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june06

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Devoir maison TS

Bonjour, j'ai un devoir maisons sur les suites (limites, minorées, majorées...) Je n'ai pas trop eu de problème mais pourriez vous me dire si ce que j'ai fais est juste s'il vous plait, merci d'avance

Exercice 1: Une suite de "Babylone"
La suite (u_n) est définie pour tout entier naturel n par :

u₀[tex]=4[/tex] et u_n+1[tex]=\frac{1}{2}\left(un+ \frac{9}{u_n}\right)[/tex]

1. Dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur [tex][0;+\infty[[/tex] par [tex]f(x)=\frac{1}{2}(x+ \frac{9}{x}[/tex]
2. Montrer par récurrence que la suite (u_n) est minorée par 3
3. Etudier le sens de variation de (u_n)
4. Déterminer la limite de (u_n)

Exercice 2: Problème de synthèse

1. La suite (u_n) est definie pour tout entier naturel n par :
u₀[tex]=2[/tex] et u_n+1[tex]=\frac{1}{3}un+\frac{23}{27}[/tex]

a) Démontrer que si la suite (u_n) est convergente, alors sa limite est [tex]l=\frac{23}{18}[/tex]
b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a u_n [tex]> \frac{23}{18}[/tex]
c) Etudier la monotonie de la suite (u_n) et donner sa limite

2. a) Soit n un entier naturel supérieur ou égale à 1

Démontrer que [tex]\sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{10^k}= \frac{1}{90}(1-\frac{1}{10^n})[/tex]

b) La suite (v_n) est définie par v_n[tex]=1.2777...7[/tex] avec n décimales consécutives égales à 7
Ainsi v₀=1.2 ; v₁=1.27 et v₂=1.277
En utilisant le a. démontrer que la limite de la suite (v_n) est un nombre rationnel r ( c'est à dire le quotient de deux entiers).

Exercice 1:

1) [tex]f(x)=u(x)v(x)[/tex] avec [tex]u(x)=\frac{1}{2}[/tex] et [tex]v(x)= x+\frac{9}{x}[/tex]

u est dérivable sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et [tex]u'(x)=0[/tex]
v est dérivable sur [tex]]0; +\infty [[/tex] et [tex]v'(x)=1-\frac{9}{x²}[/tex]

Donc f est dérivable sur [tex]]0; +\infty [[/tex] et [tex]f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)[/tex]
[tex]f'(x)=0(x+\frac{9}{x})+\frac{1}{2}(1-\frac{9}{x²})[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}-\frac{9}{2x²}[/tex]
[tex]=\frac{x²}{2x²}-\frac{9}{2x²}[/tex]
[tex]=\frac{(x-3)(x+3)}{2x²}[/tex]

Je traduit le tableau par des phrases:

(x-3) est négatif de 0 à 3, =0 lorsque x=3 et est positif de 3 à [tex]+\infty[/tex]
(x+3) est positif de 0 à [tex]+\infty[/tex]
(x+3)(x-3) est négatif de 0 à 3 et =0 lorsque x=3 et est positif de 3 à [tex]+\infty[/tex]
2x² est posotis de 0 à [tex]+\infty[/tex]
f'(x) est négatif de 0 à 3, =0 lorsque x=3 et est positif de 3 à [tex]+\infty[/tex]
Donc f est strictement décroissante sur [tex]]0;3[[/tex] et strictement croissante sur [tex]]3; +\infty[[/tex]

2) Soit la propriété P(n) : [tex]3\leqslant[/tex]  u_n pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]
Initialisation:
Si n=0 alors u₀=4 et [tex]3\leqslant4[/tex] donc P(0) est vraie

Hérédité:
On suppose qu'il existe un entier [tex]p \geqslant 0[/tex] tel que P(p) soit vraie, c'est a dire tel que [tex]3\leqslant[/tex] u_p
Montrons que P(p+1) est vraie, c'est a dire [tex]3\leqslant[/tex] u_p+1
On a [tex]3\leqslant[/tex] u_p donc [tex]\frac{1}{2}(up+\frac{9}{u_p}) \geqslant \frac{1}{2}(3+\frac{9}{3})[/tex] soit u_p+1 [tex]\geqslant 3[/tex]
Donc P(p+1) est vraie

Conclusion: La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire donc d'après le principe de récurrence, pour tout [tex]n \geqslant 0[/tex]; P(n) est vraie c'est a dire que l'on a u_n [tex]\geqslant 3[/tex] pour tout entier naturel n

u_n+1-u_n[tex]= \frac{1}{2}(un+\frac{9}{u_n}-[/tex]u_n
[tex]=\frac{u_n}{2}+\frac{9}{2u_n}-\frac{2un²}{2u_n}[/tex]
[tex]=\frac{un²+9-2un²}{2u_n}[/tex]
[tex]=\frac{9-un²}{2u_n}[/tex]
[tex]=\frac{(3+u_n)(3-u_n)}{2u_n}[/tex]

Or [tex](3+u_n) \geqslant 0[/tex] et [tex](3-u_n) \leqslant 0[/tex] (car u_n [tex]> 3[/tex]) donc u_n+1 [tex]\leqslant[/tex] u_n
Donc la suite (u_n) est décroissante

4) On sait que (u_n) est décroissante et qu'elle est minorée donc elle converge vers [tex]l[/tex]
On sait que [tex]\lim\nolimits_{n \to +\infty} u_n+1 = \lim\nolimits_{n \to +\infty} u_n = l[/tex]
Comme u_n+1 [tex]=\frac{1}{2}(un+\frac{9}{u_n})[/tex]
d'où [tex]l=\frac{1}{2}(l+\frac{9}{l})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2l=\frac{l²+9}{l}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow  2l²=l²+9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow l²=9[/tex]
[tex]\Leftrightarrow l=3[/tex]

Donc [tex]\lim\nolimits_{n \to +\infty} u_n =3[/tex]

Exercice 2:

1.a) On suppose que la suite (u_n) soit convergente vers [tex]l[/tex], comme la fonction [tex]f(x)=\frac{1}{3}x+\frac{23}{27}[/tex] est continue sur [tex]\mathbb{R}[/tex], la suite (f(u_n)) converge vers [tex]f(l)[/tex] et on a donc [tex]f(l)=l[/tex]
[tex]f(l)=l \Leftrightarrow \frac{1}{3}l+\frac{23}{27}=l[/tex]
[tex]\Leftrightarrow l(\frac{1}{3}-1)=-\frac{23}{27}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow l=\frac{23}{27} \times \frac{3}{2}=\frac{23}{18}[/tex]

b) On note P(n): u_n [tex]> \frac{23}{18}[/tex]
Initialisation:
Si [tex]n=0[/tex] alors u₀[tex]=2 > \frac{23}{18}[/tex] donc P(0) est vraie

Hérédité:
On suppose qu'il existe un entier [tex]p \geqslant 0[/tex] tel que P(p) soit vraie c'est a dire u_p [tex]> \frac{23}{18}[/tex]
Montrons que P(p+1) est vraie c'est à dire u_p+1 [tex]> \frac{23}{18}[/tex]

u_p [tex]> \frac{23}{18}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{3}up > \frac{23}{54}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{3}up +\frac{23}{27}> \frac{23}{18}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow up+1 > \frac{23}{18}[/tex]

Donc P(p+1) est vraie

Conclusion: La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire donc pour tout entier natureln, on a u_n [tex]> \frac{23}{18}[/tex]

De plus u_n [tex]\geqslant \frac{23}{18} \Leftrightarrow -\frac{2}{3}un \leqslant -\frac{46}{54}[/tex]
u_n[tex] \geqslant \frac{23}{18} \Leftrightarrow -\frac{2}{3}un +\frac{23}{27}\leqslant -\frac{46}{54}+\frac{23}{27}[/tex]

u_n [tex]\geqslant \frac{23}{18} \Leftrightarrow -\frac{2}{3}un +\frac{23}{27}\leqslant \frac{-46+46}{54}[/tex]
u_n [tex]\geqslant \frac{23}{18} \Leftrightarrow -\frac{2}{3}un +\frac{23}{27}\leqslant 0[/tex]

Par conséquent pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], u_n+1 [tex]\leqslant[/tex] u_n et donc la suite est décroissante
Comme la suite est minorée elle est donc convergente
Si la suite est convergente alors sa limite est [tex]\frac{23}{18}[/tex] (démontrer dans les questions précédentes)
Donc [tex]\lim\limits_{n \to +\infty} u_n =\frac{23}{18}[/tex]

2.a) On pose w_n[tex]= \frac{1}{10^n}[/tex], la suite (w_n) est une suite géométrique de raison [tex]\frac{1}{10}[/tex] et de premier terme 1

Ainsi la somme de n termes suivant vaut
[tex]\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...+\frac{1}{10^n+1}[/tex]
[tex]=\frac{1}{10^2} \times \frac{1-\frac{1}{10^n}}{1-\frac{1}{10}}[/tex]
[tex]=\frac{1}{100} \times \frac{1-\frac{1}{10^n}}{\frac{90}{100}}[/tex]
[tex]=\frac{1}{90} \times (1-\frac{1}{10^n})[/tex]

b) On a v₀=1.2
v₁=v₀[tex]+0.07=1.2+0.07=1.2+7\times\frac{1}{100}=1.2+7\times \frac{1}{10^2}[/tex]
v₂=v₀[tex]+7\times 0.01+7\times 0.01=1.2+7\times (\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3})[/tex]

Pour [tex]n \geqslant 2[/tex] on a v_n[tex]=1.2+7(\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...+\frac{1}{10^{n+1}}[/tex]

Donc d'après la question précédente
v_n[tex]=1.2+7(\frac{1}{90} \times (1-\frac{1}{10^n}))[/tex]

Comme [tex]\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{10^n}=0[/tex]
On a [tex]\lim\limits_{n \to +\infty}[/tex] v_n[tex]= 1.2 +7\times \frac{1}{90}=1.2+\frac{7}{90}[/tex]
[tex]=\frac{12}{10}+\frac{7}{90}[/tex]
[tex]=\frac{108+7}{90}[/tex]
[tex]=\frac{115}{90}=\frac{23}{18}[/tex]

Merci d'avance :)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Devoir maison TS

Bonjour,

Beau travail encore...
Là, j'aurais rajouté une étape :

u_p [tex]> \frac{23}{18}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{3}up > \frac{23}{54}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{3}up +\frac{23}{27}> \frac{23}{54}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow up+1 > \frac{23}{18}[/tex]
Donc P(p+1) est vraie

J'aurais écrit :

[tex]U_p > \frac{23}{18}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{3}U_p > \frac{23}{54}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{1}{3}U_p +\frac{23}{27}> \frac{23}{54}+\frac{23}{27}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow up+1 > \frac{69}{54}[/tex]
Soit, en simplifiant la fraction par 3 :
[tex]\Leftrightarrow U_{p+1} > \frac{23}{18}[/tex]

D'autre part le mélange de = et [tex]\geq[/tex] sur une même ligne n'est pas très "heureux" (à éviter)

c) u_n+1-u_n[tex]= \frac{1}{3}un +\frac{23}{27}-[/tex]u_n
D'où :
[tex]-\frac{2}{3}un +\frac{23}{27} \geqslant -\frac{2}{3} \times \frac{23}{18}+\frac{23}{27}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -\frac{2}{3}un +\frac{23}{27} \geqslant -\frac{-46+46}{54} \geqslant 0[/tex]]

Ecris plutôt :

c) u_n+1-u_n[tex]= \frac{1}{3}U_n +\frac{23}{27}-U_n=-\frac{2}{3}U_n +\frac{23}{27}[/tex]

D'où, puisque [tex]U_n\geq \frac {23}{18}[/tex] :

[tex]-\frac{2}{3}U_n +\frac{23}{27} \geqslant -\frac{2}{3} \times \frac{23}{18}+\frac{23}{27}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow-\frac{2}{3}un +\frac{23}{27} \geqslant -\frac{-46+46}{54} \geqslant 0[/tex]

Autre chose qui me gêne :
Tu poses [tex]W_n = \frac{1}{10^n}[/tex]
Pas de problème.
1er terme 1 et raison [tex]\frac{1}{10}[/tex] ok encore !
Après tu considères la somme :
[tex]\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\cdots+\frac{1}{10^{n+1}}[/tex]
Tu as donc
[tex]W_0 = 1[/tex] et [tex]S_0=\sum_{k=0}^{n+1} W_k=1+\frac{1}{10}+ \frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\cdots+\frac{1}{10^{n+1}}[/tex]

Mais ta somme, c'est la somme des n premiers termes de la suite avec  1er terme [tex]\frac{1}{10^2}[/tex] et de raison [tex]\frac{1}{10}[/tex], il faudrait le préciser...

@+

june06

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Re : Devoir maison TS

Merci beaucoup
A bientot :)