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Someonelse

Invité

Evn

Bonsoir!

Svp, est-ce que l'ensemble des projecteurs d'un ev de dimension finie est compact?

Merci

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 352

Re : Evn

Bonjour,

  Je ne crois pas, car cet ensemble n'est pas borné. Plutôt que de faire des calculs, voici une idée.
On se place dans le plan et on prend le projecteur sur l'axe des abscisses parallèlement à une droite
presque parallèle à l'axe des abscisses. Alors [tex]p(e_2)=\lambda e_1[/tex] avec [tex]\lambda[/tex]
très grand (en valeur absolue), et d'autant plus grand que la droite est presque parallèle à l'axe des abscisses.
La norme du projecteur sera donc très grande, et elle va tendre vers l'infini si on fait tendre la droite par rapport à laquelle
on projette vers l'axe des abscisses.

F.

Someonelse

Membre

Inscription : 23-10-2012

Messages : 1

Re : Evn

Ok! t'as raison il n'est pas borné
Merci bien

MOHAMED_AIT_LH

Invité

Re : Evn

Salut

- On remarque toutefois  que c'est une fermé car application  [tex]f \mapsto f^2 - f[/tex]  de  [tex]{\mathcal L}(E)[/tex]  vers lui même est continue.
- Si [tex] E[/tex] est un espace euclidien, l'ensemble des projections orthogonales (qui est une partie du premier) est cette fois-ci un compact : en effet les normes de [tex]{\mathcal L}(E)[/tex] étant toutes équivalentes, considérons la norme subordonnée de la norme eucildienne et soit  [tex]p[/tex] une projection orthogonale de [tex]E[/tex] . Si  [tex]x \in E[/tex] tel  que [tex]\|x\|_2 = 1.[/tex] Par le théorème de Pythagore, on a : [tex]\|p(x)\|_2  \leq  \|x\|_2=1[/tex]  donc [tex]\|p\|_2 \leq 1[/tex].