Forum de mathématiques - Bibm@th.net

anonymous

Membre

Inscription : 29-10-2012

Messages : 20

exercice de suite

Salut j'ai un exercice de suite que je n'arrive pas finir, voici l'énoncé:
Etudier la nature [tex]\text{(convergence ,divergence)}[/tex]de cette suite:

Voilà ce que j'ai fait:
J'ai fait un tableau de variation (en introduisant une fonction)
J'ai cherche des points fixes sur R*+ et je trouve 3

je trouve ensuite que la suite est positif sur ]0,3]et négatif sur [3;+oo[ en faisant [tex]v_{n+1}-v_{n}[/tex]
j'étudie les deux cas:
le 1er cas:
j'ai
sur ]0,3]
[tex] v_{n+1}-v_{n}>0[/tex]
donc la suite est croissante et elle est monotone (mais c'est faux car dans tous les cas, on a v1> v0 mais v2<v1
f(]0,3])=[3,+oo[ ....C'est ici que je n'arrive pas montrer que ca converge vers 3

et dans le deuxième cas, j'ai réussi à faire et à montrer que c'est convergent vers 3

Merci de votre aide

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice de suite

Salut,

si tu as trouvé, en quoi peut on t'aider ?

anonymous

Membre

Inscription : 29-10-2012

Messages : 20

Re : exercice de suite

Salut,
je n'ai pas trouvé car c'est faux ce que j'ai mis pour l'ensemble ]0,3] donc il faut que j'utilise une autre méthode mais je ne sais pas laquelle. Car si on traçe, on voit bien l'on a v1> v0 mais v2<v1 ce qui pose un problème au raisonnement.
J'utilise pas la bonne méthode, car sinon ca serait trop facile

Je pense qu'il faut utiliser les sous suites, mais je ne sais absolument pas comment faire

Dernière modification par anonymous (08-11-2012 21:25:18)

anonymous

Membre

Inscription : 29-10-2012

Messages : 20

Re : exercice de suite

Je me suis rendu compte que ce que j'ai fait et absurde car j'ai dit que:
e trouve ensuite que la suite est positif sur ]0,3]et négatif sur [3;+oo[, alors que c'est faux elle est toujours positif.

Pourriez vous m'indiquez comment faire par la méthode des sous suites, car je dois le rendre pour demain et je suis perdue :(

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice de suite

Re,

au pif, je dirai d'extraire les sous suites d'indice pair et impair ...

anonymous

Membre

Inscription : 29-10-2012

Messages : 20

Re : exercice de suite

Oui mais là est le problème, je ne sais absolument comment faire et quelle démarche suivre pour trouver que celà converge vers 3.
J'ai regarder sur le net, mais les cours sur les sous suites sont compliquée. J'ai entendu parlé de sous suite sur un poly de cours à vrai dire
Pourriez vous m'indiquez ce que je dois faire pour expliquer (pour trouver même si je sais que la réponse est 3) cette convergence.

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : exercice de suite

Re,

L'une est croissante et majorée par l'autre qui est décroissante et minorée par la première.

Elles sont donc convergentes et ont même limite.

anonymous

Membre

Inscription : 29-10-2012

Messages : 20

Re : exercice de suite

En utilisant des calculs , celà se traduit de quelle manière svp ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : exercice de suite

Salut,

  La première chose à remarquer, c'est que l'intervalle [tex] [3,+\infty [/tex]  est stable par ta fonction [tex]f[/tex].
De plus, [tex] f(\mathbb R_+^*)\subset [3,+\infty[ [/tex] donc tu as toujours [tex]v_1\in [3,+\infty[ [/tex]
et même [tex]v_n\in [3,+\infty[,\ n\geq 1 [/tex]

Ensuite, tu peux démontrer qu'à partir du rang 1, la suite [tex] (v_n) [/tex] est décroissante et minorée par 3.

F.

anonymous

Membre

Inscription : 29-10-2012

Messages : 20

Re : exercice de suite

Bonjour fred, merci à vous,
tous celà je sais, c'est ce que j'ai mis au mot près sur ma copie mais pour l'intervalle ]0,3], ce n'est pas la même chose car si on visualise la suite, elle croit puis décroit et je n'y arrive pas. On a  v1> v0 mais v2<v1  ce qui est très byzarre

je trouve v(n+1)-vn est positif sur ]0,3] donc c'est croissant or elle n'est pas majorée donc je peux pas directement dire que elle converge vers 3

Dernière modification par anonymous (08-11-2012 22:32:21)

anonymous

Membre

Inscription : 29-10-2012

Messages : 20

Re : exercice de suite

Par exemple, j'ai choisi une valeur de v0 appartenant à ]0,3] et j'ai:

regardez les premières termes et c'est byzarre

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : exercice de suite

Ce n'est pas bizarre, c'est exactement ce que je te disais.
Si le premier terme est dans ]0,3], le suivant est toujours dans [3,+oo[, et tout fonctionne de la même façon à partir de [tex]v_1[/tex]
au lieu de [tex]v_0[/tex]

Tu auras toujours [tex]v_1 \geq v_2\geq v_3\geq \dots [/tex]

La suite est décroissante à partir de [tex]v_1[/tex] (et on peut oublier [tex]v_0[/tex])

F.

F.

anonymous

Membre

Inscription : 29-10-2012

Messages : 20

Re : exercice de suite

pourriez vous m'expliquez comment je peux écrire cà de manière plus "mathématique"  car je bosse sur cet exercice depuis des heures, et je bloque  juste sur celà.

Merci bcp pour votre aide

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : exercice de suite

Salut:

La suite en question est définie par la donnée de [tex]u_0 > 0[/tex] et [tex]\forall n \in {\mathbb N} \quad u_{n+1}=f(u_n)[/tex], avec [tex]\forall x \in ]0,+\infty[ \quad f(x)= \frac 12 \left(x + \frac 9x \right)[/tex].
Pour tout x > 0, on a : [tex]f(x)-x = \frac{x+3}{2x} (3-x)[/tex], donc : [tex]f(x)-x  \leq 0[/tex]  pour  tout  [tex]x \geq  3[/tex].
Compte tenu de la remarque de Fred, on a : [tex]\forall n \in {\mathbb N}^* \quad u_n \geq  3[/tex], donc  [tex]\forall n \in {\mathbb N}^* \quad f(u_n) - u_n \leq 0 [/tex]. Il en résulte que la suite [tex](u_n)_{n \geq 1}[/tex] est décroissante et minorée (par [tex]3[/tex] ). Donc elle converge. Il en découle que la suite  [tex](u_n)_{n \geq 0}[/tex]  converge aussi (vers la même limite).

totomm

Membre

Inscription : 25-08-2011

Messages : 1 093

Re : exercice de suite

Bonjour,

Comparer v_n+1 à 3 revient à comparer [tex]v_n+\frac{9}{v_n}[/tex] à 6
comme [tex]v_n[/tex] est toujours >0, cela revient à comparer [tex]v_n^2-6v_n+9 = (v_n-3)^2 [/tex] à 0

et comme un carré est toujours >0 on a bien toujours [tex]v_{n+1} >3[/tex]

Peut-on être plus convaincant ?