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Bluerock

Invité

Densité d'un ensemble

Bonjour à tous.
Je me trouve actuellement confronté à un DM de maths dans lequel il est question de densité.
Je ne sais pas vraiment comprendre ce problème, puisque le principe pour démontrer qu'une ensemble est dense dans un autre, il suffit de démontrer, qu'il existe au moins 1 élément. Après je ne sais pas trop quoi dire.
Voilà tout de même le sujet, si il y en a parmis vous qui sont plus inspirés :

Soit f une application de R+ dans R+ une application strictement croissante tel que lim (f(x+1) - f(x)) = 0 (en +infinity)
Montrez que l'ensemble Ef= {f(n)-E(f(n)), n appartient à N} est dense dans [0,1]. (E(f(n)) reprèsente la partie entière).

Merci d'avoir bien voulu se pencher sur ce problème !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Densité d'un ensemble

Salut Bluerock,

  D'abord, démontrer la densité est plus difficile que ce tu suggères.
Dans ton cas particulier, il faut démontrer que n'importe quel intervalle
]a,b[ inclus dans [0,1] contient un élément du type f(n)-E(f(n))
(dire que A est dense dans B signifie que n'importe quel élément de B
peut être approché, aussi près qu'on veut, par un élément de A).

Ensuite, il manque clairement une hypothèse à ton exercice.
Prends la fonction [tex]f(x)=2-\frac 1x[/tex]. Elle est strictement croissante,
vérifie bien que [tex]f(x+1)-f(x)[/tex] tend vers 0. Maintenant, si tu prends un entier n,
alors [tex]f(n)-E(f(n))=2-\frac{1}n-1=1-\frac 1n[/tex]
Ceci est une suite qui tend vers 1. Elle ne peut donc pas approcher n'importe quel réel de [0,1]
avec une précision arbitraire.

F.