Equation complexe.

alain01 · 10-03-2012 01:50:55

Bonjour à tous.
Résoudre dans [tex]\mathbb{C}[/tex] l'équation :
[tex]e^z=\sqrt{3}+3i[/tex].
[tex]e^{x+iy}=\sqrt{3}+3i[/tex] [tex]\Longleftrightarrow{e^{x}e^{iy}=\sqrt{3}+3i}[/tex] [tex]\Longleftrightarrow{e^{x}cosy+ie^{x}siny=\sqrt{3}+3i}[/tex] [tex]\Longleftrightarrow{e^{x}cosy=\sqrt{3} et e^{x}siny=3}[/tex].
Après avoir élevé au carré ,j'ai déterminé le couple solution [tex]S={(ln12;\frac{\pi}{3})}[/tex].
J'ai utilisé une autre méthode de résolution donnant le meme résultat.
[tex]ln(e^{z})=ln(2\sqrt{3})e^{i\frac{\pi}{3}}[/tex] .......
Je sais, par exemple, que [tex]e^{i\pi}=-1[/tex].Le logarithme naturel d'un nombre négatif n'existant pas ai-je commis une faute en l'introduisant dans l'équation ?
Merci de m'expliquer meme sommairement.

amatheur · 10-03-2012 03:32:52

salut alain01

je ne sais ou es ce que tu es tombé sur cet exo.. mais je ne crois pas que l’exponentiel complexe et encore moins le logarithme complexe soient étudiés au lycée.
je crois que ta première réponse est à moitié bonne" tu t'es trompé de module et l'argument doit être donner modulo..", mais c'est le cas juste parce que tu as suivie ton intuition en définissant la fonction exponentiel complexe qui prolonge celle que tu as vue pour les réels, mais pour le logarithme complexe c'est un peu plus compliqué, d’où ton blocage...

je crois que yoshi serait totalement d'accord avec moi si je dis que c'est aberrant de donner ce type d'exo aux lycéens!

yoshi · 10-03-2012 08:58:37

Bonjour,

@amatheur
Bin, non, chuis pas d'accord... emporté par ta fougue, tu as dû oublier que cette égalité [tex]e^{ix}=\cos(x)+ i\sin(x)[/tex] est tout à fait du programme de Terminale...
Bah, nié noujno (c'est phonétique, je suis pressé). En français : aucune importance... Que celui qui ne s'est jamais trompé te jette la première pierre...

@alain01
Je viens de supprimer ma réponse (qui était pourtant assez détaillée, mais elle n'a pas dû être jugée intéressante voire correcte, puisque quelqu'un a jugé bon d'apporter un "correctif") je l'ai déjà fait par le passé et je recommence (et recommencerai) donc.
Désolé pour toi (tu n'es pas en cause).

Comprenne qui pourra...

@+

Dernière modification par yoshi (10-03-2012 16:09:09)

totomm · 10-03-2012 10:51:57

Bonjour,

alain01 a écrit :

[tex]\Longleftrightarrow{e^{x}cosy=\sqrt{3} \ et \ e^{x}siny=3}[/tex].
Après avoir élevé au carré ,j'ai déterminé ...

Juste une remarque de méthode pour alain01 : on accède directement à[tex]\tan{y}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}[/tex] plutôt que d'élever au carré, ce qui parfois oblige à interpréter ultérieurement entre les + et les -.

ici on pourrait donc avoir [tex]y=\frac{\pi}{3}+k\pi[/tex], mais comme e^x est toujours positif, k ne peut être impair.

Cordialement.

amatheur · 10-03-2012 12:30:14

salut
@yoshi: d'après mes souvenir, dans le programme du terminal scientifique au Maroc, on nous a fourgué la relation [tex]{e}^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha [/tex] sans jamais la démontrer, et ce fut le cas aussi dans les livres du programme français que je consultais, et ce sans jamais définir l’exponentiel d'un nombre complexe avec une partie réelle non nulle.

ce que je veut dire c'est que alain01 s'est servit de son intuition, et qui était bonne, pour établir la relation [tex]{e}^{x+iy}={e}^{x}{e}^{iy}[/tex] , mais cette intuition l'a trahit une fois qu'il a mit les pieds dans le terrain miné des logarithmes complexes.

le seul message que je veuX transmettre à alain01, c'est qu'il est délicat d’étendre la notion d'une fonction d'un ensemble à un autre.
A+

alain01 · 11-03-2012 02:24:25

Merci à vous Amatheur,Yoshi et Totomm.

yoshi · 11-03-2012 08:35:11

Bonjour,

@alain01
Ne t'y trompe pas, le mot "correctif" était entre guillemets, ironique, mais ma réponse était sans erreur.
Malheureusement, quelqu'un ici souffre d'interventionnisme aigu - quand il passe !
Ce que je ne supporte pas et chaque fois qu'il est intervenu dans une discussion que j'avais prise en mains, j'ai supprimé mes propres interventions : c'est lui ou moi, mais pas les deux.
Peut-être est-il tellement en recherche de reconnaissance, qu'il se dépêche d'intervenir avant que l'auteur de la discussion puisse répondre : Moi je, Moi je..., comportement de "M'as-tu-vu" et du dernier manque d'éducation.

@Celui-qui-sait-tout-mieux-que-tout-le-monde
Je répète que je ne veux plus te voir avec tes gros sabots dans les discussions que je prends en charge (sauf erreur manifeste, bien sûr). Le temps que cela arrive jusqu'à ton entendement, je supprimerai mes interventions en te laissant la place, il te faudra alors te montrer un peu plus présent : peut-être finiras-tu par comprendre que ton intervention aboutira à priver la personne demandeuse d'une source d'information.

@+

totomm · 11-03-2012 13:00:42

Bonjour,

@yoshi : De telles fâcheries sont quelque peu puériles

"mes gros sabots" sont des ouvertures sur de bonnes méthodes apprises à force de travail en sup et spé....
et qui ne diminuent en rien vos propres mérites pédagogiques !

Toute personne demanderesse sur ce forum à le droit d'être renseignée sur les meilleures façons d'aller vers une solution.
Et même ne pas signaler une bonne façon d'arriver à un résultat, c'est priver cette personne d'un atout certain

Pas de vielles rancunes s'il vous plait
Cordialement

yoshi · 11-03-2012 15:08:59

Re,

Pas de vielles rancunes s'il vous plait

Ne varietur...
Imposez donc votre manque d'éducation aux autres, ô Pic de la Mirandole du XXIe siècle.
Merci, de ne plus piétiner mes plates-bandes à l'avenir : moi, je ne supporte pas vos procédés. Point-barre.

Je n'interviens pas dans les discussions où vous figurez : j'attends la réciprocité où je commettrai quelques "abus de position dominante"...
Et à la puérilité, elle est où quand on répond, de façon détournée certes, j'ai le droit ; j'apporte de bonnes méthodes (sous entendu : moi !)?
S'il n'y a que ça pour vous faire plaisir, il est possible de réfléchir à une modification de nos règles de fonctionnement.

Epargnez-moi votre couplet sur mes "mérites pédagogiques", votre cordialité (!), et vos droits.
Vous avez donc tellement peur qu'on ait le le temps de dire (éventuellement) les choses à votre place que vous vous précipitez pour répondre avant que le demandeur en prenne connaissance ? Vous ne pouvez pas attendre "que le cadavre refroidisse", hein ?

Sans cordialité aucune (je veux pas être hypocrite).

Merci d'avance.

freddy · 11-03-2012 19:13:25

totomm a écrit :

@yoshi : De telles fâcheries sont quelque peu puériles
"mes gros sabots" sont des ouvertures sur de bonnes méthodes apprises à force de travail en sup et spé....

Tu as attendu d'être en sup pour faire ce qu'on apprenait en 1er ?

Tu as faire les cours Legendre, ou quoi ?

"A force de travail" : oui, ça, on avait compris que ça avait été dur pour toi. C'est pourquoi tu viens nous casser... les pieds, ici maintenant !

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Equation complexe.

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