Devoir maison TS

june06 · 15-09-2012 14:12:06

Bonjour, j'ai un devoir maison sur les suites, pourriez vous m'aider car je suis bloquer a partir de la 4.c question et le reste, pourriez vous aussi me dire si mes résultats sont correctes, merci d'avance :)

On considère la suite (u_n) définie sur [tex]\mathbb{N}[/tex] par u₀[tex]=-1[/tex] ; u₁[tex]= \frac{1}{2}[/tex] et u_n+2[tex]=[/tex]u_n+1[tex]-\frac{1}{4}[/tex]u_n

Problème 1: Existe-t-il une expression de u_n en fonction de n ?
Problème 2: Ecrire un algorithme permettant de determiner la plus petite valeur de n [tex](n\geqslant1)[/tex] telle que u_n[tex]\leqslant M[/tex] où M est un réel donné ?

1. a) Calculer u₂, u₃, u₄ et u₅
b) La suite (u_n) est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier

2. On définit la suite (v_n) en posant pour tout entier naturel n: v_n[tex]=[/tex]u_n+1[tex]-\frac{1}{2}[/tex]u_n
a) Calculer v₀
b) Exprimer v_n+1 en fonction de v_n
c) En déduire que la suite (v_n) est géométrique de raison [tex]\frac{1}{2}[/tex]
d) Exprimer v_n en fonction de n

3. On définit la suite (w_n) en posant pour tout entier naturel n : w_n[tex]=\frac{u_n}{v_n}[/tex]
a) Calculer w₀
b) En utilisant l'égalité u_n+1[tex]=v_n+\frac{1}{2}u_n[/tex], exprimer w_n+1 en fonction de u_n et de v_n
c) En déduire que pour tout entier n, w_n+1[tex]=[/tex] w_n[tex]+2[/tex]. Donner la nature de la suite (w_n)
d) Exprimer w_n en fonction de n

4. a) Montrer que la solution de problème 1 est: pour tout entier n, u_n[tex]= \frac{2n-1}{2^n}[/tex]
b) A-t-on u₁₃[tex]<10^-3[/tex] ?
c) Existe-t-il une valeur de n [tex](n\geqslant1)[/tex] telle que u_n[tex]\leqslant 10^-7[/tex] ?

5. On considère l'algorithme suivant :

Variables
n entier naturel
u un nombre réel
Début
n prend la valeur [tex]1[/tex]
u prend la valeur [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Tant que [tex]u>10^-7[/tex]
n prend la valeur [tex]n+1[/tex]
u prend la valeur [tex]\frac{2n-1}{2^n}[/tex]
Fin tant que
Afficher n
Fin

a) Quelle est la valeur affichée par cet algorithme ? que représente cette valeur pour la suite (u_n) ?
b) Modifier cet algorithme pour qu'il affiche la plus petite valeur de n telle que u_n [tex]\leqslant M[/tex] où M sera lu dans l'algorithme.
c) Taper cet algorithme sur algobox ou sur la calculatrice et determiner la plus petite valeur de n [tex](n\geqslant1)[/tex] telle que u_n[tex]\leqslant 10^-10[/tex]

Pour taper l'algorithme pourriez vous me dire ce que je dois écrire dans ma calculette car je ne sais vraiment pas le faire Merci beaucoup

1. a) u₂[tex]=[/tex]u₁[tex]-\frac{1}{4}[/tex]u₀[tex]= \frac{1}{2}-\frac{1}{4}*(-1)= \frac{3}{4}[/tex]
u₃[tex]=[/tex]u₂[tex]-\frac{1}{4}[/tex]u₁[tex]= \frac{3}{4}-\frac{1}{4}*\frac{1}{2}= \frac{5}{8}[/tex]
u₄[tex]=[/tex]u₃[tex]-\frac{1}{4}[/tex]u₂[tex]= \frac{5}{8}-\frac{1}{4}*\frac{3}{4}= \frac{7}{16}[/tex]
u₅[tex]=[/tex]u₄[tex]-\frac{1}{4}[/tex]u₃[tex]= \frac{7}{16}-\frac{1}{4}*\frac{5}{8}= \frac{9}{32}[/tex]

b) u₃[tex]-[/tex]u₂[tex]= \frac{5}{8}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{8}[/tex]
u₄[tex]-[/tex]u₃[tex]= \frac{7}{16}-\frac{5}{8}=-\frac{3}{16}[/tex]

Comme u₃[tex]-[/tex]u₂ [tex]\neq[/tex] u₄[tex]-[/tex]u₃ alors la suite (u_n) n'est pas arithmétique

[tex]\frac{u_3}{u_2}= \frac{\frac{5}{8}}{\frac{3}{4}}= \frac{5}{6}[/tex]
[tex]\frac{u_4}{u_3}= \frac{\frac{7}{16}}{\frac{5}{8}}= \frac{7}{10}[/tex]

Comme [tex]\frac{u_3}{u_2} \neq \frac{u_4}{u_3}[/tex] alors la suite [tex](u_n)[/tex] n'est pas géométrique

2. a) [tex]v_0=[/tex] u₁[tex]-\frac{1}{2}[/tex]u₀[tex]=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}*(-1)=1[/tex]

b)v_n+1=u_n+2[tex]-\frac{1}{2}[/tex]u_n+1
= u_n+1[tex]-\frac{1}{4}[/tex]u_n[tex]-\frac{1}{2}[/tex]u_n+1
=u_n+1[tex](1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}[/tex]u_n
=[tex]\frac{1}{2}[/tex]u_n+1[tex]-\frac{1}{4}[/tex]u_n
=[tex]\frac{1}{2}([/tex]u_n+1[tex]-\frac{1}{2}[/tex]u_n[tex])[/tex]
=[tex]\frac{1}{2}*[/tex]v_n

c) Comme v_n+1[tex]=\frac{1}{2}*[/tex]v_n , on en déduit que la suite v est géométrique de raison [tex]q=\frac{1}{2}[/tex] et de premier terme v₀[tex]=1[/tex]

d) v_n=v₀[tex]*q^n= 1*(\frac{1}{2})^n=\frac{1}{2^n}[/tex]

3. a) w₀[tex]= \frac{u_0}{v_0}=\frac{-1}{1}=-1[/tex]

b) Pour tout entier n:

w_n+1[tex]= \frac{u_n+1}{v_n+1}[/tex]
[tex]=\frac{vn+\frac{1}{2}un}{\frac{1}{2}vn}[/tex]
[tex]=\frac{2vn+un}{vn}[/tex]
[tex]=2+\frac{u_n}{v_n}[/tex]

c) On a pour tout entier n:
w_n+1=w_n[tex]+2[/tex]

On en déduit que la suite w est arithmétique de raison [tex]r=2[/tex] car v_n+1 est de la forme v_n+r avec r constante et de premier terme w₀[tex]=-1[/tex]

d) Pour tout entier n:
w_n=w₀[tex]+rn=-1+2n[/tex]

4. a) On a pour tout entier n:
u_n[tex]=w_n*v_n= \frac{(-1+2n)*1}{2^n}= \frac{-1+2n}{2^n}= \frac{2n-1}{2^n}[/tex]

b)u₁₃ [tex]= \frac{2*13-1}{2^13}[/tex][tex]=\frac{25}{8192}[/tex][tex]=3.05*10^-3<10-3[/tex]

c) je bloque pourriez vous m'aider

5. a) Cet algorithme affiche la valeur de n telle que u_n [tex]\leqslant 10^-7[/tex]. Je ne sais pas ce que représente cette valeur pour la suite

Et voilà après je bloque car je ne suis pas très forte pour les algorithmes.

Merci d'avance :)

yoshi · 15-09-2012 15:59:23

Bonjour,

Beau boulot !
Question 4.c
La réponse est oui, parce que
1. On te demande de calculer n dans Q5 (n=30)
2. Mais, la justification précédente n'est là que pour avoir une idée de la réponse...
Tu n'as qu'à considérer la fonction f telle que [tex]f(x)=\frac{2x-1}{2^x}\; sur\;[1\;;\;+\infty[[/tex]pour constater (montrer) qu'elle est strictement décroissante (sur l'intervalle), par valeurs positives et qu'elle tend vers 0...
Après, tu peux répondre...

Q5
Pour ce que tu dois rentrer dans ta calculette, ça va dépendre de la marque et du type de ta calculatrice...
Mais, je ne pense pas que ce soit nécessaire.
As-tu déjà vu le langage AlgoBox ? Parce qu'on peut le faire avec tout de suite avec. Il est prévu pour s'installer sur les ordinateurs : on le voit dès la 2nde.

@+

june06 · 15-09-2012 16:13:50

Merci beaucoup, et non je n'ai jamais utiliser ce logiciel, et en ce qui concerne de modifier l'algorithme comment je peux faire car je ne comprend pas

yoshi · 15-09-2012 17:26:06

Bonjour,

J'avais raison (je ne l'avais pas vu), tu peux utiliser la calculette mais aussi AlgoBox, langage avec lequel la transcription de l'Algorithme est immédiate : tous les mots-clés en gras y figurent...
Pour faire ça à la calculette, il nous faut savoir :
- la marque de ta calculette CASIO, TEXAS, autre...
- le modèle Graph25, Graph 35, TI 84+, TI 89, TI N'Spire, autre...

Tu peux trouver AlgoBox ici r(version Windows) :
http://www.xm1math.net/algobox/algoboxwin32_install.exe : c'est gratuit...
Le manuel d'utilisation est ici :
http://www.xm1math.net/algobox/doc.html

Pour Modifier l'Algorithme
1. Déclarer une variable supplémentaire : M
2. Après Début et l'affectation de la valeur 1 à n, et 0.5 à u, tu as besoin d'une Nouvelle ligne sur laquelle tu affectes à la la variable M la valeur [tex]10^{-10}[/tex], c'est à dire avec AlgoBox soit pow(10,-10), soit 0.0000000001 (au choix)
3. Tu modifies la ligne Tant que u>10^{-7} en Tant que u>M...
Le reste est inchangé...

Si par "la plus petite valeur de n telle que un ⩽M où M sera lu dans l'algorithme", ton Prof veut dire comme l'entend AlgoBox) que tu dois rentrer toi la valeur de M qui te sera demandée par le programme quand il sera lancé, avec Algobox au lieu d'écrire M=pow(10,-10), tu choisis LIRE M qui te demandera d'entrer la valeur de M.

Que représente cette valeur de n (avec [tex]u>10{-7}[/tex]) pour la suite Un ?
n, c'est l'indice de la suite...
J'ai trouvé (on ne te le demande pas) n=30, J'en conclus que [tex]U_{30} \leq 10^{-7}[/tex], 30, c'est la plus petite valeur de n pour que [tex]U_n \leq 10^{-7}[/tex]
C'est pourquoi l'algorithme continue à augmenter n de 1 puis à calculer Un tant que [tex]U_n>10^{-7}[/tex]

T'as tout pigé ?

@+

[EDIT]
Si tu te lances dans AlgoBox
1. C'est très simple d'emplo
2. Je te guiderai pas à pasi

Dernière modification par yoshi (16-09-2012 10:32:45)

june06 · 16-09-2012 13:16:24

Bonjour et merci, cependant je ne comprend pas pour la question 4.c) il faut faire une inéquation je pense mais je suis bloquée.
Ensuite pour la question 5 j'ai essayé de faire un algorithme mais je ne suis pas sure qu'il soit juste.

5.a) Cet algorithme affiche la valeur de n telle que u_n [tex]\leqslant 10^-7[/tex]
Cette valeur est la plus petite valeur de n pour que u_n [tex]\leqslant 10^-7[/tex]

b) Variables
n entier naturel
u un nombre réel
M un nombre réel
Début
n prend la valeur [tex]1[/tex]
u prend la valeur [tex]\frac{1}{2}[/tex]
M prend la valeur [tex]10^-10[/tex]
Tant que [tex]u < M[/tex]
n prend la valeur [tex]n+1[/tex]
u prend la valeur [tex]\frac{2n+1}{2^n}[/tex]
Fin tant que
Afficher n
Fin

Ensuite pour la question finale j'ai une calculatrice casio graph 35

Merci d'avance :)

yoshi · 16-09-2012 14:30:01

Bonjour,

Oui, l'algorithme modifié est exact (malgré quelques erreurs de transcription)...
Avec AlgoBox, tu aurais juste besoin de sélectionner ligne après ligne et de cliquer sur Nouvelle variable, choisir la lettre et son type (nombre, chaine, liste)
après entre début et tant que, on intercale les valeurs initiales des variables.
Variables
n entier naturel
u un nombre réel
M un nombre réel

Début
n prend la valeur 1
u prend la valeur 1/2
M prend la valeur pow(10,−10)
Tant que u>M
n prend la valeur n+1
u prend la valeur (2n-1)/2ⁿ
Fin tant que

Afficher u (ajout personnel pour être sûr que j'ai bien [tex]u<10^{-10}[/tex])
Afficher n
Fin

Au départ AlgoBox te propose cette structure que tu dois enrichir :
|-- Variables
|-- Début algorithme
|-- Fin algorithme

Au passage, AlgoBox ne fait pas la différence entre nombre entier et nombre réel : ce sont des nombres, point-barre ! donc ton prof devait avoir de vagues souvenirs d'AlgoBox, à cause de la distinction qu'il fait entre ces deux types et qu'il suggère AlgoBox...

Pour la 4.c, tu dis qu'il faut résoudre une inéquation : c'est un bon réflexe, mais même en TS on n'a pas les moyens de la résoudre...
Donc non ! de plus, si tu tu lis entre les lignes : il y a ce qui est dit et ce qui n'est pas dit...
En effet, on te demande s'il existe un nombre n tel que Un < 10^-7, pas quel est ce nombre n ! et pour cause...

Je t'ai suggéré la fonction f tq [tex]f(x)=\frac{2x-1}{2^x}[/tex] sur [1\;;\;+\infty[ et montrer qu'elle est décroissante
Mais tu peux tester [tex]\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\frac{2(n+1)-1}{2^{n+1}}} {\frac{2n-1}{2^n}}[/tex]
[tex]\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{2n+1}{2(2n-1)}[/tex] et montrer que ce quotient est <1 quel que soit n >=1...
Tu peux en déduire que la suite est décroissante...
De plus 2n-1 > 0 et 2^n > 0 quel que soit n >= 1, ta suite est donc toujours positive.
De ces 2 observations, je conclus qu'il existe un nombre n tel que Un < 10^-7...

Alors, pour algobox, l'aide serait immédiate, pour la GRAPH 35, il va falloir que je trouve le mode d'emploi à télécharger.

En tout état de cause, pour rentrer dans le mode programmation de ta calculatrice, il te faut appuyer sur la case PRGM de ton écran...

@+

[EDIT]
Je ne suis pas chez moi et je n'ai pas la Graph35 ni ici, ni chez moi. J'ai trouvé la manuel.
La case PRGM est la dernière de la 1ere colonne quand tu as le MAIN MENU à l'écran.
Tu vas rentrer dans le mode programmation.
Tu vas choisir New (Nouveau prgm) et tu vas lui donner un nom
Après examen rapide, je n'ai pas trouvé de trace de déclaration du type de variables naturel/réel (on retrouve ça dans certains langages C, C++, VB, Pascal, Delphi, mais par ex en Python déclarer le type de variables est inutile)

Pour affecter une valeur à une variable, par ex 1 à n :
1 --> Alpha n
La commande d'affichage est un triangle rectangle noir, hypoténuse vers la gauche et qui "monte" en allant de G à D)...
La commande Tant que c'est while...
Tu dois faire avec le chapitre 20 du manuel : Programmation...
Ça va pas être de la tarte...

Dernière modification par yoshi (16-09-2012 16:06:23)

june06 · 17-09-2012 17:14:10

Merci beaucoup, j'ai compris, pour la question 5)c. je trouve 40, ensuite ma prof m'a dit qu'il y avait une récurrence a faire ( on vient juste de l'apprendre et je n'y arrive pas) je pense que c'est la question 4c j'ai tord ?

Merci d'avance

yoshi · 17-09-2012 19:56:01

Bonsoir,

Bravo !
40, oui, c'est bon. T'as fait avec AlgoBox ou ta Calculatrice ?

Je pense qu'effectivement, il s'agit de la question 4c.
Utiliser la "récurrence" se fait en 3 étapes :
1. Vérifier que la propriété est vraie pour des valeurs simples de n (pas besoin d'une dizaine , 2 ou 3 suffisent)
2. Supposer que la propriété est vraie pour n
3. Prouver la transmission de l'héritage, autrement dit partir de la formule supposée être vraie pour n, et montrer qu'elle l'est également pour n+1

Donc tu dois utiliser une "récurrence" pour arriver à montrer qu'il existe un n tel que U_n <=10^-7...
Ça m'avait traversé l'esprit, j'ai mon idée sur quelle partie de la Q4c utiliser une récurrence, mais je n'ai pas de certitude.

Pour moi, elle doit servir à montrer que la suite est strictement décroissante et comme c'est une suite à termes positifs, elle est bornée par 0 et elle admet donc une limite qui est 0.
Donc, oui, il y aura une valeur de U (et donc de n) telle que U_n <=10^-7...

Maintenant j'ai peut-être tort et comme je viens de faire 450 km, je ne vois pas comment je pourrais utiliser la récurrence en dehors de ma proposition : mon cerveau n'est plus au top ce soir...

Si quelqu'un a une autre idée...

@+

yoshi · 18-09-2012 07:08:26

Bonjour,

Avec les idées plus claires, je reviens sur ma proposition d'hier : totalement artificielle et très difficile à mettre en œuvre.
La récurrence ne doit sûrement pas servir comme je l'ai proposé §
Ce doit être autre chose...
Mais là comme ça, je ne vois pas : c'est la première fois que je rencontre l'utilisation d'une récurrence dans ce type d'exercices : je continue à réfléchir...

@+

freddy · 18-09-2012 08:50:50

Salut,

je ne vois pas non plus où se trouve l'usage d'une récurrence. Quant à la question 4.c, pour l'existence de [tex]n[/tex] tq [tex]u_n \lt 10^{-7}[/tex], je verrais plutôt l'utilisation de la monotonie et du changement de signe de [tex]u_n - 10^{-7}[/tex] pour le prouver.

Yoshi ?

yoshi · 18-09-2012 09:27:54

Re;

freddy a écrit :

je ne vois pas non plus où se trouve l'usage d'une récurrence.

Aaaahhh !!! freddy, tu me rassures...

Pour la monotonie, c'est ce que je proposais : montrer que la suite est strictement décroissante par valeurs positives et bornée par 0...
[tex]U_n-10^{-7}=\frac{2n-1}{2^n}-10^{-7}[/tex]
Tu fais comment pour trouver le n du changement de signe ? Tu vas te retrouver à devoir résoudre qq ch dans le genre n<f(n) à cause de la présence de la puissance...
Non ?

Maintenant, le prof a dit de "récurrer", il doit bien y avoir un biais... Je me concentre là-dessus maintenant.

@+

yoshi · 18-09-2012 09:56:53

Re

Me revoilou...
Nan ! Nan ! Pas trouvé la récurrence, mais pour la monotonie, j'ai trouvé plus simple que mes propositions précédentes...
En effet
1. [tex]U_n=\frac{2n-1}{2^n}[/tex]
a) [tex]2^n>0\; \forall n[/tex]
b) [tex] 2n-1 >0 \;\forall n>\frac 1 2[/tex], donc on a bien [tex] 2n-1 >0 \;\forall n \geq 1[/tex]
D'où [tex]U_n > 0 \;\forall n \geq 1[/tex]
2. [tex]\forall n \geq 1\;:\;U_{n+1}=U_n-\frac 1 4 U_{n-1}\;\Leftrightarrow U_{n+1}-U_n=-\frac 1 4 U_{n-1}[/tex]
Donc [tex]U_{n+1}-U_n< 0\;\forall n \geq 1[/tex]

Donc la suite est strictement décroissante pour tout n>=1 et minorée par 0

@+

Fred · 19-09-2012 10:50:38

Bonjour,

Je reviens un peu sur la question 4)c) (merci Yoshi d'avoir attiré mon attention dessus).
Je crois qu'on est d'accord sur un point : il faut démontrer que la suite tend vers 0.

A ce stade de ton cours, c'est encore un peu difficile (ce sera plus facile dans quelques mois).
Je te propose de démontrer, par récurrence sur n, la propriété suivante :
[tex]u_n\leq \frac 1{2^{n-2}}[/tex]

On initialise la récurrence en vérifiant que la propriété est vraie pour n=1. Mais
[tex]u_1=\frac{1}{4}\leq \frac 1{2^{-1}}=2.[/tex]

Voici maintenant l'hérédité. Soit n un entier tel que la propriété est vraie. Alors, il est facile de vérifier
(j'espère ne pas avoir fait d'erreur de calcul!) que
[tex]u_{n+1}=\frac 12 u_n+\frac{1}{2^n}.[/tex]
On en déduit
[tex]u_{n+1}\leq \frac{1}{2}\times \frac{1}{2^{n-2}}+\frac1{2^n}\leq\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{(n+1)-2}}.[/tex]
La propriété est donc vraie au rang n+1.

Par l'axiome de récurrence, on en déduit que la propriété est vraie à tout rang n.

On a donc, pour chaque entier n,
[tex]0\leq u_n\leq \frac 4{2^n}[/tex]

Par le théorème d'encadrement, la suite [tex](u_n)[/tex] tend vers 0, ce qui entraîne l'existence
de cet entier n.

Fred.

yoshi · 19-09-2012 11:01:38

Salut Fred,

Wow... c'était siouxxx...
Ça ne m'avait pas vraiment effleuré !
Et je dois croire que des TS qui viennent de découvrir la récurrence sauraient "sucer ça de leur pouce" sans être guidés?
Bin, désolé, ça me surprendrait beaucoup, beaucoup, beaucoup... Ou alors, j'ai beaucoup, beaucoup, beaucoup baissé dans mes capacités de jugement.

@+

Merci !

june06 · 19-09-2012 13:44:46

Bonjour et excusez moi du retard, je n'ai donc pas fait avec la récurrence, j'ai demandé à mes camarades et ils n'ont rien justifié ils ont fait avec la calculette donc j'ai fais pareil, je viens d'avoir la correction effectivement il ne fallait rien justifier juste dire que n=30 pour la question 4c

Merci beaucoup pour votre aide
A bientot :)

yoshi · 19-09-2012 15:14:41

B'jour,

effectivement il ne fallait rien justifier juste dire que n=30 pour la question 4c

Happy end...
Bon, voilà qui m'inspire quelques remarques assassines :
1. Dans ce cas, pourquoi avoir évoqué la piste de la récurrence ?
2. La formulation de la question est à revoir.
3. Mon conditionnement antérieur me conduit à regimber fortement : on fait mumuse avec la calculette et hop ! Emballez, c'est pesé !

Hey june ;-) toi, tu n'y es pour rien...

@+

freddy · 20-09-2012 14:58:26

yoshi a écrit :

Salut Fred,
Wow... c'était siouxxx...
Ça ne m'avait pas vraiment effleuré !
Et je dois croire que des TS qui viennent de découvrir la récurrence sauraient "sucer ça de leur pouce" sans être guidés?
Bin, désolé, ça me surprendrait beaucoup, beaucoup, beaucoup... Ou alors, j'ai beaucoup, beaucoup, beaucoup baissé dans mes capacités de jugement.
@+
Merci !

salut,
Je pense comme toi et je pense surtout qu'on aurait introduit une question intermédiaire pour suggérer cette subtile subtilité réservée au high level ...

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 15-09-2012 14:12:06

Devoir maison TS

#2 15-09-2012 15:59:23

Re : Devoir maison TS

#3 15-09-2012 16:13:50

Re : Devoir maison TS

#4 15-09-2012 17:26:06

Re : Devoir maison TS

#5 16-09-2012 13:16:24

Re : Devoir maison TS

#6 16-09-2012 14:30:01

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#7 17-09-2012 17:14:10

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#8 17-09-2012 19:56:01

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#9 18-09-2012 07:08:26

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#10 18-09-2012 08:50:50

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#11 18-09-2012 09:27:54

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#13 19-09-2012 10:50:38

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#14 19-09-2012 11:01:38

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#17 20-09-2012 14:58:26

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