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mnep

Invité

[Résolu] primitive

bonjour
je n'arrive pas à trouver la primitive de cette fonction :
c'(t)=exp((x²/2)-x)/(1-x)

si quelqu'un pouvait m'aider. merci.

JJ

Invité

Re : [Résolu] primitive

On ne peut pas ecrire une primitive de cette fonction avec les fonctions usuelles en nombre fini. Il faut soit l'écrire sous forme de série infinie, soit formellement à l'aide d'une fonction spéciale: Ei(X) la fonction nommée "exponentielle intégrale".

yoshi

Modo Ferox

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Re : [Résolu] primitive

Bonjour mnep,

Ne crois pas que tu sois abandonné, mais en ce qui me concerne je rends (provisoirement) les armes...
J'avoue, je n'y arrive pas non plus : ta primitive ne doit pas être évidente à trouver...
Je vais quand même te faire part de mes pistes de recherche, des fois que ça te donne une idée...
donc j'ai d'abord remarqué que :
[tex]1 - x = -(x - 1) = -({x^2 \over 2} - x)'[/tex]
J'ai donc identifié ta fonction comme étant de la forme :
[tex]{-{e^u \over u'}}[/tex]
Et depuis, je me casse les dents sur le u' en dénominateur...
J'ai essayé un changement de variable :
[tex]u = e^{{x^2 \over 2} - x }[/tex]
J'en ai alors déduit :
[tex]u' = (x - 1)e^{{x^2 \over 2} - x }\; \text soit encore u' = (x - 1)u[/tex]
Et pour finir :
[tex]x- 1 = {u' \over u}[/tex]
J'ai donc maintenant la forme (en remplaçant x - 1) :
[tex]{-{u^2 \over u'}}[/tex]

Et je ne me trouve pas plus avancé...
J'ai donc tenté une intégration par parties et je me retrouve à devoir chercher une primitive de  :
[tex]e^{{x^2 \over 2} - x }[/tex]
Mais
[tex]{x^2 \over 2} - x = ({x sqrt 2 \over 2} - {sqrt 2 \over 2})^2 - {1 \over 2}[/tex]
(Désolé pour le [?] : un parasite que je n'arrive pas éliminer...)
ET si je  pose un changement de variable :
[tex]u = {x sqrt 2 \over 2} - {sqrt 2 \over 2}[/tex]
je dois chercher une primitive de
[tex]e^{u^2 - {1 \over 2}}[/tex]
Or, j'ai lu sur un site spécialisé que la primitive de
[tex]e^{u^2}[/tex]
ne pouvait pas s'exprimer avec des fonctions classiques, et que c'est pour ça qu'on avait inventé la fonctio erf... dont je n'avais jamais entendu parler...
Donc fausse route !
Il y a sûrement quelque chose qui m'échappe...
Je vais tâcher de laisser l'idée me trouver : ça me réussissait dans le temps !

Désolé pour toi : j'espère que quelqu'un de plus compétent va passer par là..

@+

Dernière modification par yoshi (03-11-2006 08:34:46)

galdinx

Modo gentil

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Re : [Résolu] primitive

ouais il existe plusieurs fonction définie a partir d'intégrales comme la fonction gamma, la fonction beta, erf, sin intégral...

Je suis d'accord avec JJ la primitive de cette fonction utilise la fonction exponentielle intégrale Ei et je ne crois pas que ce soit le but recherché...

pour info Ei(x)= - intégrale(de -x à +infini {exp(-t)/t dt})

mnep

Invité

Re : [Résolu] primitive

merci pour vos réponses.
l'exercice en fait, est de résoudre une équa diff assez compliquée, alors on pose f=1/(g-1) et j'obtiens cette petite équa diff un peu plus sympathique (en apparence !) :

g'+((x²-2x)/(1-x))g=-1

alors j'ai utilisé la méthode de la variation de la constante.
j'ai demandé sur un autre forum, et quelqu'un m'a trouvé une solution particulière :
g(x)=1/(x-1)
mais je trouve que c'est un peu abrupt comme réponse dans un devoir. et je trouve bizarre que je ne trouve pas cette solution assez simple avec la méthode de la variation de la constante.
voilà.

JJ

Invité

Re : [Résolu] primitive

Ce n'est pas exp((x²/2)-x)/(1-x) que vous avez à intégrer, c'est (1-x)exp(-(x²/2)+x)
Reprenons tout cela :
G'+((x²-2x)/(1-x))G = 0
G'/G = (x²-2x)/(x-1) = ((x-1)²-1)/(x-1) = x-1-(1/(x-1))
ln(G) = (x²/2)-x-ln(x-1)+c
G = C.exp((x²/2)-x)/(x-1)
g'+((x²-2x)/(1-x))g = -1
g = C(x).F(x) avec F(x)=exp((x²/2)-x)/(x-1)
F' = -((x²-2x)/(1-x))F
g' = C.F'+C'.F = -((x²-2x)/(1-x))F.C+C'.F
g'+((x²-2x)/(1-x))g = -((x²-2x)/(1-x))F.C+C'.F+((x²-2x)/(1-x)).C.F = C'.F = -1
C' = -1/F = -(x-1)exp(-(x²/2)+x) = -(x-1)exp(-(x-1)²/2+(1/2))
C = exp(-(x-1)²/2+(1/2))+K = exp(-x²+x)+K
g = (exp(-x²+x)+K)exp((x²/2)-x)/(x-1)
g = (1/(x-1)) +K.exp((x²/2)-x)/(x-1)

mnep

Invité

Re : [Résolu] primitive

ok merci beaucoup JJ !
mon erreur était en fait que j'avais écrit : (x²-2x)/(1-x)=x-1-1/(x-1)
donc juste une erreur de signe !! c'est rageant de se prendre la tête pour une erreur de signe quand même !