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Raah

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Formules de duplication (2)

Rebonjour, j'aurais encore besoin d'un petit coup de pouce pour un dernier exercice s'il vous plait :)

1)  x désigne un réel. Démontrer que :

cos (3x) = 4cos^3x - 3 cosx

2)   Résoudre dabs [0; 2π[ l'équation cos (3x) = 0

Pour la 1, on sait que cos (3x) = cos (2x + x)
Je suis censée développer?

Merci d'avance pour votre aide!

yoshi

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Re : Formules de duplication (2)

Re,

Oui.
[tex]\cos 3x = \cos(2x+x) = \cos 2x \cos x -\sin 2x sin x = (2\cos^2 x -1) \cos x - 2 \sin x \cos x  \sin x[/tex]
et tu remplaces ensuite [tex]\sin^2 x[/tex]  ( il y a 2 sinus dans le 2nd priduit)  par  [tex]1 -\cos^2 x[/tex]
Tu développes, tu réduis et le tour est joué...

@+

Raah

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Re : Formules de duplication (2)

Je ne comprends pas comment on passe de :

[tex]cos2xcosx−sin2xsinx[/tex]

à :

[tex](2cos^2x−1)cosx−2sinx cosx sinx[/tex]

Comment en arrive-t-on la??

yoshi

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Re : Formules de duplication (2)

Bonsoir,

Ça fait partie des formules à savoir par cœur:
[tex]\cos 2x = 2\cos^2 - 1 = 1 - 2\sin^2 x[/tex]
et
[tex]\sin 2x = 2\sin x \cos x[/tex]

Une démonstration :
[tex]\cos 2x = \cos(x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x[/tex]
Or, on est censés savoir (depuis la 3e) que :
[tex]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/tex]
D'où [tex]\sin^2 x = 1 - cos^2 x[/tex]
qui permet d'écrire enfin :
[tex]\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2\cos^2 x - 1[/tex]

Ça te va comme réponse ?

@+

Raah

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Re : Formules de duplication (2)

Merci beaucoup pour la démonstration, ça m'a aidé :)
J'ai réussi la première question, et donc pour la 2/ il faut que je factorise non?

yoshi

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Re : Formules de duplication (2)

Bonsoir,

Pour la 2., l'énoncé semble te conduire à utiliser la réponse à la question, ce serait dans la logique de l'énoncé...
Tu peux le faire comme ça...

Pourtant, il est de mon devoir de te signaler qu'il y a plus simple !
En effet :
[tex]\cos 3x = 0 \Leftrightarrow 3x=\frac \pi 2 + k.\pi [/tex] où k est un entier.
[tex]\Leftrightarrow x = \frac \pi 6 + \frac{k.\pi}{3}[/tex]
Et sur le domaine considéré on a donc
[tex]x \in\{\frac \pi 6, \frac \pi 2, \frac{2\pi}{3}...etc\}[/tex]

Je m'absente une paire d'heures...

@+

Raah

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Re : Formules de duplication (2)

Ok, cette réponse m'a l'air plus simple à faire..
Merci !

yoshi

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Re : Formules de duplication (2)

Salut,

Bah, l'autre n'est pas difficile non plus, mais plutôt genre bazooka pour tuer un moustique...
[tex]\cos 3x = 0  \Longleftrightarrow 4\cos^3x - 3 \cos x = 0 \Longleftrightarrow \cos x(4\cos^2 x - 3) =0[/tex]
Et là on en déduit que
[tex]\cos (x) = 0[/tex]  ou  [tex]4cos^2 x - 3 =0[/tex]
Pour rester dans le domaine, la 1ere équation offre [tex]x\in \{\frac \pi 2, \frac{3\pi}2\}[/tex]

Quant à [tex]4\cos^2 x - 3 =0[/tex], le 1er membre est une différence de 2 carrés [tex]4\cos^2 x - 3 = (2\cos x)^2 -(\sqrt 3)^2[/tex]
On résout donc :
[tex]2\cos x + \sqrt 3 = 0[/tex] et  [tex]2\cos x -\sqrt 3 = 0[/tex]...

C'était moins direct.

@+