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erichof

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Statistiques et probabilités

Bonjour,
La notion de médiane et de quartile a-t-elle ou non un sens quand on dispose de la loi de probabilité d'une variable aléatoire ? En effet, quand on entre le tableau représentant une loi de probabilité, l'espérance et l'écart-type sont précisés mais rien n'apparaît quant aux quartiles et à la médiane.
Autre question : dans le cas d'un jeu où la X représente le gain moyen, le jeu est dit équilibré si E(X)=0.
Mais dans un jeu quelconque où X représente autre chose, le jeu peut-il bien être équilibré avec E(X) qui n'est pas forcément nul ?
merci beaucoup,
Cédric

freddy

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Re : Statistiques et probabilités

Salut,

il y a toute une série de valeurs qu'on calcule à partir d'une distribution de probabilité. C'est ce qu'on appelle les moments centrés ou non centrés d'ordre p, qui permettent de caractériser une distribution par rapport à une autre.

On peut aussi se donner des valeurs remarquables de la distribution, comme les quartiles, déciles, centiles, ... La médiane = deuxième quartile=cinquième décile = ... est souvent comparée à l'espérance.

Une distribution telle que la médiane = l'espérance est dite symétrique. Sinon, elle présente une asymétrie à droite ou à gauche. Mais là, on entre dans les arcanes du métier. Va chercher le sens des termes leptokurtique, ou bien kurtosis, ...ou encore "épaisseur de la queue d'une distribution", tu comprendras mieux.

Pour la seconde question, précise le sens que pourrait avoir la variable aléatoire X ?

Pour l'heure, quand X = gain d'un joueur qui participe à un jeu, la notion d'équilibre = jeu à somme nulle. Nul ne gagne, nul ne perd (en espérance).

Dernière modification par freddy (10-04-2012 08:16:18)

CédricO

Invité

Re : Statistiques et probabilités

Bonjour,
merci à Freddy pour ces réponses.
je me pose une autre question :
Supposons qu'une expérience consiste à lancer deux dés et à s'intéresser à la somme obtenue.
Soit X la variable aléatoire correspondant à la somme obtenue.
Ainsi par exemple, P(X=2)=P(X=12)=1/36 ; P(X=6)=P(X=8)=5/36 ; P(X=7)=6/36.
Après calcul, on trouve E(X)=7. Comment interpréter correctement ce résultat ?
"En renouvelant l'expérience du lancer simultané de 2 dés un grand nombre de fois, la somme moyenne obtenue est 7" me semble une formulation juste mais dire que "la somme moyenne obtenue le plus fréquemment est 7" est-elle une interprétation de E(X)=7 ou seulement une interprétation du fait que si on fait le tableau de la loi de probabilité de X, c'est P(X=7) qui a la plus forte probabilité de se réaliser.
Merci de m'expliquer les nuances.
Cordialement,
Cédric

freddy

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Re : Statistiques et probabilités

Salut,

la moyenne n'a rien à voir avec le mode d'une distribution. La valeur modale d'une distribution est la valeur la plus fréquente. Il existe des distributions bi-modales !

La moyenne est, comme son nom l'indique, le résultat du calcul [tex]\sum_k \Pr(X=k)\times k[/tex]. Si je calcule le quotient de la somme des valeurs obtenues par le nombre de tirages effectués, c'est la valeur vers laquelle le quotient va converger. Rien ne dit que c'est aussi la valeur la plus fréquente.

Dans ton cas, on a :

X=2 = 1+1 ; X=12=6+6 ; Prob= 1/36

X=3 = 2+1=1+2 ; X=11=5+6=6+5 ; Prob = 2/36

X=4 = 1+3 = 2+2 = 3+1 ; X= 10 = 6+4 = 5+5 = 4+6 ; Prob=3/36

X = 5 = 1+4=2+3=3+2=4+1 ; X = 9 = 3+6 = 4+5 =5+4=6+3 ; Prob = 4/36

X = 6 = 1+5 = 2+4 = 3+3 = 4+2 = 5+1 ; X = 8 = 2+6 = 3+5 = 4+4 = 5+3 = 6+2 ; Prob=5/36

X = 7 = 1+6 = 2+5 = 3+4 = 4+3 = 5+2 = 6+1 ; Prob = 6/36

Donc la valeur la plus fréquente est 7.

il se trouve que c'est aussi la valeur moyenne !  C'est un pur hasard, on peut trouver des distributions où mode et  moyenne diffèrent. En règle générale, c'est quand la distribution est asymétrique. Dans ton cas, la distribution est bien symétrique.

Exemple pratique : un vendeur de chaussure ne va pas commander des chaussures dont la taille sera égale à la valeur moyenne de sa clientèle, mais plutôt celle dont la taille est voisine de la valeur modale des chaussures vendues ...

Si Fred ou un autre veulent compléter, pas de problème, car ces questions sont toujours très piègeuses pour les débutants.

Dernière modification par freddy (26-04-2012 13:43:50)

freddy

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Re : Statistiques et probabilités

Re,

pour que tu ne fasses pas n'importe quoi, souviens toi que si je mets la tête dans le four et les pieds dans le congélateur, la température moyenne de mon ventre doit être égale à la température ambiante :-)

CédricO

Invité

Re : Statistiques et probabilités

Merci beaucoup pour vos exemples très illustratifs !
Tout me semble clair à présent !!!
MERCI