Forum de mathématiques - Bibm@th.net

blink

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demonstration

bonjour j ai un petit probleme j aimerais l avis des experts svp.

f(x)=0    si =0
   [tex]    f\left( x \right) =\sin { \frac { 1 }{ x }  }[/tex]   sinon

[tex]g\left( x \right) =\frac { { a }^{ n } }{ n } F(\sin { (n\pi x) } )[/tex]   avec 0<a<1
montrer que il existe k>0 tel que
|g(x)|<= K[tex]\frac { { a }^{ n } }{ n }[/tex]

ce que j ai fait:
|g(x)|=[tex]\left| \frac { { a }^{ n } }{ n } F(\sin { (n\pi x) } ) \right|[/tex]  [tex]=\left| \frac { { a }^{ n } }{ n } \int _{ 0 }^{ \sin { (n\pi x) }  }{ sin\frac { 1 }{ t }  } dt \right| \quad \le \quad \frac { { a }^{ n } }{ n } \int _{ 0 }^{ \sin { (n\pi x) }  }{ \left| sin\frac { 1 }{ t }  \right|  } dt\quad \le \quad \frac { { a }^{ n } }{ n } \int _{ 0 }^{ \sin { (n\pi x) }  }{ 1 } dt[/tex]

[tex]\left| g\left( x \right)  \right| [/tex] < [tex] \frac { { a }^{ n } }{ n } \sin { (n\pi x } )[/tex] [tex]\le \frac { { a }^{ n } }{ n }[/tex]

donc pour tout k>1 notre inegalite est verifiee

Dernière modification par blink (26-11-2012 01:05:41)

Fred

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Re : demonstration

Salut Blink,

  C'est presque correct, sauf que :
* tu ne nous as pas dit ce qu'était F (mais j'ai compris que c'était l'intégrale de f entre 0 et x
* Ta première inégalité n'est correcte que si [tex]\sin(n\pi x)\geq 0[/tex]. Sinon, il faut intégrer de
[tex]\sin(n\pi x)[/tex] à 0. Cela ne change pas trop la suite, si ce n'est qu'on se retrouve à devoir mettre
une valeur absolue autour de [tex]\sin(n\pi x)[/tex] plus tard.

F.

blink

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Re : demonstration

merci fred,
je refais les choses et tu me donneras ton opinion.
[tex]\left| g\left( x \right)  \right| =\left| \frac { { a }^{ n } }{ n } F(\sin { (n\pi x) } ) \right| =\left| \frac { { a }^{ n } }{ n } \left( \int _{ \sin { (n\pi x) }  }^{ 0 }{ f(t) } dt\quad +\quad \int _{ 0 }^{ \sin { (n\pi x) }  }{ f(t) } dt \right)  \right| =\quad \frac { { a }^{ n } }{ n } 2\left| \int _{ \sin { (n\pi x) }  }^{ 0 }{ f(t) } dt \right| \quad \le \quad 2\frac { { a }^{ n } }{ n }[/tex]

donc c est verifie pour toutk [tex]\ge 2[/tex]

je dois preciser que j ai saute quelques etapes de mon calcul que je trouvais eviedent et que j ai deja fait en haut, je voudrais juste savoir si ma conclusion est bonne

merci de votre reponse

Fred

Administrateur

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Re : demonstration

Ta première conclusion était déjà bonne, la deuxième rédaction n'est pas meilleure.
Je ne comprends pas cette égalité :
[tex]\left| \frac { { a }^{ n } }{ n } F(\sin { (n\pi x) } ) \right| =\left| \frac { { a }^{ n } }{ n } \left( \int _{ \sin { (n\pi x) }  }^{ 0 }{ f(t) } dt\quad +\quad \int _{ 0 }^{ \sin { (n\pi x) }  }{ f(t) } dt \right)  \right| [/tex]

Au pire, tu distingue deux cas. Ou bien [tex]\sin(2\pi x)\geq 0[/tex], et ta première rédaction est parfaite.
Ou bien il est négatif, et dans ce cas, tu écris
[tex]\left| \frac { { a }^{ n } }{ n } F(\sin { (n\pi x) } ) \right| \leq \int_{\sin(n\pi x)}^{0} |f(t)|dt\leq \frac{a^n}n |\sin(n\pi x)|\times 1[/tex].

F.

monta

Invité

Re : demonstration

je suis étudiant prepa, mon problem est de prouver que ∑ de n=1 jsuqu'a +∞ de 1/n^2 est égale a π^2/2 ???
que dois je faire ??
aider moi stp et merci

yoshi

Modo Ferox

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Re : demonstration

Bonsoir,
(on n'est pas des sauvages !)

Et si tu commençais par ne pas parasiter une discussion existante, mais ouvrir ta propre discussion :
1. Ta question n'est pas du tout une réponse au problème de blink...
2. Ta question n' arien à voir avec le sujet posé
3. Le lien en haut et en bas de la page d'accueil de chaque sous forum Ouvrir une nouvelle discussion est fait pour ça, non ?

Ensuite jette donc un oeil ici ça t'inspirera peut-être...

   @+

       Yoshi
- Modérateur -