Forum de mathématiques - Bibm@th.net

sotsirave

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suites dans Z

Bonsoir

Voici le sujet de mon exercice de math sup

Déterminer les suites U de Z vers Z solutions de

(1) quels que soit n,m € Z    U( nU(n) +U(m) ) = U²(n) + m

J’ai montré que :

1) Il existe au moins une solution

2)  U(0) =0

3) si U convient, – U également,
                    
4) en posant p = U (n) , U( p²) = p U (p) .

Mais là, je bloque .

Pouvez vous m’aider ?

Merci

freddy

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Re : suites dans Z

Salut,

une suite entière n'est elle pas définie de[tex] \mathbb{N}[/tex] vers [tex]\mathbb{ Z}[/tex] ?

Sinon, il y a au moins la suite [tex]U=Id[/tex], et [tex]u(0)= 0\; ou\, +1[/tex].

Ensuite, on a, avec[tex] n=0[/tex], [tex]u(m)=u^2(0)+m[/tex]

donc soit[tex] u(n)=1+n[/tex], soit [tex]u(n)=n[/tex].

La première solution ne convient pas, car sinon [tex]\forall n \in \mathbb{N},\, n(1+n)=(1+n)^2[/tex].

Donc la suite est égale à l'identité.

On peut étendre le raisonnement à [tex]\mathbb{ Z}[/tex] en effet.

Dernière modification par freddy (23-11-2012 18:17:08)

totomm

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Re : suites dans Z

Bonsoir,

La réponse 1) du post 1 est bien la "suite égale à l'identité" donnée par freddy

Mais il faut vérifier, en posant comme le 4) du post #1 qu'il n'existe aucune autre suite qui convienne :

Après avoir démontré que U(0) = 0 pour toute suite éventuelle,
soit donc U(0) = 0 et U(1) = p, p différent de 1
pour n=0 et m=1 on a U(0x0+p) = 0²+1 = 1
pour n=1 et m=0 on a U(1xp+0)= p²+0 = p² : Ces 2 valeurs de U(p) sont incompatibles puisque p est différent de 1

Cordialement

sotsirave

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Re : suites dans Z

Bonsoir,
merci pour votre réponse , mais le problème, c'est que si U est solution , -U également et donc il y a une seconde solution -IdZ non?
Par ailleurs il me semble que U(-1) = 1 et U(-1) = (-1)² ne sont pas incompatibles.

Fred

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Re : suites dans Z

Salut,

  Donc, en utilisant l'argument de Totomm, on a U(1)=1 ou U(1)=-1.
On peut supposer U(1)=1 (parce que, comme tu l'as dit, U est solution ssi -U est solution).
Appliquons la relation avec n=m=1, on trouve
U(2)=U(1)^2+1=2.
Puis, avec n=1 et m=2, on trouve
U(3)=U(1)^2+2=3.
Par récurrence, tu obtiens que U(n)=n si n est un entier positif.

Fred.

sotsirave

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Re : suites dans Z

Ok fred, il ne me reste plus qu'à démontrer que U est impaire ( je sais déjà que U est involutive) et ainsi j'obtiens les seules solutions IdZ et -IdZ.

Merci à tous