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vrouvrou

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espace non complet

Bonjour
aidez moi je bloque complétement  dans cet exercice
il s’agirait de prouver que [tex]C^1(\overline{\Omega})[/tex]  ne sois pas complet  ,sachant que [tex]{\Omega}= \lbrace x\in \mathbb{R}^n , ||x||_{V} <1 \rbrace[/tex] ,[tex]V= \lbrace v\in C^1(\overline{\Omega}) tq , v|_{\partial\Omega} =0 \rbrace[/tex]
[tex]<w,v>=\int_{\Omega} \nabla w \nabla v dx[/tex]
et puis il donne pour n=1 une suite mais aussi pour n=2 et pour n=3
[tex]n=1[/tex]
[tex]u_n(x)=-x-1 ,-1<x<-1/n ; \frac{n}{2} x^2 -1-\frac{1}{2n} , -1/n<x< 1/n ; x-1; 1/n <x<1[/tex]
[tex]n=2[/tex]
[tex]u_n(x)= |log (|x|^2+1/n)|^{\alpha/2} -|log (1+1/n)|^{\alpha/2}[/tex]
[tex]n \geq 3[/tex]
[tex]0<\beta< \frac{n-2}{2}[/tex] ; [tex]u_n(x)= \frac{1}{(|x|^2+1/n)^\beta/2}-\frac{1}{(1+1/n)^\beta/2}[/tex]
naturellement  il est demander de prouver que la suite est de Cauchy dans V mais qu'elle ne converge pas dans V
mais le problème c'est que j'ai même pas sue écrire [tex]||u_p-u_q||_V[/tex] pour prouver que la suite est de Cauchy
s'il vous plait aidez moi
merci

Dernière modification par vrouvrou (15-11-2012 14:31:59)

vrouvrou

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Re : espace non complet

pour n=1
[tex]u_p(x)-u_q(x)=[/tex]
[tex]0 ,si, -1<x \leq -1/q[/tex];
[tex]q/2 x^2 +x-1/2q, si , -1/q \leq x \leq -1/p[/tex] ;
[tex]\frac{q-p}{2} x^2 +\frac{q-p}{2pq} ,si, -1/p \leq x \leq 1/p[/tex];
[tex]q/2 x^2 -x-1/2q ,si, 1/p \leq x \leq 1/q[/tex] ;
[tex]0 ,si, 1/q \leq x <1[/tex]
c'est juste ?
s'il vous plait
merci

vrouvrou

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Re : espace non complet

il sont @fred ,@yoshi ??

Fred

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Re : espace non complet

Tu sais, je ne suis pas scotché à son ordi tu sais!

Ce que tu écris pour [tex]u_q-u_p[/tex] à l'air juste.
Il te reste déjà à calculer la norme en coupant l'intégrale en 5 morceaux.

Ensuite, pour démontrer que V n'est pas complet, si la suite [tex](u_n)[/tex] convergeait, quelle serait sa limite????
(je te conseille de faire un dessin).

F.

vrouvrou

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Re : espace non complet

ok, merci bien et puisque tu es la ,
quand je fait la norme y a le nabla je fait quoi pour l'enlever ?
et le dessin je dessine u_1 ,u_2,...?
s'il te plait
merci

Fred

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Re : espace non complet

Ben le nable, en dimension 1, c'est juste la dérivée!!!!!
Et le dessin, oui, tu dessines les premiers éléments de ta suite.

F.

vrouvrou

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Re : espace non complet

stp pour n=2 tu as une idée y a le alpha/2 qui dérange
merci

Fred

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Re : espace non complet

Pas vraiment d'idées, non, on ne te précise pas la valeur de alpha???
Il ne reste qu'à se retrousser les manches pour vérifier que c'est de Cauchy...

F.

vrouvrou

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Re : espace non complet

Bonjour
pour le dessin j'ai pas su comment faire , mais on utilisant la convergence en norme j'ai trouver que ||u_n|| convergé vers ±1 ou vers +l'infini
et donc elle ne converge pas dans V.

vrouvrou

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Re : espace non complet

ils ne donnent aucun détail sur alpha

vrouvrou

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Re : espace non complet

pour n=2
soit [tex]\varepsilon >0[/tex] , p,q >0 tq [tex]p>q>0[/tex]

[tex]||u_{p}(x)-u_{q}(x)||=|||log(|x|^2+1/p)|^{\alpha/2} -|log(1+1/p)|^{\alpha/2}-|log(|x|^2+1/q)|^{\alpha/2}+|log(1+1/q)|^{\alpha/2}||_V[/tex]=
[tex]\int_{\Omega}(\nabla|log(|x|^2+1/p)|^{\alpha/2} -|log(1+1/p)|^{\alpha/2}-|log(|x|^2+1/q)|^{\alpha/2}+|log(1+1/q)|^{\alpha/2})^2dx[/tex]
une idée pour terminer ?
s'il vous plait

Fred

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Re : espace non complet

Pas d'idées, à part calculer effectivement le gradient à partir de la définition.

F.

vrouvrou

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Re : espace non complet

ok,et donc j’intègre  pour deux variables [tex]x_1[/tex] et [tex]x_2[/tex] ?
s'il vous plait
merci

Fred

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Re : espace non complet

Oui.