Forum de mathématiques - Bibm@th.net

jon83

Membre

Inscription : 13-10-2012

Messages : 5

Inéquation du second degré

Bonjour!
Le second degré étant très loin derrière moi, je sèche pour résoudre la question suivante:
"Déterminez toutes les valeurs du réel a telles que l'inéquation x^2-x+1<a n'admette aucune solution réelle."
Merci d'avance pour votre aide!

Dernière modification par jon83 (13-10-2012 13:36:28)

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Inéquation du second degré

Bonjour,

Bienvenue à bord...
Le problème est que tu as deux inconnues x et a...
[tex]x^2-x+1<a\;\Leftrightarrow\; x^2-x+1-a<0[/tex]
Calcul du discriminant :
[tex]\Delta = (-1)^2-4\times 1\times  (1-a)=1-4+4a=4a-3[/tex]
Discussion.
* Si [tex]\Delta <0[/tex] donc si [tex]a <\frac 3 4[/tex], il n'y a pas de solution  et le polynôme [tex] x^2-x+1-a[/tex] est du signe di coefficient de x², donc + quel que soit x. Pas de solution
             ------------------------------
* Si [tex]\Delta=0[/tex], soit si [tex] a =\frac 3 4[/tex], le polynôme est un carré :
[tex]x^2-x+1-\frac 3 4 <0 \;\Leftrightarrow\;x^2-x+\frac 1 4 <0 \;\Leftrightarrow\; \left(x - \frac 1 2\right)^2 < 0 [/tex]
ce qui est aussi impossible...
             ------------------------------
* Si [tex]\Delta >0[/tex] donc si [tex]a >\frac 3 4[/tex],
les solutions de l'équation [tex]x^2-x+1-a = 0[/tex]
sont :
[tex]x_1,x_2 =\frac{1\pm \sqrt{4a-3}}{2}[/tex]
je pose x₁< x₂...
D'où :
[tex]x_1=\frac{1- \sqrt{4a-3}}{2}\:\;;\;\;x_2=\frac{1+ \sqrt{4a-3}}{2}[/tex]

Le polynôme [tex]x^2-x+1-a [/tex] est du signe du coefficient de x² à l'extérieur des racines, du signe opposé entre les racines...
Soit <0 entre les racines x₁ et x₂.

Résumé.
Si [tex]a >\frac 3 4[/tex], on n'a [tex]x^2-x+1<a[/tex] que si x₁< x <x₂...

@+

jon83

Membre

Inscription : 13-10-2012

Messages : 5

Re : Inéquation du second degré

Merci pour ta réponse parfaitement détaillée...
Donc, en définitive, si j'ai bien compris, la réponse à la question est  a<=3/4 ?

yoshi

Modo Ferox

Inscription : 20-11-2005

Messages : 17 401

Re : Inéquation du second degré

Bonsoir,

Pas tout à fait, plus exactement : [tex]a < \frac 3 4[/tex]

Pour [tex]a = \frac 3 4[/tex], le polynôme [tex]x^2-x+1-a[/tex] est un carré : il est donc toujours positif (tu veux négatif).

@+

jon83

Membre

Inscription : 13-10-2012

Messages : 5

Re : Inéquation du second degré

En effet! Merci encore pour ton aide
Au revoir