : 21-09-2012

Messages : 17

series numerique

Bonjour
j'ai un exercice plutôt intéressant mais que je peux pas faire

Soit U(n) une suite a valeur réelle telle  que somme (Un)  converge
par hypothèse Un converge
Demontrer que
[tex]\Rightarrow \lim_{n\mapsto +\infty} \,nU\left(n\right)[/tex]=0
j'ai essayé le critère de Cauchy mais ça marche pas vu que [tex]\mathcal{I}[/tex] doit etre indépendant de n
tout aide est bienvenue
merci d'avance

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : series numerique

Salut,

  Je pense qu'il te manque des hypothèses, car si je prends [tex]u_n=\frac{(-1)^n}{n}[/tex],
alors la série converge, et pourtant [tex]n u_n[/tex] ne tend pas vers 0.
Est-ce qu'il ne faut pas suivant que la suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante par exemple????

Dans ce cas, avec le critère de Cauchy, et avec la preuve que la série de terme général 1/n est divergente,
tu es sur la bonne voie....

F.

ozvessaillus

Membre

Inscription : 21-09-2012

Messages : 17

Re : series numerique

oui fred l’hypothèse c'est que la suite est décroissante mais si j'utulise cauchy ça marche pas epsilone ne doit pas dépendre de n

Dernière modification par ozvessaillus (07-12-2012 23:54:22)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : series numerique

Salut,

  Je vais te fabriquer un [tex]\epsilon>0[/tex] qui ne dépend pas de n....
Si [tex](nu_n)[/tex] ne tend pas vers 0, alors pour tout entier p, il existe n>p tel que
[tex]nu_n\geq \epsilon[/tex].
Maintenant, inspire toi de la preuve de la divergence de la série harmonique, comme elle
est expliquée par exemple sur cette page
pour prouver que ta série ne peut pas être convergente, car elle nie le critère de Cauchy.
(indication : par rapport à la référence que je mentionne, il faudrait mieux regarder [tex]S_n-S_{n/2}[/tex]
et ne pas oublier d'utiliser le point clé : ta suite est décroissante).

F.

ozvessaillus

Membre

Inscription : 21-09-2012

Messages : 17

Re : series numerique

Re,
vous voulez passer par l'absurde ? parce que la serie converge nn?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : series numerique

Oui, je veux passer par l'absurde et contredire le fait que la série converge.

ozvessaillus

Membre

Inscription : 21-09-2012

Messages : 17

Re : series numerique

contredire le fait que la serie diverge nn?
bon   [tex]\Rightarrow \,{S}_{2n}-{S}_{n}[/tex] sera négatif
dsl mais je vois pas apres

un autre indice s'il vous plait

Dernière modification par ozvessaillus (08-12-2012 09:17:27)

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : series numerique

Tu veux démontrer que si [tex]\sum_n u_n[/tex] converge, alors [tex](nu_n)[/tex] tend vers 0.

Si tu fais un raisonnement par l'absurde,
tu supposes que [tex]\sum_n u_n[/tex] converge, et que pourtant, [tex](nu_n)[/tex] ne tend pas vers 0.
Tu veux obtenir une contradiction, qui ici sera qu'en réalité [tex]\sum_n u_n[/tex] diverge.

(en réalité, on fait un raisonnement par contraposée).

Pour montrer que la série diverge, il suffit, avec les notations de mon post précédent, de démontrer que
[tex]S_{n}-S_{n/2}\geq\epsilon/4[/tex] par exemple.

F.

ozvessaillus

Membre

Inscription : 21-09-2012

Messages : 17

Re : series numerique

trop compliqué cette methode et jy arrive pas d'habitude quand j'utulise cauchy c pour la suite pas pour la somme