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june06

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Devoir maison suites

Bonjour tout le monde, j'espère que vous avez passé de bonnes vacances, c'est la rentrée et j'ai déjà un devoir maison, je bloque pour la dernière question, je suis maintenant en terminale S, c'est un exercice sur les suites pour nous remettre dans le bain sauf que meme en regardant mes cahiers de première je bloque pour cette question, en meme temps pourriez vous me dire si j'ai juste, merci d'avance

Soit (u_n) une suite definie sur [tex]\mathbb{N}[/tex] par u₀=1 et u_n+1=[tex]\frac{2Un}{2+3Un}[/tex]

1) Calculer u₁ et u₂
2) La suite (u_n) est-elle arithmétique ?
3) On suppose que pour tout entier n, u_n [tex]\neq 0[/tex] et on definit la suite v par v_n= [tex]\frac{1}{Un}[/tex]
    a. Montrer que la suite v est arithmétique et donner ses elements caractéristiques.
    b. Donner l'expression de v_n en fonction de n.
    c. En déduire l'expression de u_n en fonction de n
4) Etudier la monotonie de la suite u.

1) u₁=[tex]\frac{2\times 1}{2+3\times 1}=\frac{2}{5}[/tex]
    u₂=[tex]\frac{2\times \frac{2}{5}}{2+3\times \frac{2}{5}}=\frac{1}{4}[/tex]

2) u₁-u₀= [tex]\frac{2}{5}-1=\frac{-3}{5}[/tex]
    u₂-u₁=[tex]\frac{1}{4}-\frac{2}{5}=\frac{-3}{20}[/tex]
Comme u₁-u₀ [tex]\neq[/tex] u₂-u₁ alors la suite (u_n) n'est pas arithmétique

3)a. Pour tout entier n:
v_n+1-v_n=[tex]\frac{1}{Un+1}-\frac{1}{Un}[/tex]
[tex]=\frac{1}{\frac{2Un}{2+3Un}}-\frac{1}{Un}[/tex]

[tex]=\frac{2+3Un}{2Un}-\frac{1}{Un}[/tex]

[tex]=\frac{2+3Un}{2Un}-\frac{2}{2Un}[/tex]

[tex]=\frac{3Un}{2Un}[/tex]

[tex]=\frac{3}{2}[/tex]

Comme v_n+1-v_n est constant pour tout entier n, alors la suite (v_n) est arithmétique de raison r=[tex]\frac{3}{2}[/tex] et de premier terme v₀=1

b. v_n= v₀+rn=[tex]1+\frac{3}{2}n[/tex] pour tout entier n [tex]\in \mathbb{N}[/tex]

c. On sait que v_n= [tex]\frac{1}{Un}[/tex] donc u_n= [tex]\frac{1}{Vn}[/tex]
u_n=[tex]\frac{1}{1+\frac{3}{2}n}[/tex]

Pour la question 4 j'ai essayé la différence mais vers la fin ca me donne des quotient dans des quotient, quelque chose dont je ne vois pas comment je peux factoriser.

Merci d'avance

yoshi

Modo Ferox

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Re : Devoir maison suites

Bonjour,

Q 1 à 3... C'est bon
Pour la Q4
Tu as essayé la soustraction ok !
Et le quotient [tex]\frac{U_{n+1}}{U_n}[/tex] ?

Tu aboutiras à une fonction f(n) dont tu chercheras pour quelle(s) condition(s) sur n, on a [tex]f(n)\geq 1[/tex]...
Sachant que f(n+1)>f(n) quel que soit n, tu en concluras aisément que ta suite est monotone (strictement décroissante)...

Un point de détail : le symbole multiplié par, en LaTeX, s'obtient avec \times : [tex]\times[/tex] et non x qui affiche le symbole [tex]x[/tex]
@+

Fred

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Re : Devoir maison suites

Re-

  Je me mèle un peu de la discussion, mais je crois que la différence donne bien la monotonie de la suite.
En effet, tu as prouvé que
[tex]u_n=\frac1{1+\frac32 n}[/tex] et donc
[tex]u_{n+1}-u_n=\frac{1+\frac 32 n-\left(1+\frac32(n+1)\right)}{XXX}[/tex]
où [tex]XXX[/tex] est une expression dont je me fiche de la valeur, mais qui est positive.
Le dénominateur se simplifie facilement, non???

Fred.

yoshi

Modo Ferox

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Re : Devoir maison suites

Re,

Je n'avais même pas essayé cette soustraction, mon quotient marchant...
La soustraction est peut-être un (petit) poil plus simple.

@+

june06

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Re : Devoir maison suites

Bonjour et merci. J'ai fais avec la fonction et je trouve bien qu'elle est décroissante

u_n[tex]=\frac{1}{1+\frac{3}{2}n}=f(n)[/tex] avec [tex]f:x\mapsto \frac{1}{1+\frac{3}{2}x}=\frac{1}{w(x)}[/tex]
et [tex]w(x)=1+\frac{3}{2}x[/tex] sur [tex]\mathbb{R}*[/tex] ; [tex]w(x) >0[/tex]
De plus [tex]w[/tex] est strictement croissante (taux d'accroissement positif (1)) alors [tex]f[/tex] est strictement décroissante car pour tout [tex]x[/tex] de [tex]\mathbb{R}*[/tex], [tex]w(x) \neq 0[/tex]  et la fonction [tex]f[/tex] à le sens de variation contraire de celui de [tex]w[/tex] car c'est la fonction inverse.

Donc la suite (u_n) est monotone.

Merci d'avance

yoshi

Modo Ferox

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Re : Devoir maison suites

Ave,

C'est bien...
Mais là tu te compliques un peu la tâche : tu as, en gros, la fonction 1/x dont on sait (résultat acquis) qu'elle elle est décroissante sur ]0 + oo[ donc ici sur [tex]\left]-\frac 2 3\;;\;+\infty\right[[/tex] donc enfin sur [0 ; +oo[...

Sinon, oui, c'est encore plus court.

@+

june06

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Re : Devoir maison suites

Merci beaucoup :)

A bientot