Contrainte(d'egalite et d'inegalite);Optimisation statistique;Matrices

Wayne · 29-10-2012 03:33:04

Voilà un examen que j'ai trouvé sur internet mais j'arrive à rien faire dessus ... Si quelqu'un peu me procurer le corrigé . Merci

Exercice 1 (20 pts)
On donne:
M=(2 1)
1 1

1) Calculez les vecteurs propres et les valeur propres de M (10pts)
2) Montrez qu’on peut écrire M = V D V′, où D est la matrice diagonale des valeurs propres et V ′ = V^(−1) (5pts).
3) En déduire M^(−1) en fonction de V et D et calculer explicitement M^(−1) (5pts).
Indication: Si A = B C E, alors A′ = E′C′B′ et A^(−1) = E^(−1)C^(−1)B^(−1).

Exercice 2 (20 pts):
On donne
A=(4 2 1)
2 4 3
1 3 3

1) A est-il définie positive? justifier votre réponse (10 pts).
2) Résoudre le système (10pts):
Ax=(1)
1
1

Exercice 3 (10 pts):
Donnez un exemple de fonction à une variable convexe et un exemple de fonction concave sur R. Donnez les dérivées premières et secondes.

Exercice 4 (20 pts)
Un consommateur consomme dans deux périodes. S’il dépense c1 dans la première période et c2 dans la deuxième période son utilité est de:

u(c1,c2)=((c1^(1−σ))/1−σ)+β((c2^(1−σ))/1−σ), β∈]0,1]

Il commence avec s1 dans la banque et doit laisser s3 dans la banque après la deuxième période (tous deux sont supposés connus). Soit s2 le montant dans son compte après la dépense de la première période et le paiement d’intérèt mais avant la dépense de la deuxième. Sa banque paie un taux d’intérèt r à chaque période, alors s2 = (s1 −c1)(1+r) et s3 = (s2 −c2)(1+r). Les variables de choix sont c1, c2 et s2. Il y a deux contraintes, les deux équations ci-dessus. Il maximise son utilité.
1. Donnez les valeurs de σ, pour lesquelles fonction u est concave. Soyez rigoureux.
2. Trouvez le point optimal et démontrez qu’il est optimal. (Utilisez les théorèmes vus au cours)
3. Trouvez la dérivée de l’utilité maximale par rapport à r, au point optimal.

Exercice 5 (20 points)
La fonction d’utilité d’un agent pour les biens x et y est de type Cobb-Douglas
u (x, y) = x^(α)y^(1−α)

Sa contrainte budgétaire est donnée par:
p1x + p2y = R

1) Tirez x en fonction de y, p1, p1 et R. Remplacez cette expression dans u (x, y) pour obtenir une expression qui dépend uniquement de y et des paramètres. Notez cette expression U (y, R). (5 pts)
2) Calculer les dérivées suivantes: (10 pts)

(i) ∂U(y,R)/∂R;

(ii) ∂^(2)U(y,R)/∂y^(2).

3) En utilisant la substitution faite en 1), trouvez x*et y* qui résolvent:

max u (x, y) = x^(α)y^(1−α)
x,y

s.c. p1x+p2y = R
Comme y* et x* dépendent de R, on note: y* (R) et x* (R) . (Attention: pas de Lagrangien!)

4) Écrivez le problème dual équivalent et l’interpréter.
(Attention: on ne demande pas de résoudre, juste interpréter).

Exercice 6 (10 pts)
On considéré le problème:
max f(x,y)= 2−(x−1)^(2) −e^(y^(2)) s.c. x^(2) +y^(2) ≤4,

1.(a) Déterminez la matrice Hessienne associée à f, en déduire la nature de f (concave ou convexe).
(b) Écrivez les conditions de Kuhn-Tucker.
(c) Trouvez la seule solution possible et montrez que cette solution est optimale.

freddy · 29-10-2012 05:37:57

Salut,

comme tu n'as pas pris soin d'utiliser l'éditeur d'équation, ça va être laborieux de donner les réponses (chaque fois, il faut vérifier qu'on a bien compris ce qui est écrit).

Si tu as du temps, je résoudrai les sujets les uns après les autres, en fonction de mes disponibilités. Toutefois, en consultant tes notes de cours, ton poly et de bons manuels, il y a 50 % des questions auxquelles tu peux apporter rapidement des réponses.

A bientôt !

Wayne · 29-10-2012 07:16:35

Merci freddy,

freddy · 29-10-2012 10:58:47

Wayne a écrit :

Exercice 3 (10 pts):
Donnez un exemple de fonction à une variable convexe et un exemple de fonction concave sur R. Donnez les dérivées premières et secondes.

fonction convexe classique sur [tex]R_+^*[/tex] : [tex]f(x)=exp(\alpha x),\; \alpha > 0[/tex], avec [tex]f'(x) = \alpha f(x)[/tex] et [tex]f"(x)=\alpha^2 f(x)[/tex] ;

Fonction concave classique [tex]g(x)=ln(x)[/tex] sur [tex]R_+^*[/tex], avec [tex]g'(x)=\frac1x[/tex] et [tex]g"(x)=-\frac{1}{x^2}.[/tex]

J'aurais demandé les signes de ces fonctions !

freddy · 29-10-2012 11:19:23

Je reprends l'exo 4 et j'ai besoin de précisions.

Exercice 4 (20 pts)

Un consommateur consomme dans deux périodes. S’il dépense [tex]c_1[/tex] dans la première période et [tex]c_2[/tex] dans la deuxième période, son utilité est de :

[tex]u(c_1,c_2)=\frac{c_1^{1−\sigma}}{1−\sigma}+\beta \frac{c_2^{1−\sigma}}{1−\sigma} [/tex], [tex]\beta \in ]0,1][/tex]

Questions : pas de contrainte naturelle sur [tex]\sigma[/tex] ??? La fonction d'utilité est elle correcte ?

Il commence avec [tex]s_1[/tex] dans la banque et doit laisser [tex]s_3[/tex] dans la banque après la deuxième période (tous deux sont supposés connus).

Soit [tex]s_2[/tex] le montant dans son compte après la dépense de la première période et le paiement d’intérèt mais avant la dépense de la deuxième.

Sa banque paie un taux d’intérèt [tex]r[/tex] à chaque période, alors[tex] s_2 = (s_1 −c_1)\times (1+r)[/tex] et [tex]s_3 = (s_2 −c_2)\times (1+r)[/tex].

Les variables de choix sont [tex]c_1,\, c_2\, et\, s_2[/tex]. Il y a deux contraintes, les deux équations ci-dessus. Il maximise son utilité.

1. Donnez les valeurs de [tex]\sigma[/tex], pour lesquelles fonction u est concave. Soyez rigoureux.

2. Trouvez le point optimal et démontrez qu’il est optimal. (Utilisez les théorèmes vus au cours)

3. Trouvez la dérivée de l’utilité maximale par rapport à [tex]r[/tex], au point optimal.

freddy · 29-10-2012 17:34:44

Exercice 5 (20 points)
La fonction d’utilité d’un agent pour les biens x et y est de type Cobb-Douglas

[tex] u(x, y) = x^{\alpha} y^{1−\alpha}[/tex], avec [tex]0 \lt \alpha \lt 1[/tex]

Sa contrainte budgétaire est donnée par:
[tex]p_1x + p_2y = R[/tex]

1) [tex]x = \frac{R-p_2y}{p_1}[/tex] et [tex]U(y,R) = \left(\frac{R-p_2y}{p_1}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha}[/tex]

(i) [tex]\frac{\partial U(y,R)}{\partial R}=\frac{\alpha}{p_1}\left(\frac{R-p_2y}{p_1}\right)^{\alpha-1} y^{1-\alpha} [/tex] ;

(ii) [tex]\frac{\partial^2 U(y,R)}{\partial^2 R}=\frac{\alpha(\alpha-1)}{p_1^2}\left(\frac{R-p_2y}{p_1}\right)^{\alpha-2} y^{1-\alpha} \lt 0[/tex]

3) Trouvez [tex]x^*[/tex]et [tex]y^*[/tex] qui résolvent:

[tex]\max_{x,y} U(x,y)[/tex]
s.c. [tex]p_1x+p_2y=R[/tex]

Une CNS est que [tex]\frac{\partial U(y^*,R)}{\partial y}= 0[/tex] et [tex]\frac{\partial^2 U(y^*,R)}{\partial^2 y} \lt 0 [/tex]

[tex]\frac{\partial U(y,R)}{\partial y}= -\alpha\frac{p_2}{p_1}\left(\frac{R-p_2y}{p_1}\right)^{\alpha-1}y^{1-\alpha}+(1-\alpha)\left(\frac{R-p_2y}{p_1}\right)^{\alpha}y^{-\alpha}[/tex]

[tex]\frac{\partial U(y,R)}{\partial y}=0 \Leftrightarrow \alpha\frac{p_2}{p_1}\left(\frac{R-p_2y}{p_1y}\right)^{\alpha-1}=(1-\alpha)\left(\frac{R-p_2y}{p_1y}\right)^{\alpha}[/tex]

On trouve, tout calcul fait et sauf erreur :

[tex]y^*(R)=\frac{(1-\alpha)R}{p_2}[/tex] et [tex]x^*(R)=\frac{\alpha R}{p_1}[/tex] et il faut vérifier la condition du second ordre (dérivée seconde négative en ce point). je te laisse faire.

4) Écrivez le problème dual équivalent et l’interpréter.

Saurais tu le faire ?(Attention: on ne demande pas de résoudre, juste interpréter).

Dernière modification par freddy (31-10-2012 13:54:35)

Wayne · 29-10-2012 20:10:52

freddy a écrit :

Je reprends l'exo 4 et j'ai besoin de précisions.
Exercice 4 (20 pts)
Un consommateur consomme dans deux périodes. S’il dépense [tex]c_1[/tex] dans la première période et [tex]c_2[/tex] dans la deuxième période, son utilité est de :
[tex]u(c_1,c_2)=\frac{c_1^{1−\sigma}}{1−\sigma}+\beta \frac{c_2^{1−\sigma}}{1−\sigma} [/tex], [tex]\beta \in ]0,1][/tex]
Questions : pas de contrainte naturelle sur [tex]\sigma[/tex] ??? La fonction d'utilité est elle correcte ?
Il commence avec [tex]s_1[/tex] dans la banque et doit laisser [tex]s_3[/tex] dans la banque après la deuxième période (tous deux sont supposés connus).
Soit [tex]s_2[/tex] le montant dans son compte après la dépense de la première période et le paiement d’intérèt mais avant la dépense de la deuxième.
Sa banque paie un taux d’intérèt [tex]r[/tex] à chaque période, alors[tex] s_2 = (s_1 −c_1)\times (1+r)[/tex] et [tex]s_3 = (s_2 −c_2)\times (1+r)[/tex].
Les variables de choix sont [tex]c_1,\, c_2\, et\, s_2[/tex]. Il y a deux contraintes, les deux équations ci-dessus. Il maximise son utilité.
1. Donnez les valeurs de [tex]\sigma[/tex], pour lesquelles fonction u est concave. Soyez rigoureux.
2. Trouvez le point optimal et démontrez qu’il est optimal. (Utilisez les théorèmes vus au cours)
3. Trouvez la dérivée de l’utilité maximale par rapport à [tex]r[/tex], au point optimal.

Effectivement .. la fonction d'utilité est correcte.. et non il nya pas de contrainte naturelle sur σ

freddy · 29-10-2012 22:04:02

Re,

si bien sûr, il faut que [tex]\sigma \ne 1 [/tex] ...

tu es en quelle année de quoi, au juste ?

Dernière modification par freddy (29-10-2012 22:21:04)

Wayne · 30-10-2012 08:32:23

2éme année en science eco

freddy · 30-10-2012 12:54:03

Re,

connais tu les termes de Hessien, Jacobien, Lagrangien, concavité et convexité, vecteurs et valeurs propres ? ...

Les sujets que tu as piochés font référence à des notions enseignées en L3, non ?

Dernière modification par freddy (30-10-2012 12:54:41)

freddy · 30-10-2012 14:12:43

Re,

dans le sujet 4, il y a un doute : le consommateur peut il emprunter au taux [tex]r[/tex] ? Autrement dit, n'y a t-il pas une contrainte supplémentaire de la forme [tex]s_2 \ge 0[/tex] ?

Ensuite, les sujets 1 et 2 renvoient à des cours d'algèbre pour économistes dispensées en L2 et L3 (L1 et L2 en MASS je crois).

Enfin, les questions du prof font références à son cours, et pas à celui d'un autre. Peux tu mettre la main dessus ? Comment savoir ce qu'il a dit ou pas ?

En clair, j'ai quelques petits scrupules à corriger un sujet dont je ne connais ni les attendus, ni exactement comment les notions évoquées ont été enseignées ...

Je le ferai, à mes moments perdus, uniquement pour "l'honneur de l'esprit humain". Pour l'heure, j'ai du boulot.

Dernière modification par freddy (30-10-2012 14:13:17)

freddy · 30-10-2012 20:17:08

Exercice 4 (20 pts)

Un consommateur consomme dans deux périodes. S’il dépense [tex]c_1[/tex] dans la première période et [tex]c_2[/tex] dans la deuxième période, son utilité est de :

[tex]u(c_1,c_2)=\frac{c_1^{1−\sigma}}{1−\sigma}+\beta \frac{c_2^{1−\sigma}}{1−\sigma} [/tex], [tex]\beta \in ]0,1][/tex]

Il commence avec [tex]s_1[/tex] dans la banque et doit laisser [tex]s_3[/tex] dans la banque après la deuxième période (tous deux sont supposés connus).

Soit [tex]s_2[/tex] le montant dans son compte après la dépense de la première période et le paiement d’intérêt mais avant la dépense de la deuxième.

Sa banque paie un taux d’intérêt [tex]r[/tex] à chaque période, alors[tex] s_2 = (s_1 −c_1)\times (1+r)[/tex] et [tex]s_3 = (s_2 −c_2)\times (1+r)[/tex].

Les variables de choix sont [tex]c_1,\, c_2\, et\, s_2[/tex]. Il y a deux contraintes, les deux équations ci-dessus. Il maximise son utilité.

Je suppose que le consommateur ne peut pas faire d'emprunt, ce qui se traduit par [tex]s_2 \ge 0[/tex]

1. On sait que sur [tex]R_+^*[/tex] la fonction puissance est concave ssi [tex]0 \lt 1-\sigma \lt 1[/tex] soit [tex]0 \lt \sigma \lt 1[/tex]. Donc la fonction [tex]U[/tex] est concave si la contrainte précédente est respectée, puisque [tex]U[/tex] est la somme pondérée de deux fonctions concaves.

2. Il s'agit de maximiser [tex]U(c_1,c_2)[/tex] sous la contrainte [tex]c_1+\frac{c_2}{1+r}=s_1-\frac{s_3}{(1+r)^2}[/tex]

La résolution passe par la recherche des extréma de [tex]\mathcal{L}(c_1,c_2,\lambda)=U(c_1,c_2)+\lambda(c_1+\frac{c_2}{1+r}-s_1+\frac{s_3}{(1+r)^2})[/tex], qui passe par l'annulation des trois dérivées partielles premières :

[tex]\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_1}=c_1^{-\sigma}+\lambda=0[/tex]

[tex]\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_2}=\beta c_2^{-\sigma}+\frac{\lambda}{1+r}=0[/tex]

[tex]\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}= c_1+\frac{c_2}{1+r}-s_1+\frac{s_3}{(1+r)^2}=0[/tex]

Les deux premières équations donnent [tex]c_2^*=c_1^*(\beta(1+r))^{\frac{1}{\sigma}}[/tex]

La troisième permet de déterminer [tex]c_1^*(1+\beta^{\frac{1}{\sigma}}(1+r)^{\frac{1}{\sigma}-1})=s_1-\frac{s_3}{(1+r)^2}[/tex]

(...)

Dernière modification par freddy (31-10-2012 20:05:09)

freddy · 31-10-2012 13:08:43

(...)

On voit qu'on déduit facilement [tex]s_2^* = (s_1-c_1^*)(1+r)=c_2^*+\frac{s_3}{1+r}[/tex] et que le coefficient [tex]\lambda^* \ne 0[/tex], ce qui veut dire que la contrainte de budget est bien saturée.

3. Trouvez la dérivée de l’utilité maximale par rapport à [tex]r[/tex], au point optimal.

la valeur de la dérivée cherchée est précisément égale à la valeur du multiplicateur de Lagrange au point d'équilibre, soit [tex]\lambda^*=-(c_1^*)^{-\sigma}[/tex] (je ne donne pas la valeur explicite de [tex]c_1^*[/tex], il y en a pour une plombe !)

Dernière modification par freddy (31-10-2012 20:06:41)

freddy · 01-11-2012 09:38:14

Exercice 6 (10 pts)

On considère le problème:

[tex]\max_{x,y} f(x,y)= 2−(x−1)^2 −e^{y^2}[/tex] s.c. [tex]x^2 +y^2 \le 4 [/tex]

(a) Déterminez la matrice Hessienne associée à f, en déduire la nature de f (concave ou convexe).

La matrice hessienne est de la forme : [tex]H =\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2e^{y^2}(1+2y^2) \end{pmatrix}[/tex]

Manifestement, c'est une matrice symétrique définie négative, donc f est concave.

(b) Écrivez les conditions de Kuhn-Tucker.

En écrivant le lagrangien [tex] \mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda(x^2+y^2-4)[/tex], les conditions énoncent :

[tex]\begin{cases}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0 \\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0 \\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} \ge 0 \\ \lambda \ge 0 \\ \lambda(x^2+y^2 - 4)=0 \end{cases}[/tex]

(c) Trouvez la seule solution possible et montrez que cette solution est optimale.

Il est assez facile de voir que f est max au point[tex](1,0)[/tex], avec [tex]f(1,0)=1[/tex]

puisque tout autre point pris dans le disque de centre l'origine et de rayon 2 ne peut que diminuer la valeur de f.

A côté de cet argument heuristique, on vérifie que le point (1,0) complété de [tex]\lambda=0[/tex] sont solutions des conditions de KT ci-dessus.

Je me demande où est passé John Wayne ?!?

Dernière modification par freddy (02-11-2012 10:48:17)

Wayne · 02-11-2012 20:28:16

C'est Fred Wayne :)

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#1 29-10-2012 03:33:04

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