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Soniadu65

Invité

Espaces euclidiens

Salut chers mathématiciens ! J'ai un gros soucis avec les espaces euclidiens ..
Je suis bloqué sur un exercice, je vous remet le contexte.

On défini le produit scalaire <P,Q> = [tex]\sum^{2}_{n=-2}P\left(n\right)Q\left(n\right)[/tex]
Il fallait montrer que P0=1 ; P1=X ; P2=X²-1 ; P3=X(X²-1) ; P4=(X²-4)(X²-1) forment une base de E et que tous les sous espaces engendrés par P0, P2, P4 et P1, P3 sont orthogonaux. A priori ça j'ai réussi

La question ou je bloque c'est :

P étant un polynome de degré 4 tel que P(-2)=1, P(-1)=2, P(0)=-1, P(1)=3 et P(2)=0 ; déterminer le polynome de degré inférieur ou égal à 2 qui rend minimum la quantité [tex]\sum^{2}_{n=-2}(P(n)-Q(n))^{2}[/tex]

Merci de votre aide précieuse

Fred

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Re : Espaces euclidiens

Bonsoir Sonia du 65,

  Il faut commencer par comprendre ce que tu veux : la quantité
[tex]\sum_{n=-2}^2 (P(n)-Q(n))^2[/tex] s'écrit plus simplement [tex] \|P-Q\|^2[/tex],
avec la norme issue du produit scalaire.
Si tu notes F le sous-espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 2,
tu cherches [tex]\inf(\|P-Q\|; Q\in F)[/tex]

Autrement dit, tu cherches le projeté orthogonal de P sur F.
Pour cela, tu as une formule qui doit être dans ton cours qui fait intervenir une base orthonormale de F.
Il te reste alors à déterminer une base orthonormale de F, par exemple par le procédé d'orthonormalisation
de Gram-Schmidt à partir de P0, P1, P2.

Fred du 63.

Soniadu65

Invité

Re : Espaces euclidiens

Merci de ta réponse rapide, je vais essayer de voir ce que je peux faire à partir de ce que tu m'as dit mais déjà je comprends mieux ce qu'on cherche, en effet.

Soniadu65

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Re : Espaces euclidiens

Je ne vois vraiment pas comment faire en fait, même avec ma formule je ne comprends rien, je suis perdue !

Fred

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Re : Espaces euclidiens

Salut,

  Si on note [tex]Q_0[/tex] le projeté orthogonal de P sur F, alors, par un résultat du cours
(qui est une conséquence du théorème de Pythagore), on a
[tex]\inf(\|P-Q\|;\ Q\in F)=\|P-Q_0\| [/tex]

Or, [tex]Q_0[/tex] peut se calculer : en effet, si [tex](e_1,e_2,e_3)[/tex] est une base orthonormale de F,
alors on sait que [tex]Q_0=\sum_{i=1}^3 \langle P,e_i\rangle [/tex]

Tu as donc tous les éléments en main pour calculer [tex]Q_0[/tex], et par suite pour calculer
[tex] \|P-Q_0\| [/tex]

F.

Soniadu65

Invité

Re : Espaces euclidiens

Dans mon cours j'ai plutot
[tex]Q_0=\sum_{i=1}^3 \langle P,e_i\rangle e_i [/tex]

Fred

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Re : Espaces euclidiens

Bien sûr, c'est moi qui me suis trompé!

Soniadu65

Invité

Re : Espaces euclidiens

D'accord. Mais je n'ai pas d'expression explicite pour P, je dois chercher une expression de P en résolvant le système à 5 équations à 5 inconnues ?

Fred

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Re : Espaces euclidiens

Pas du tout! Car pour calculer le produit scalaire, tu n'as besoin que des valeurs de P en -2, -1, 0, 1 et 2.

F.

Soniadu65

Invité

Re : Espaces euclidiens

J'obtiens [tex]Q_0=\frac{5X^4-10X^2+5}{19}+\frac{1}{2}X^2+5 [/tex] avec [tex](e_1,e_2,e_3)=(1,\frac{X}{\sqrt{10}},\frac{X^2-1}{\sqrt{19}})[/tex] pour base orthonormée de F

Fred

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Re : Espaces euclidiens

Tu n'as plus qu'à calculer la norme de [tex]P-Q_0[/tex], qui ne fait intervenir que les valeurs de ces polynômes en -2,...,2.
F.