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Bluerock

Invité

Courbe paramétrique : point double à trouver

Bonjour à tous,
après de nombreuses recherches, je n'ai toujours pas trouver la solution à mon problème que voici : trouver le paramètre du point double de la courbe définie par :
x(t) = (2*t+1)/(t^2-1)
y(t) = t^2/(t+1)

J'ai déjà étudié toute la fonction, il ne me reste que le point double à trouver.
J'ai donc poser t1 appartient à [-1;-1/2] et t2 appartient à [1; +infinity[
Mais après, je ne sais vraiment pas comment faire...
Merci pour votre aîde !

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Courbe paramétrique : point double à trouver

Salut,

  Ces questions de points doubles sont souvent un peu astucieuses. Pour avoir des notions plus simples, je considère [tex]t\neq s[/tex]
avec [tex]x(t)=x(s)[/tex] et [tex]y(t)=y(s)[/tex]

Dans la première équation, je multiplie tout pour ne plus avoir de dénominateur. J'obtiens, en développant :

[tex]2ts^2-2t+s^2=2st^2-2s+t^2\iff 2ts^2-2st^2+s^2-t^2-2t+2s=0\iff (t-s)(-2ts+(t+s)-2)=0[/tex]

Comme on a supposé [tex]t\neq s[/tex], on en tire [tex]2ts=2-(t+s)[/tex].

On fait pareil avec la deuxième équation :

[tex]t^2s+t^2=s^2t+s^2\iff t^2s-s^2t+t^2-s^2=0\iff (t-s)(st+(t+s))=0\iff st=-(t+s)[/tex]

On peut alors éliminer les [tex]st[/tex], et on trouve :

[tex]2-(t+s)+2(t+s)=0\iff t+s=-2\iff s=-t-2[/tex]

Pour retrouver [tex]t[/tex], tu peux repartir par exemple de [tex]st=-(t+s)[/tex], et
remplacer [tex]s[/tex] par [tex]-t-2[/tex]

Je ne te garantis pas que je n'ai pas fait d'erreurs de calculs (j'ai fait les calculs en direct sur l'ordi, ce n'est pas très bon...)
mais la méthode devrait fonctionner.

F.

Bluerock

Invité

Re : Courbe paramétrique : point double à trouver

C'est bon ! Ça marche parfaitement cette méthode ! Merci beaucoup !
Il y a juste une petite faute de signe dans ce que vous avez proposé : on obtient : 2ts = (t + s) - 2
C'est mieux pour ne pas avoir de solutions complexes à la fin !
Merci pour tout !

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : Courbe paramétrique : point double à trouver

Bonsoir,

C'est bon ! : on obtient : 2ts = (t + s) - 2

ce serait plutôt : -2ts =(t+s)+2 qui conduit à [tex]t=1+\sqrt{3}\ et\ t=1-\sqrt{3}[/tex]
pour lesquels x(t)=1 et y(t)=2 et qui vérifient ts=-2 et (t+s)=2

Cordialement

Bluerock

Invité

Re : Courbe paramétrique : point double à trouver

Excusez-moi, vous avez tout à fait raison. J'ai vu à la fin que mes résultats étaient un peu incohérent, et je voulais reprendre les calculs aujourd'hui. Avec ces résultats, on obtient quelque chose de juste.

Merci encore pour tout !