probléme de lagrangien

Mariana · 27-11-2012 04:25:45

Bonjour tout le monde :)

je suis nouvelle dans ce super forum c'est mon premier post ,avant tout je vous félicite pour tous les efforts fournies par tous les participants,
J'ai commencé à faire des exos dans des livres , ou il n'y avait pas la correction. , J'ai séché pendant un bon moment devant un problème ou il y a du math , et j'ai bossé pour trouver cette solution dont je ne suis absolument pas sûr.

le problème est le suivant :

Un consommateur achète deux biens ; son horizon a deux périodes. la fonction d'utilité du consommateur est : U=q₁₁q₂₁q₁₂q₂₂ ; son flux de revenu est y₁= 800 , y₂= 220 ; le taux d’intérêt est égal à 10% . le prix des biens sont p₁= 5 p₂= 25 . le consommateur désire avoir tout dépensé et consommé à la fin de la 2éme période . Déterminer les niveaux de consommations pour chacuns des biens sur les 2 périodes qui rendront maximale son utilité .

voici ce que j'ai fais :

Afin de structurer mon résultat j'ai devoloppé les formule puis j'ai commencé l'application numérique et là ou je me bloque

on a U= q₁₁q₂₁q₁₂q₂₂

le consommateur désire maximiser la fonction d'utilité relative a toute sa durée de vie alors

U*=U(q₁₁....................q_nT)+[tex] \lambda \sum_1^2[/tex](y_t - [tex]\sum_{j=1}^n [/tex] p_jt q_jt )( 1+i)^-1

et annulons les dérivées partielles :

[tex]\partial{U^*}/\partial{q_jt}=\partial{U^*}/\partial{q_jt}-\lambda [/tex](1+i)^-1p_jt = 0

[tex]\partial{U^*}/\partial{\lambda}= \sum_1^2[/tex](y_t - [tex]\sum_{j=1}^n [/tex] p_jt q_jt )( 1+i)^-1=0

Mais au niveau de l'application numérique je suis bloquée , le faite d'avoir une fonction ou il ya q₁₁q₂₁q₁₂q₂₂ cela me gène

Merci d'avance aux personnes qui pourront éclairer ma lanterne :)

Dernière modification par Mariana (01-12-2012 00:03:28)

fransizo · 27-11-2012 04:55:30

Salut

Moi aussi j'ai trouvé un exercice similaire avec quelques modifications , et presque toute la classe à essayer de résoudre cet exo mais personne n'arrive à avancer , c'est vraiment dur

j’espère que nous aurons une chance d'avoir un aide

Merci bien

freddy · 27-11-2012 07:41:13

Bonjour,

je reprends et réécris, car il manque des données.

Mariana a écrit :

le problème est le suivant :
Un consommateur consomme deux biens ; son horizon a deux périodes.
Sa fonction d'utilité du consommateur est : [tex]U=q_{1,1} q_{1,2}q_{2,1} q_{2,2}[/tex] avec [tex]q_{i,t}[/tex] quantité du bien i consommée en t.
son flux de revenu est[tex] y_1= 800[/tex] , [tex]y_2= 220[/tex] ; le taux d’intérêt est égal à 10% .
le prix des biens sont [tex]p_1= 5[/tex], [tex] p_2= 25[/tex].
Petite question : les prix sont-ils stables dans le temps ?
le consommateur désire avoir tout dépensé et consommé à la fin de la 2éme période . Déterminer les niveaux de consommations pour chacun des biens sur les 2 périodes qui rendront maximale son utilité .
voici ce que j'ai fait :
Afin de structurer mon résultat j'ai développé les formules puis j'ai commencé l'application numérique et là ou je bloque.
Formons le lagrangien :
[tex]L(q_{i,t},\lambda)=q_{1,1} q_{1,2}q_{2,1} q_{2,2}+ \lambda \sum_{t=1}^2\left(y_t - \sum_{j=1}^2 p_{jt}q_{jt}\right)( 1+i)^{-1}[/tex]

Bon, c'est ce point qui bloque : la contrainte de budget temporelle est erronée, donc le lagrangien aussi. Il faut réécrire cela.

PS : Hanae est revenue ?

Dernière modification par freddy (27-11-2012 12:07:55)

Mariana · 27-11-2012 15:38:59

Salut

Moi je me prénom Mariana , c'est qui Hanae s'il vous plait? désolé parce que se sont mes premiers posts dans ce précieux forum, vraiment je sais pas de quoi s'agit il ?

je vais essayer de réécrire la contrainte budgétaire :

[tex]L(q_{i,t} ,\lambda)= q_{1,1} q_{1,2}q_{2,1}q_{2,2}-\lambda \left (p_1 (q_{1,1} q_{1,2})+ \frac{p_2(q_{2,1} q_{2,2})}{(1+i)} -Y_1 - \frac{Y_2}{(1+i)} \right)[/tex]

Les conditions du premier ordre implique :

[tex] \frac{\partial U( q_{1,1} q_{2,1}q_{2,1}q_{2,2})} { \partial q_{1,1}}- \partial p_1 = 0[/tex]
[tex] \frac{\partial U( q_{1,1} q_{2,1}q_{2,1}q_{2,2})} { \partial q_{1,2}}- \partial p_1 = 0[/tex]

[tex] \frac{\partial U( q_{1,1} q_{2,1}q_{2,1}q_{2,2})} { \partial q_{2,1}}- \partial p_2 = 0[/tex]
[tex] \frac{\partial U( q_{1,1} q_{2,1}q_{2,1}q_{2,2})} { \partial q_{2,2}}- \partial p_2 = 0[/tex]

[tex] (p_1 (q_{1,1} q_{1,2})+\frac{p_2(q_{2,1} q_{2,2})} {(1+i)} -Y_1 -\frac{ Y_2}{(1+i)} = 0[/tex]

c'est bon ,je continue comme ça, je suis dans le bon sens ? Si oui , moi je me bloque au niveau des dérivées et leurs applications numérique pr cet exo

Merci pour votre aide

Dernière modification par Mariana (27-11-2012 18:11:37)

freddy · 27-11-2012 18:39:12

Re,

Presque trouvé.

On a :

[tex]L(q_{i,t} ,\lambda)= q_{1,1} q_{1,2}q_{2,1}q_{2,2}-\lambda \left (p_1 q_{1,1} +p_2q_{1,2}+ \frac{p_1q_{2,1}+p_2 q_{2,2}}{(1+i)} -Y_1 - \frac{Y_2}{(1+i)} \right)[/tex]

Les conditions du premier ordre impliquent :

[tex] q_{1,2}q_{2,1}q_{2,2}- \lambda p_1 = 0[/tex]

[tex] q_{1,1} q_{2,1}q_{2,2}- \lambda p_2 = 0[/tex]

[tex] q_{1,1} q_{1,2}q_{2,2} - \lambda \frac{p_1}{1+i} = 0[/tex]

[tex] q_{1,1} q_{1,2}q_{2,1} - \lambda \frac{p_2}{1+i} = 0[/tex]

[tex] p_1 q_{1,1}+p_2 q_{1,2}+\frac{p_1 q_{2,1}+p_2 q_{2,2}} {(1+i)} -Y_1 -\frac{ Y_2}{(1+i)} = 0[/tex]

à résoudre !

PS : Hanae est la personne qui a écrit juste après toi !

Dernière modification par freddy (27-11-2012 19:16:14)

freddy · 28-11-2012 20:15:09

Salut,

mine de rien, le travail n'est pas fini, car il faut prouver que la solution trouvée (l'avez vous trouvée ?) est bien le maximum de U sous la contrainte de budget.

Or, puisque plus personne ne vient poser de questions, voire dire un petit merci pour le coup de main, on va en rester là, si vous le voulez bien !

Salut !

Mariana · 28-11-2012 20:20:30

Bonsoir

excusez moi, j'avais un examen ,pour cette raison j'ai pas posté le résultat que j'ai trouvé ,veuillez m'excuser SVP .

je suis toujours intéressée par cet exo

j'ai essayé de résoudre le système , voila le résultat que j'ai trouvé:

[tex]q_{1,1}= \frac{Y_1}{(1+i)} - \frac{P_1Y_2}{P_2(1+i)}[/tex]

[tex]q_{1,2}= \frac{P_1Y_2}{Y_1+p_1(1+i) }[/tex]

[tex]q_{2,1} = \frac{Y_1+P_1}{P_2+Y_1(P1(1+i)}[/tex]

c'est correcte ce que j'ai trouvé ?

Merci bien pour votre aide

Mariana

Dernière modification par Mariana (29-11-2012 01:16:01)

freddy · 29-11-2012 12:46:40

Re,

non, désolé, c'est inexact et il manque le terme [tex]q_{2,2}[/tex]

Pourtant, si tu adaptes puis additionnes les quatre premières équations et que tu utilises la cinquième, on trouve très vite que le terme [tex]U=\prod_{i,t=1}^2 q_{i,t}=\frac{\lambda}{4}\left(Y_1+\frac{Y_2}{1+i}\right)[/tex], non ?

Mariana · 29-11-2012 13:52:46

Bonjour

D'accord , je vais essayer de refaire tous les calculs

Merci beaucoup pour Votre Précieux Aide

Mariana

Mariana · 29-11-2012 14:27:52

Salut

J'ai essayé de suivre votre renseignement voila ce que j'ai trouvé :

[tex]U=\frac{\lambda}{4}\left(Y_1-\frac{Y_2}{1+i}\right)[/tex]

je crois que je me suis trompée au niveau du signe , vraiment cet exercice m'a séché

Merci bien pour votre précieux aide

Dernière modification par Mariana (29-11-2012 14:51:28)

freddy · 29-11-2012 17:36:08

Re,

Je ne sais pas comment tu te débrouilles !

On a :

[tex] U = \lambda p_1 q_{1,1}[/tex]

[tex] U = \lambda p_2 q_{1,2}[/tex]

[tex] U= \lambda \frac{p_1q_{2,1}}{1+i} [/tex]

[tex] U= \lambda \frac{p_2q_{2,2}}{1+i} [/tex]

[tex]4 U=\lambda\left( p_1 q_{1,1}+p_2 q_{1,2}+\frac{p_1 q_{2,1}+p_2 q_{2,2}} {(1+i)}\right) =\lambda \left( Y_1 +\frac{ Y_2}{(1+i)}\right) [/tex].

Tu vois mieux ?

Dernière modification par freddy (29-11-2012 17:38:30)

Mariana · 29-11-2012 17:58:25

Bonsoir

Oui j'ai bien détecté ou j'ai commis l'erreur , pour le moment je peux calculer les [tex]q_{1,1} , q_{1,2} , q_{2,1} , q_{2,2}[/tex] ?

je vais essayer de les calculer

Merci beaucoup pour votre aide

Dernière modification par Mariana (29-11-2012 18:04:13)

Mariana · 30-11-2012 04:48:37

Bonjour

voila ce que j'ai trouvé :

[tex]q_{1,1}= \frac{U}{\lambda p_1}[/tex]
[tex]q_{1,2}= \frac{U}{\lambda p_2}[/tex]

[tex]q_{2,1}= \frac{U(1+i)}{\lambda p_1}[/tex]
[tex]q_{2,2}= \frac{U(1+i)}{\lambda p_2}[/tex]

Avec [tex] U= \frac{\lambda}{4}\left(Y_1+\frac{Y_2}{1+i}\right )[/tex]

Après une simplification on aura les [tex]q_{1,1} q_{1,2} q_{2,1} q_{2,2}[/tex]

c'est juste ?

Merci bien pour votre aide

Dernière modification par Mariana (30-11-2012 05:04:33)

freddy · 30-11-2012 11:09:14

Bonjour,

oui, c'est exact. Il faut continuer avec les valeurs numériques puis prouver que c'est un maximum sous contrainte, sinon le travail est incomplet.

Mariana · 01-12-2012 00:18:44

Bonjour

j'ai essayé de compléter le travail comme vous m'avez expliquer. voila ce qui j'ai trouver

Application numérique :

[tex]q_{1,1} = 50[/tex]
[tex]q_{1,2} = 10[/tex]

[tex]q_{2,1} = 55[/tex]
[tex]q_{2,2} = 11[/tex]

[tex] p_1 q_{1,1}+p_2 q_{1,2}+\frac{p_1 q_{2,1}+p_2 q_{2,2}} {(1+i)} -Y_1 -\frac{ Y_2}{(1+i)}[/tex]= 1125

ce qui veut dire que 1125 c'est un maximum de l'utilité sous ses contraintes

c'est correct?

Merci pour votre aide

Dernière modification par Mariana (01-12-2012 00:31:32)

freddy · 01-12-2012 07:27:26

Salut,

je vais être très sévère : c'est n'importe quoi ! Comprends tu bien ce que tu fais ? La dernière équation est nulle, par construction.

Le revenu présent est égal à 800+220/1,1=1.000 !

Recommence, réfléchis et applique toi !

Mariana · 01-12-2012 19:55:13

Bonsoir

J'ai commis trop d'erreurs, parce que c'est la première fois que j’étudie cela , puisque je suis en 1ére année master Droit des affaires ,et nous avons des modules optionnel ,moi j'ai choisis celui d’Économie , je fais un grand effort pour m'adapter et m'exercer mais ça reste un peu difficile

Pour prouver le maximum sous contrainte ,est ce qu'on va utiliser les dérivées secondes ?

je vous remercie infiniment pour votre aide

Dernière modification par Mariana (01-12-2012 19:58:14)

freddy · 01-12-2012 22:28:31

Salut,

tu es dans quelle université ?

Mariana · 01-12-2012 23:20:08

Bonsoir

cette année je poursuis une formation à distance au niveau d'une école supérieure, on a 3 modules principaux et pour le 4éme on a le choix entre le Commerce ou bien l’Économie (des branches qui sont en relation avec notre Master)

Dernière modification par Mariana (02-12-2012 04:19:17)

Mariana · 02-12-2012 04:22:18

Bonjour

Pour prouver le maximum sous contrainte ,est ce qu'on va utiliser les dérivées secondes ? vraiment je suis bloquée a ce niveau

Merci beaucoup pour votre aide

freddy · 02-12-2012 11:24:51

Re,

pourquoi changer les réponses ? Option économie en M1 de droit des affaires dans une université marocaine connue ? Et maintenant cours par correspondance dans une école supérieure ...

Bien curieux, tout cela, je ne comprends pas ce que ça masque et ça m'agace un peu.

Donc maintenant, tu calcules le signe du hessien pour caractériser la nature de la solution trouvée.

Mariana · 02-12-2012 12:30:19

Bonjour

c'est pas un changement de réponses absolument pas , mais je suis entrain de préparer deux diplômes , je poursuis ma formation initial au niveau de l'université Cadi Ayyad Master: Droit des affaires ,et dans le cadre d'une coopération nous avons obtenus des formations a distance , et l'exercice concerne la 2éme formation

Pour les Masters de gestion (MMAC, MFE, ESPME) eux aussi , ont une coopération avec IAM à Montpellier,mais pour eux ils se déplacent a Montpellier

Merci beaucoup pour votre précieux aide

Dernière modification par Mariana (02-12-2012 13:20:32)

Mariana · 02-12-2012 12:41:57

Bonjour

Pour le calcul du hessien , j'ai jamais vu cela ,mais je vais faire des recherches afin de répondre à la question, ça devient pour moi un défit qu'il faut relever :)

Merci bien pour votre aide

Dernière modification par Mariana (03-12-2012 02:21:58)

Mariana · 04-12-2012 02:29:41

Bonjour

j'ai essayé mais je sais pas comment faire,pour cette raison j'ai rien posté , est ce que vous pourrez m'aider ?

Merci bien pour votre aide

freddy · 04-12-2012 11:31:07

Bonjour,

arrgh, tu as cherché et tu n'as pas trouvé. Ça, c'est vraiment pas possible, il y a même quelque chose dans la bibmath à ce sujet ...

Par contre, ce qui est sûr, est que si tu n'as suivi aucun cours d'optimisation sous contrainte, tu auras beaucoup de mal à résoudre cet exercice !

Par exemple, si ton lagrangien est une fonction concave, alors tu es certaine que la solution obtenue est un maximum. Mais comment est ton lagrangien ? C'est ça qu'il faut prouver !

Bonne recherche !

Dernière modification par freddy (04-12-2012 11:37:50)

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 27-11-2012 04:25:45

probléme de lagrangien

#2 27-11-2012 04:55:30

Re : probléme de lagrangien

#3 27-11-2012 07:41:13

Re : probléme de lagrangien

#4 27-11-2012 15:38:59

Re : probléme de lagrangien

#5 27-11-2012 18:39:12

Re : probléme de lagrangien

#6 28-11-2012 20:15:09

Re : probléme de lagrangien

#7 28-11-2012 20:20:30

Re : probléme de lagrangien

#8 29-11-2012 12:46:40

Re : probléme de lagrangien

#9 29-11-2012 13:52:46

Re : probléme de lagrangien

#10 29-11-2012 14:27:52

Re : probléme de lagrangien

#11 29-11-2012 17:36:08

Re : probléme de lagrangien

#12 29-11-2012 17:58:25

Re : probléme de lagrangien

#13 30-11-2012 04:48:37

Re : probléme de lagrangien

#14 30-11-2012 11:09:14

Re : probléme de lagrangien

#15 01-12-2012 00:18:44

Re : probléme de lagrangien

#16 01-12-2012 07:27:26

Re : probléme de lagrangien

#17 01-12-2012 19:55:13

Re : probléme de lagrangien

#18 01-12-2012 22:28:31

Re : probléme de lagrangien

#19 01-12-2012 23:20:08

Re : probléme de lagrangien

#20 02-12-2012 04:22:18

Re : probléme de lagrangien

#21 02-12-2012 11:24:51

Re : probléme de lagrangien

#22 02-12-2012 12:30:19

Re : probléme de lagrangien

#23 02-12-2012 12:41:57

Re : probléme de lagrangien

#24 04-12-2012 02:29:41

Re : probléme de lagrangien

#25 04-12-2012 11:31:07

Re : probléme de lagrangien

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