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Emilie

Invité

Topologie et convexité

Bonsoir,

Je voudrais que l'on m'aide pour un exercice de topologie avec lequel j'ai un problème. J'ai réussi 2 questions mais je bloque sur la deuxième :

On considère la fonction f:]0 ;+∞]→ R
f(x)= - log(x), log est le logarithme népérien

1) Montrer que la fonction f est convexe :
    Je passe par la seconde dérivée
    f'(x)= - 1/x
    f''(x)= 1/x² <0
    donc f' est croissance et alors f est convexe

2) On fixe x1, x2, …, xn ϵ ]0 ;+∞]
Établir la majoration :

            ∏ xi  ≤  (∑ xi /n )^n

            Je voudrais que l'on m'explique comment établir cette première majoration s'il vous plait. Je ne sais pas si il faut faire une preuve par récurrence ou si il faut la trouver directement ? Je ne vois pas la relation avec la première question et où utiliser la fonction f du début ??

En déduire l'inégalité n!<= [(n+1)/2]^n
    En posant x1=1, x2=2, ..., xn=n
    alors on a bien cette inégalité, en sachant que ∑ xi = n(n+1)/2 donc 1*2* ... *n = n!
        et  (∑ xi /n )^n = (n(n+1)/2 / n)^n = ((n+1)/2)^n

Merci par avance de avoir lu mon message
Cordialement

amatheur²

Invité

Re : Topologie et convexité

SALUT
1- applique Inégalité de Jensen à la fonction  [tex]\ln x[/tex]
a+

Fred

Administrateur

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Re : Topologie et convexité

Salut,

Pour compléter la réponse de amatheur,
l'inégalité [tex]\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}\leq \sum_{i=1}^n \frac{x_i}n[/tex], que tu cherches à démontrer,
est équivalente, via la croissance de la fonction logarithme, et les propriétés de cette fonction, à
[tex]\frac1n \sum_{i=1}^n \ln(x_i)\leq \ln\left(\sum_{i=1}^n \frac{x_i}n\right)[/tex]
et là, tu te trouves directement dans un cas où tu peux appliquer la convexité de [tex]-\ln x[/tex].

F.

44iankinantsoa

Invité

Re : Topologie et convexité

raisoné par l'absurde,en fixant n.et tu auras cette inégalité.

freddy

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Inscription : 27-03-2009

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Re : Topologie et convexité

Salut,

non, non, il faut savoir faire cette démonstration, c'est une grand classique à connaître en matière de convexité (domaine d'application : mathématiques de la décision)