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claud

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Besoin d'aide - fonction d'utilité

Bonjour a Vous

j'ai trouvé des exercices  j'ai essayé d'y repondre  ,mais je me bloque au niveau de quelques questions , je vais vous présenter  les exercices ainsi que mon travail , Merci bien pour votre aide
exercice 1 :

une fonction d'utilité est donnée par : u(K₁, k₂ ) AVEC k 1 et K2 les consommations pour les 2 periodes

Sa contrainte budgtaire est donnée par M= K₁ + k₂(1+i)^-1    ou i le taux d’intérêt

1) calculer le TMS

2) prouver que [tex]  \frac { \partial K_2 }{ \partial i }  \succcurlyeq 0[/tex] mais que le signe de  [tex] \frac{ \partial K_2 }{ \partial i }[/tex]  est ambigu

3) si [tex] \frac{ \partial K_2 }{ \partial i }   <0[/tex] que peut on dire sur l'elasticité- prix de la demande de K₂ ?

4 comment l'analyse du probléme peut etre affectée si l'individu reçoit un revenu à chaque periode ( R₁, R₂) de sorte que sa contrainte budgetaire devient
[tex]R_1 - K_1+   \frac { R_2 + K_2 }{1+ i }[/tex]=0

Mon travail:

1) M signifie la somme d'argent détenu par l'agent  autrement dit   M= R₁ + R₂ /(1+i)
pour le TMS : j'ai trouver ce dernier égale a 1+i

2) on sait que d’après la contrainte budgétaire que :  [tex] K_1 +  \frac {K_2 }{1+ i }= R_1 +  \frac { R_2}{1+ i }[/tex]
Pour K₂ j'ai trouvé que

[tex] k_2= R_1(1+i) + R_2- k_1(1+i)[/tex]

donc [tex]\frac { \partial K_2 }{ \partial i } = R_1 - K_1 \succcurlyeq 0[/tex]

Pour K₁ j'ai trouver que :
[tex]K_1= R_1 +\frac { R_2 }{1+ i } - \frac { K_2 }{1+ i }[/tex]
donc[tex] \frac { \partial K_1 }{ \partial i }= -  \frac { R_2 }{ (1+ i)² } + \frac {  K_2 }{ (1+ i)² }[/tex]

le signe de  [tex]\frac { \partial K_1 }{ \partial i }[/tex] est ambigu donc Si [tex]k_2 <  R_2[/tex] il est épargnant , Si [tex]k_2 >  R_2[/tex] il est emprunteur , Si [tex] k_2 =  R_2[/tex] il est ni épargnant ni emprunteur

3) Si [tex]\frac { \partial K_1 }{ \partial i }< 0[/tex] alors élasticité de la demande prix pour K₂  est negative mais je sais pas comment prouver cela

4 l'analyse ne va pas changer, puisqu'on a changé juste l’écriture (valeur presente , valeur futur) 

J'ai un grand doute  au niveau des 2 dernières questions

Exercice 2

I- On considère un ménage représentatif ayant la fonction d’utilité
suivante
  [tex]U= C_1^{0,5} +\frac { 1}{ 1+\rho } C_2^{0,5}[/tex]
où C1 et C2 sont les consommations respectives des périodes (1) et (2).
Ses ressources de la première période se composent d’un revenu 1 y et d’une richesse initiale  a₀ , son revenu de la deuxième période s’élève à  y₂ .
1- Interpréter ρ.
2- Déterminer sa contrainte budgétaire intertemporelle dans le cas où sa richesse détenue à la fin de la deuxième période serait nulle.
3- Déterminer son plan de consommation optimal. En déduire sa fonction d’épargne

solution

1 (ρ) représente le taux de préférence pour le présent

2) La contrainte budgétaire est [tex] C_1 +  \frac {C_2 }{1+ i }= Y_1 +  \frac { Y_2}{1+ i } + a_0[/tex]

3)
   max  [tex]U= C_1^{0,5} +\frac { 1}{ 1+\rho } C_2^{0,5}[/tex]

S.C  [tex] C_1(1+r) +C_2= (Y_1+a_0)(1+r) +y_2[/tex]
Formulons le lagrangien :
[tex] L({C_1,C_2} ,\lambda)= C_1^{0,5} +\frac { 1}{ 1+\rho} C_2^{0,5}- \lambda ( { C_1(1+r) +C_2- ((Y_1+a_0)(1+r) +y_2}))[/tex]

les dérivées partielle donnent :

   [tex] \frac { 1}{ 2\sqrt C_1}= \lambda(1+r)[/tex]

   [tex] \frac {\frac { 1}{ 1+\rho}}{ 2\sqrt C_2} = \lambda[/tex]

   [tex] C_1(1+r) +C_2= (Y_1+a_0)(1+r) +y_2[/tex]

ALORS  [tex] \frac {\sqrt C_2}{\sqrt C_1} = \frac { 1}{ 1+\rho }(1+r)[/tex]

[tex] C_1(1+r) +C_2= (Y_1+a_0)(1+r) +y_2[/tex]    , j'ai pris [tex](Y_1+a_0)[/tex] comme etant le revenu total de l'individu dans la 1ére période (pour simplifier les calculs )

en remplaçant on trouve que  [tex]C_2= C_1 ( \frac { 1}{ 1+\rho })^²(1+r)^²[/tex]

est ce que je suis dans le bon sens pour cette question d'exercice  2 je continu comme ça ?

Merci infiniment pour votre aide

Claud

Dernière modification par claud (05-12-2012 13:21:42)

freddy

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Re : Besoin d'aide - fonction d'utilité

Salut,

pour l'exercice 1, que fais tu de la fonction [tex]U(k_1,k_2)[/tex] ?

La réponse est là, car ton consommateur chercher à optimiser U sous la contrainte budgétaire. C'est à partir de ça que tu peux répondre aux questions posées.

Pour l'exo 2,[tex] \rho[/tex] est le taux d'intérêt entre 1 et 2 et[tex] 1/(1+\rho)[/tex] est le coeff de préférence pour le présent. Relis bien ton cours !

Ton Lagrangien est inexact car non homogène avec le début de la période 1 qui est le moment où tu résouds ton programme de consommation sous contrainte intertemporelle.

Corrige le et reviens nous voir !

Bis bald !

claud

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Re : Besoin d'aide - fonction d'utilité

Bonsoir

pour l'exercice 1
Désolé  au niveau de la question 1 j'ai pas completé la question ,  il faut trouver que le TMS= 1+i veuillez m'excuser SVP ,autrement dit , il faut montrer qu'en vue de maximiser l'utilité étant donnée la contrainte budgetaire l'individu doit choisir [tex]K_1 K_2[/tex] de sorte que le TMS soit egal à ( 1+i) .donc :

on cherche a maximiser [tex]U(K_1, K_2)[/tex]

  sous contrainte  [tex] M=  K_1 +  \frac {K_2 }{1+ i } [/tex]  avec   [tex]  M= R_1 +  \frac { R_2}{1+ i }[/tex]

[tex] L(K_1,K_2, \lambda) = U(K_1,K_2)- \lambda (K_1 +  \frac {K_2 }{1+ i } -( R_1 +  \frac { R_2}{1+ i })[/tex]

[tex]\frac { \partial L }{ \partial K_1 }= \frac { \partial U}{ \partial K_1 }- \lambda= 0[/tex]

[tex]\frac { \partial L }{ \partial K_2 }= \frac { \partial U}{ \partial K_2 }- \frac {\lambda}{ 1+i }[/tex]= 0

d’après cela j'ai trouver que le TMS =1+i

S'il vous plait pour les questions 3 et 4 j'ai bien répondu ?

Pour l'exo 2

j'ai recherché dans mon cours j'ai trouver une remarque qui tient compte cet élément , le prof a mentionné dans un exemple que si  [tex] \rho[/tex] est positif et  . ainsi qu'il a fait une démonstration par l'utilité  la voila

posons [tex]u(C) = C^{0.5}[/tex]

la fonction d'utilité devient  [tex]U= u(C_1) +\frac { 1}{ 1+\rho } u(C_2)[/tex]
dU=0 équivaut  [tex] \frac { u_{c2}dC}{u_{c1}dC_1}= 1+ ρ [/tex]

Afin de conserver un même niveau d’utilité , le ménage n’acceptera de diminuer l’utilité d’une unité de consommation présente, que moyennant un accroissement de l’utilité d’une consommation future égale à (1+ ρ ).    Pour cette raison j'ai dit que [tex] \rho[/tex] c'est le taux de préférence pour le présent

Pour le lagrangien
[tex] L({C_1,C_2} ,\lambda)= C_1^{0,5} +\frac { 1}{ 1+\rho} C_2^{0,5}- \lambda ( {C_1+\frac {C_ 2}{ 1+r}- (Y_1+ a_0+\frac {Y_ 2}{ 1+r})}[/tex]

Les dérivées partielles donnent

[tex]\frac { 1}{ 2\sqrt C_1}= \lambda(1+r)[/tex]
[tex]\frac {\frac { 1}{ 1+\rho}}{ 2\sqrt C_2} = \lambda[/tex]
[tex]C_1+\frac {C_ 2}{ 1+r}-( Y_1+ a_0+\frac {Y_ 2}{ 1+r})=0[/tex]

en remplaçant on trouve  [tex]C_2= C_1 ( \frac { 1}{ 1+\rho })^²(1+r)^²[/tex]

j'ai corrigé ce que vous m'avez signalé ,  c'est correct je continu ?

Merci infiniment pour votre aide

Dernière modification par claud (05-12-2012 19:42:59)

claud

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Re : Besoin d'aide - fonction d'utilité

Bonsoir

oui je suis trompé ,ρ c'est le taux d’intérêt psychologique  du consommateur

Merci bien pour votre aide

freddy

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Re : Besoin d'aide - fonction d'utilité

Re,

ok pour le taux [tex]\rho[/tex].

pour l'exo n° 2, tu as bien réécrit le lagrangien, mais la résolution est inexacte. Tu devrais trouver que [tex]C_1=C_2[/tex] si rho est égal à r.

Refais les calculs, tu vas arriver à ce résultat. Je regarde pour le 1.

Dernière modification par freddy (06-12-2012 00:32:06)

claud

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Re : Besoin d'aide - fonction d'utilité

Bonjour

Oui il me faut une petite simplification , pour le moment moi aussi j'ai trouvé  [tex] C_1=C_2[/tex] ,

alors en remplaçant dans la 3 éme équation on trouve que  [tex] C_1=C_2=\frac { ( 1+r)(Y_1+a_0)+Y_2 }{2}[/tex]

Pour l'epargne 

[tex]s= Y_1 - C_1=Y_1 -  \frac { ( 1+r)(Y_1+a_0)+Y_2 }{2} [/tex]

SVP concernant les questions de l'exercice 1 ,mes  sont elle correctes ,surtout 3 et 4 , puisque j'arrive pas à démontrer ce qui est demandé   ?

Ainsi je demande votre permission j'ai un autre exercice , je sais pas est ce que je peux le presenter  ici ou bien j'ouvre une nouvelle discussion

Merci infiniment pour votre aide

Dernière modification par claud (06-12-2012 10:36:09)

freddy

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Re : Besoin d'aide - fonction d'utilité

Salut,

pour un autre exo, nouvelle discussion.

D'ailleurs, tu aurais dû fractionner ici aussi en distinguant les sujets 1 et 2.

freddy

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Re : Besoin d'aide - fonction d'utilité

exo 2

Pour le lagrangien

[tex] L(C_1,C_2 ,\lambda)= C_1^{0,5} +\frac {C_2^{0,5}}{ 1+\rho}- \lambda \left( C_1+\frac {C_ 2}{ 1+r}- (Y_1+ a_0+\frac {Y_ 2}{ 1+r})\right)[/tex]

Bien entendu, [tex]C_1[/tex] et[tex] C_2[/tex] sont strictement positifs !

On fait l'hypothèse que[tex] \rho \ne r[/tex], et que tous les deux sont positifs.

Conditions nécessaires du premier ordre pour avoir un extremum : annulation des dérivées partielles premières, soit :

[tex]\frac { 1}{ 2\sqrt C_1}= \lambda[/tex]
[tex]\frac { 1}{ 2\sqrt C_2} = \lambda \frac{1+\rho}{1+r}[/tex]
[tex]C_1+\frac {C_ 2}{ 1+r}= Y_1+ a_0+\frac {Y_ 2}{ 1+r}[/tex]

Puisque le lagrangien est concave, la solution sera bien un maximum au point [tex](C_1^*,\,C_2^*)[/tex] , niveau de consommation en 1 et 2  fonction des élements fixes connus àl'origine.

Que vaut cette solution ?

Pour l'exo 1, si tu pouvais reformuler correctement le sujet (je pense qu'il y a une ou deux erreurs d'énoncé), je pourrais te répondre.

A +

Dernière modification par freddy (06-12-2012 15:29:01)