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clementine

Invité

topologie dans R

Bonjour,
Je voudrais que l'on m'aide a comprendre les intervalles ouverts,fermé; et borné.
A vrai dire j'ai les définitions théoriques mais dans la pratique je ne comprend absolument rien/. je ne sais jamais comment demontrer
etc..
Je voudrais que l'on m'explique avec des exemple par exemple
A=(x,y) dans R^2 /2x+Y=1
je sais que ce n'est que un fermé mais je ne sais pas expliquer
et si vous avez d'autre exemple dans ce genre
merci par avance de m'avoir lu
cordialement

Choukos

Membre

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Re : topologie dans R

Salut !

Déjà dans R, tu sais sûrement que [tex] ]a,b[ [/tex] est ouvert, [tex] [a,b] [/tex] est fermé et [tex] ]a,b] [/tex] n'est ni ouvert ni fermé.
Toutefois être fermé dans R c'est plus général qu'être de la forme [tex] [a,b] [/tex], par exemple une union finie de fermé reste fermé (si tu considères "pleins" d'intervalles de la forme [tex] [a,b], [c,d], ... [/tex] leur union reste fermé).

A titre d'exemple tu as sûrement dans ton cours les démonstrations des propositions suivantes :
Une union finie de fermés est fermée.
Une union quelconque d'ouverts est ouverte.
Une intersection finie d'ouverts est ouverte.
Une intersection quelconque de fermés est fermés.

Elles se déduisent des définitions, ça peut te donner quelques méthodes pour les utiliser.

On peut se demander si une union quelconque de fermée est fermée et si une union quelconque d'ouverts est ouverte (i.e doit-on vraiment préciser finie ?)

Si on considère [tex] \cup_{n\geq 1}{[1/n,1]} [/tex], c'est une union infinie de fermés, mais comme [tex] 1/n \rightarrow 0 [/tex] et que [tex]1/n >0[/tex] on en déduit que [tex] \cup_{n\geq 1}{[1/n,1]}=]0,1] [/tex] n'est pas fermé ! (Mais ni ouvert).
Si on considère [tex] \cap_{n\geq 1}{]-1/n,1/n[} [/tex] est une intersection infinie d'ouverts, mais comme [tex] -1/n \rightarrow 0 [/tex], [tex] 1/n \rightarrow 0 [/tex] on en déduit que [tex] \cap_{n\geq 1}{]-1/n,1/n[}=\{0\} [/tex] qui est un singleton, donc un fermé (son complémentaire c'est [tex] ]-\infty,0[\cup]0,+\infty[ [/tex] qui est une union finie d'ouverts donc ouverte donc par définition d'un fermé, notre singleton est un fermé de R).

Mais c'est parfois assez dur de manipuler directement ces définitions et on préfère souvent en pratique utiliser des arguments "marteau" pour tuer le problème : pour ton exemple, tu as je pense dans ton cours la propriété suivante : l'image réciproque par une fonction continue d'un fermé est un fermé.
Soit la fonction [tex]f : R^2 \rightarrow R[/tex] qui à [tex](x,y)[/tex] associe [tex] 2x + y [/tex] est continue.
Or [tex]A=f^{-1}( \{1\} )[/tex] et [tex]{1}[/tex] est fermé.
Donc A est un fermé de [tex]R^2[/tex]

Si tu veux d'autres exemples, tu en as pas mal ici : http://www.bibmath.net/exercices/index. … oi=analyse, la feuille : Topologie des espaces vectoriels normés. Tu peux dans l'exercice 12 retourner aux définitions ou utiliser des arguments "marteau" comme celui que j'ai utilisé pour montrer que le A de ton exemple était fermé, essaye de faire un peu des deux !

Choukos

Dernière modification par Choukos (17-10-2012 17:44:41)

clementine

Invité

Re : topologie dans R

merci choukos
j'ai juste une question comment sais tu que A= f^-1({1})
c'est parceque 2X+Y=1???
si on aurais 2X+Y=1000 alors A=f^-1({1000})
c'est toujours comme sa?
merci

Fred

Administrateur

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Re : topologie dans R

Salut,

  Oui, si on avait 2x+y=1000, alors [tex]A=f^{-1}({1000})[/tex].
Dire que c'est toujours comme cela que l'on procède pour montrer qu'un ensemble est fermé serait exagéré....

Merci à Choukos pour sa réponde détaillée!

F.

simo

Invité

Re : topologie dans R

bonsoir,s il vous plait, vous pouvez m aider a résoudre ce petit problème et merci par avance a ceux qui veulent :
soit A une partie de R ouvert et fermé à la fois,et f la fonction définie sur R par : f(x)=1 si x de A et sinon f(x)=0
1-montrer que pour tout ouvert U de R l image réciproque de U par f est l une des parties suivante :R,R/A,A ou l ensemble vide
2-montrer que f est continue sur R
3-montrerque f est constante sur R
4-En déduire que les seules partie ouverts et fermés a*à la fois de R sont ;R et l ensemble   vide.
j attend vous réponse.