Exercice mathématiques

june06 · 07-03-2012 14:18:25

Bonjour, j'ai un DM 1èreS, pourriez vous me dire si mon exercice est correct en particulier la question 1)c et m'aider pour la question 3)b car je bloque. SVP, Merci d'avance

Un jeune agriculteur bio veut fabriquer une serre pour protéger ses cultures de tomates dont les dimensions sont : [tex]AB=400[/tex] cm
[tex]100cm \leqslant x \leqslant 300cm[/tex]

La distance [tex]HK=x[/tex] avec [tex]H[/tex] milieu de [tex][AB][/tex] est appelée la flèche.
Le rayon de cintrage est noté [tex]R[/tex]. Ainsi [tex]R=OB=OK=OA[/tex].

Schéma serre:
[img=Schéma serre]file:///C:/Documents%20and%20Settings/Emile14102010/Mes%20documents/Delphine/Premi%C3%A8re/Maths/Sans%20titre%201.bmp[/img]

On veut déterminer pour quelle valeur de [tex]x[/tex] le rayon [tex]R[/tex] de cintrage est minimal.

1)a) Exprimer de deux façons différentes, [tex]R[/tex] en fonction de [tex]x[/tex] et de [tex]OH[/tex].
b) En déduire que [tex]OH = \frac{40000-x²}{2x}[/tex]
c) Exprimer alors [tex]R[/tex] en fonction de [tex]x[/tex].
2) Soit [tex]f[/tex] la fonction définie sur [tex][100;300][/tex] par [tex]f(x)=\frac{20000}{x}+\frac{x}{2}[/tex]
a) Etudier le sens de variation de [tex]f[/tex] sur [tex][100;300][/tex].
b) Déterminer la valeur de [tex]x[/tex] pour laquelle la fonction [tex]f[/tex] admet un minimum.
3)a) Pour quelle valeur de la flèche [tex]x[/tex], le rayon [tex]R[/tex] est-il minimal ?
b) Quelle est alors la particularité de l'arc [tex]AB[/tex] ?

1)a) On a : [tex]OK=OH+HK \Rightarrow R=OH+x[/tex]
Par pythagore dans le triangle [tex]OHB[/tex] rectangle en [tex]H[/tex], on a: [tex]OB²=OH²+HB² \Rightarrow R²=OH²+200² \Rightarrow R²=OH²+40 000[/tex]

b) Par conséquent [tex](x+OH)²=OH²+40 000[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x²+2xOH+OH²=OH²+40 000[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x²+2xOH=40 000[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2xOH=40 000-x²[/tex]
[tex]\Leftrightarrow OH= \frac{40000-x²}{2x}[/tex]

c)[tex]R=OH+x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{40000-x²}{2x} + x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{40000-x²}{2x} + \frac{x²}{2x}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{40000-x²}{2x}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{20000}{x}-\frac{x}{2}[/tex]

2)a)[tex]f'(x) = u(x)+ \frac{v(x)}{w(x)}[/tex] avec [tex]u(x)= \frac{20 000}{x}[/tex] ; [tex]v(x)= x[/tex] et [tex]w(x)= 2[/tex]

[tex]u[/tex] est dérivable sur [tex]]0; +\infty[[/tex] donc dérivable sur [tex][100;300][/tex] et [tex]u'(x)=-\frac{20 000}{x²}[/tex]
[tex]v[/tex] est dérivable sur [tex]R[/tex] donc dérivable sur [tex][100;300][/tex] et [tex]v'(x)= 1[/tex]
[tex]w[/tex] est dérivable sur [tex]R[/tex] donc dérivable sur [tex][100;300][/tex] et [tex]w'(x)= 0[/tex]

[tex]f[/tex] est dérivable lorsque [tex]w(x) \neq 0 \Leftrightarrow 2 \neq 0[/tex] donc [tex]f[/tex] est dérivable sur [tex][100;300][/tex] et
[tex]f'(x)= -\frac{20 000}{x²}+ \frac{1\times2 - x\times0}{2²}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{20 000}{x²}+ \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{40 000}{2x²}+ \frac{x²}{2x²}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{40 000+x²}{2x²}[/tex]

[tex]-40 000+x²=0 \Leftrightarrow x²=40 000 \Leftrightarrow x=\sqrt{40 000}[/tex] ou [tex]x= -\sqrt{40 000} \Leftrightarrow x=200\;\; ou\;\; x=-200[/tex]

Donc [tex]f[/tex] est strictement décroissante sur [tex][100;200][/tex]
[tex]f[/tex] est strictement croissante sur [tex][200;300][/tex]

b) [tex]f(200)=\frac{20 000}{200}+ \frac{200}{2}=200[/tex]

3)a) d'après la question 2_b, le rayon [tex]R[/tex] est minimal pour un rayon de [tex]200cm[/tex].

Ps: la rédaction est-elle correcte ?

Merci d'avance ;)

yoshi · 07-03-2012 16:44:10

Bonsoir Delphine,

Bienvenue à bord
Je vais essayer de faire sans ton image, car elle est encore sur ton disque dur.
Pour qu'une image soit visible ici, il te faut

1. Disposer d'une image ! ^_^ .Ca c'est fait, mais d'une taille raisonnable, hein, pas un drap de lit... taille maximum courante en largeur entre 400 et 600 pixels. A titre indicatif, cette image taille 150 x 180 pixels :

2. L'enregistrer de préférence en .png (ou .jpg), et en N&B (niveaux de gris, en fait), couleur si nécessaire pour la clarté et la compréhension. La résolution maximum des écrans étant 100 pts par pouce, se limiter à une résolution de 72 à 100 pts par pouce.
Pour toutes ces manips, si nécessaire, télécharger photofiltre (1,7 Mo au chargement) gratuit.
3. Choisir un hébergeur d'images. En gratuit, par exemple :
casimages.com, imageshack.us, hiboox.fr, photobucket.com... Les 3 premiers ne nécessitant pas d'inscription préalable.
4. Trouver l''image voulue sur ton disque dur avec le bouton parcourir, la sélectionner et l'uploader (= la transférer) - c'est le rôle de la validation - chez l'hébergeur gratuit
5. Relever l'adresse destinée à l'affichage direct sur les forums et seulement la partie entre les balises

[img] et [/img]

L'image ci-dessus correspond à :

[img]http://nsa26.casimages.com/img/2011/03/02/110302120940481321.png[/img]

Il n'est pas inutile de vérifier ce que ça donne avec le bouton prévisualisation.

Après essai de compréhension, je ne vois pas trop le dessin final...
Je vais donc me contenter de regarder tes calculs.
Et là, par contre, que vois-je ?
Une horreur :
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{40 000}{2x²}+ \frac{x²}{2x²}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{40 000+x²}{2x²}[/tex]
Et non... Ça, c'est faux....
En effet, si je reprends la 2e ligne et que sépare la fraction en 2, je peux écrire :*
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{40 000+x²}{2x²}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\left(\frac{40 000+x²}{2x²}\right)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\left(\frac{40 000}{2x^2}+\frac{x^2} {2x^2} \right)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{40 000}{2x^2}-\frac{x^2} {2x^2}[/tex]
Et ce n'est pas la première ligne...
Je te laisse donc rectifier l'erreur et afficher une image.

On en reparle après...

@+

june06 · 07-03-2012 18:16:12

Merci pour l'information, j'ai suivie vos conseils

Serre

june06 · 07-03-2012 19:02:52

re, je ne comprend pas pourquoi vous mettez le signe moins pour tout le calcul. Pourriez vous me l'expliquez SVP, car en faisant avec votre façon, je n'arrive plus a trouver le signe de f' car c'est impossible.
Merci d'avance

yoshi · 07-03-2012 21:37:06

Re,,

Ok pour le dessin.

Attention je n'ai pas dit que je donnais le bon résultat, j'ai dit que le tien était faux et je t'ai montré pourquoi.
En fait, ça c'est faux :
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{40 000+x²}{2x²}[/tex]

Mais ça, c'est juste :
[tex]-40 000+x²=0 \Leftrightarrow x²=40 000 \Leftrightarrow x=\sqrt{40 000} ou x= -\sqrt{40 000} \Leftrightarrow x=200 ou =-200[/tex]

Comment est ce possible ?
C'est ton écriture de la formule qui est fausse, même si dans ta tête elle est juste et ton prof ne te louperait pas, comme moi je ne loupais pas mes zèbres en pareille circonstance...

Tu peux considérer qu'il y a des parenthèses cachées autour de ta fraction :
[tex]-\frac{2+3}{5}=-\left(\frac{2+3}{5}\right) = -\frac{(2+3)}{5}=\frac{-(2+3)}{5}[/tex]

Voilà ce que tu devais écrire :
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{40 000}{2x²}+ \frac{x²}{2x²}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)=\frac{-40 000+x^2}{2x^2}[/tex]
Comprends-tu ?

Tiens, encore une sottise à corriger :
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{40000-x²}{2x} + x[/tex]
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{40000-x²}{2x} + \frac{x²}{2x}[/tex] <--- ça, c'est faux !
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{40000-x²}{2x}[/tex] <--- et donc ça aussi

Voilà pourquoi tu ne comprenais pas le 3a)...

Correction :
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{40000-x²}{2x} + \frac{2x²}{2x}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{40000+x²}{2x}[/tex]

Cette dernière ligne peut s'écrire :
[tex]R= \frac{40000}{2x} +\frac{x²}{2x}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow R= \frac{20000}{x} +\frac{x}{2}[/tex]

Et maintenant, ne vois-tu pas la fonction f qu'on t'a demandé d'étudier au 2) ?

Quant à la conclusion que tu dois en tirer : si R=200 et x = 200 combien vaut OH ?

Alors ?

@+

Encore un détail, une "maladresse" cette fois...
Tu dérives [tex]\frac x 2[/tex] à partir de [tex]\frac{u(x)}{v(x)}[/tex]. pourquoi pas...
Mais n'as-tu pas l'impression que les moyens employés sont disproportionnés par rapport à la difficulté ?
En effet [tex]\frac x 2=\frac 1 2 x[/tex] et là tu cherches la dérivée de [tex]k.u(x)[/tex] où k est un réel : [tex]\big(k.u(x)\big)'=k.u'(x)[/tex]

Loic · 10-03-2012 18:57:10

Bonsoir,
J'ai le même exercice à faire et, j'ai également quelques difficultés ..
Comment fait-on pour étudier le signe d'une telle fonction ?!
[tex]\frac{-40000}{2{x}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{2{x}^{2}}[/tex]

yoshi · 10-03-2012 19:55:04

Bonsoir,

Tss ! Tss !
As-tu ouvert les yeux ?
N'as -tu pas vu
* que [tex]\frac{-40000}{2x^2}+\frac{x^2}{2x^2}=\frac{-40000+x^2}{2x^2}[/tex] ?
* que 2x² étant (strictement) positif sur le domaine, il ne fallait donc s'occuper que du signe de [tex]-40000+x^2[/tex] ?
* que [tex]-40000+x^2[/tex] est une simple différence de 2 carrés (c'est plus évident en écrivant [tex]x^2-40000[/tex] à la place ?) et que sa factorisation est évidente ?

Ça te va ?

@+

june06 · 11-03-2012 10:30:30

Bonjours, toute ma classe a trouver la même chose que moi, donc je ne comprend pas pourquoi est ce qu'on applique le - a toute la fonction car il appartient seulement a une partie de la dérivée.

Et pour la question 3)b), c'est la réponse a la question posé au début de l'exercice ?

Merci d'avance :)

yoshi · 11-03-2012 12:49:57

Bonjour,

Bon, on reprend...

je ne comprend pas pourquoi est ce qu'on applique le - a toute la fonction

Fonction ou fraction ? Fraction je présume.
J'ai l'impression qu'on se comprend pas : je n'ai jamais dit ça.
J'ai dit que ton écrire était fausse, justement parce qu'elle conduisait ç appliquer le - à toute le fraction : on voit ce genre de faute en 3e quand on résout des équations avec dénominateur.
Je vais donc réécrire le calcul en totalité et tu compareras pas à pas, avec ce que, toi, tu as écrit dans ton 1er post.

L'énoncé te donne :
[tex]f(x)=\frac{20000}{x}+\frac x 2[/tex]
Là, on est d'accord ?
D'où
[tex]f'(x) = -\frac{20000}{x^2}+\frac 1 2[/tex]
Toujours d'accord ?
[tex]\Leftrightarrow\,f'(x) = -\frac{40000}{2x^2}+\frac{x^2}{2x^2}[/tex]
Oui/non ?
Et c'est la ligne suivante où tu as commis une erreur d'écriture :
[tex]\Leftrightarrow\,f'(x) = \frac{-40000+x^2}{2x^2}[/tex]

(et non [tex]-\frac{40000+x^2}{2x^2}[/tex], parce que si ru places le - devant le trait de fraction, ce - s'applique aussi au x² :
en effet [tex]-\frac{40000+x^2}{2x^2}\,\Leftrightarrow\,\frac{-40000-x^2}{2x^2}[/tex] qui est faux)
Par chance, après tu as étudié le signe -40000+x² qui est bien ce qu'il fallait faire.
N'empêche que à partir de [tex]f'(x)=-\frac{40000+x^2}{2x^2}[/tex], il est incorrect parce qu'illogique d'étudier le signe de-40000+x² : pour rester logique c'est donc celui de [tex]-40000-x^2[/tex] que tu devais étudier...
Et ton prof te comptait faux comme je l'aurais fait.
Comprends-tu ?

Ces explications données je résume les calculs :
[tex]f(x)=\frac{20000}{x}+\frac x 2[/tex]
[tex]\Rightarrow\; f'(x)= -\frac{20000}{x^2}+\frac 1 2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)= -\frac{40000}{2x^2}+\frac{x^2}{2x^2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow f'(x)= \frac{-40000+x^2}{2x^2}[/tex]
Sur le domaine concerné, 2x² est strictement positif, donc on étudie le signe de -40000+x^2...

Tu fais alors ton tableau de variation pour pouvoir conclure.

Question 3) a) Tu es arrivée (sans la faute, hein...) à [tex]R =\frac{40000+x^2}{2x}[/tex]

Ce rayon, si on écrit que [tex]R =\frac{20000}{x}+\frac x 2[/tex], on constate qu'il s'agit de la fonction f donnée au 2)...
Donc, connaissant le le minimum de f, tu connais aussi de celui de R.
R = 200...
Or tu sais aussi que x = 200 et que R = OH +x, d'où 200 = OH + 200... Que vaut OH ?
A partir de là, tu déduis la particularité de l'arc AB...

@+

june06 · 11-03-2012 13:01:17

Merci :) mais je ne vois pas de particularité pour l'arc AB

yoshi · 11-03-2012 15:16:16

Bonjour,

Et bien alors, refais le dessin pour OH = 0 et donc [AB] passant par O et tu comprendras ...
Qu'est-ce qu'on peut bien dire d'un arc de cercle AB ?
Combien distingue-t-on d'arcs de cercle bien particuliers ?
Comme ça, immédiatement, j'en vois deux : le 1/4 de cercle et le demi-cercle...

@+

nerosson · 11-03-2012 15:45:03

Salut à tous,

June06 a écrit :

...protéger ses cultures de tomates dont les dimensions sont : AB=400 cm...

Avec des tomates comme ça, je suppose que ton agriculteur ne pratique que la vente en gros !

Heureusement qu'il ne s'adonne pas à la culture du potiron : on pourrait jouer aux quilles avec la Tour Eiffel !

Dernière modification par nerosson (11-03-2012 15:48:49)

june06 · 11-03-2012 16:32:17

Je n'arrive pas à voir la particularité :/ Pouvez vous m'en dire plus SVP

Merci d'avance

yoshi · 11-03-2012 19:02:04

Re,

Alors là, tu dois certainement chercher très loin ce que tu as sous le nez...
Tu dessines un segment [AB] de longueur AB= 400. Tu places un point O au milieu et tu traces l'arc de cercle de centre O, passant par A et de rayon R = 200 et tu obtiens quoi ?
Quart de cercle ? Demi-cercle ?

@+

Malik · 16-02-2013 14:22:16

Bonkour à tous,
Pour la derniere question on a le cercle d'arc AB et un autre d'arc AC par exemple
où OC = OK.
Est comme cela ? Mais alors quelle est sa particularité ?
Merci bien ! [tex][/tex]

Malik · 16-02-2013 14:24:02

Ou bien arc de cercle AB = 2 le quart de cercle AK

yoshi · 16-02-2013 16:50:52

Bonjour,

Il m'a fallu un certain temps pour me remettre dans le problème...
Le dessin de la serre est le suivant :
Serre
On a OH = 0
Ce qui veut dire que H et O sont confondus, et que O est le milieu de [AB].
Or AB = 400 et OK = R = 200...
O est le centre et placé sur [AB] et le rayon vaut 200 donc AB = 400 est un diamètre.
L'arc de cercle de centre O et de rayon OK = R = 200 est donc un demi-cercle.
Que vient faire le point C là-dedans ? Il ne figure pas dans l'énoncé...

@+

Malik · 16-02-2013 19:40:16

Merci d'avoir répondu,
ce sont deux deux cercle confondus

yoshi · 16-02-2013 20:55:29

Bonsoir,

ce sont deux deux cercle confondus

Qui se cache sous le pronom personnel "ce" ? Quels cercles ?
Il n'est même pas question de cercle complet dans l'énoncé :
la serre que veut construire le maraîcher est en forme d'arc de cercle dont le rayon (de cintrage) OK = R = OH + x est tel que :
[tex]OH+100 \leq R\leq OH+300[/tex] puisque l'énoncé donne : [tex]100\leq x \leq 300[/tex]...

L'énoncé nous conduit aussi à écrire que [tex]R = \frac{20000}{x} +\frac{x}{2}[/tex] et on a mis en évidence que [tex]R= f(x) =\frac{20000}{x} +\frac{x}{2}[/tex] est minimal pour x = 200.
Ce minimum vaut :
[tex]R = \frac{20000}{200} +\frac{200}{2}=100+100 = 200[/tex]
Le rayon de cintrage minimum vaut R = 200 quand x= 200.
Et puisque R = OH + x, on a alors 200 = OH + 200 qui permet de conclure que OH = 0.
Lorsque OH vaut 0, O et H sont confondus... L'arc de cercle AB a pour centre H milieu de [AB] puisque O et H sont confondus et que H a été placé par l'énoncé au milieu de [AB].
L'arc de cercle AB dont le centre est le milieu de la corde [AB] est donc un demi-cercle puisque la corde d'un cercle ayant pour milieu le centre de ce cercle est alors un diamètre.
Je ne vois pas ni de point C, ni deux cercles confondus ou non, ni même un cercle complet...

Si tu n'es pas un farceur, prends une feuille de papier et un compas, trace un segment [AB] de 4 cm de long, place son milieu H.
Avec ton compas trace l'un des deux arcs de cercle AB possible (un seul !) de centre H et de rayon HA = AB/2 = 2 cm ?
Vois-tu toujours 2 cercles confondus.
Moi, si je fais ce tracé mentalement, je ne "vois" rien d'autre qu'un demi-cercle...

@+

Malik · 16-02-2013 21:00:43

Oui ce sont deux demis cercle confondus je me suis trompé dans ma phrase :/ Désolé je vais faire çà sur une feuille et je verrais , bonne soirèe et merci encore

Malik · 16-02-2013 22:57:48

Bonsoir, effectivement c'est un demi cercle (ou deux demi cercle confondu) soit, qu'est ce que fait de cet arc de cercle une particularité ?

yoshi · 16-02-2013 23:06:22

Re,

Et têtu avec ça...
Non pas deux demi-cercles confondus un seul demi-cercle....
Pourquoi 2 ? Explique !
Et pourquoi pas 3 ou 4, tant que tu y es ?...
La particularité de cet arc de cercle est d'être un demi-cercle...

@+

Sam · 09-03-2013 14:30:51

Bonjours, Je voulais vous demander , Comment vous trouvez que la fonction est décroissante sur [100;200] et croissante sur [200;300] alors que -40000+x² est positif sur [100;200]et Négative sur [200;300] ???????

yoshi · 09-03-2013 15:33:46

Bonjour,

Si tu veux nous donner plusieurs bonjour c'est gentil à toi, merci...
Reprenons
-40000+x² est de signe
* + pour [tex]x\in ]-\infty\;;\;-200[\cup]200\;;\;+\infty[[/tex]
* - pour [tex]x \in ]-200\;;\;+200[[/tex]
Compte tenu des restrictions (domaine de définition de l'étude : [tex][100\;;\;300][/tex]) de l'énoncé, je peux reformuler ainsi ce que je viens de dire :
-40000+x² est de signe
* + pour [tex]x\in ]200\;;\;300[[/tex]
* - pour [tex]x \in ]100\;;\;200[[/tex]
Si tu veux t'en convaincre :

   x         |-oo        -200      100      200    300   +oo|
-------------|-------------|-----------------|--------------|
x-200        |       -     |       -         0      +       |  
-------------|-------------|-----------------|--------------|
x+200        |       -     0       +         |      +       |
-------------|-------------|-----------------|--------------|
-40000+x²    |       +     0       -         0      +       |

Or, le dénominateur de la dérivée étant toujours positif, je peux donc dire que cette dérivée est négative pour x dans [100 ; 200] et positive pour x dans [200 ; 300]...
La fonction est donc décroissante sur [100 ; 200] et croissante après...

Ça te va ?

@+

sam · 09-03-2013 18:29:37

Merci beaucoup pour votre aide !

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 07-03-2012 14:18:25

Exercice mathématiques

#2 07-03-2012 16:44:10

Re : Exercice mathématiques

#3 07-03-2012 18:16:12

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#4 07-03-2012 19:02:52

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#5 07-03-2012 21:37:06

Re : Exercice mathématiques

#6 10-03-2012 18:57:10

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#7 10-03-2012 19:55:04

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#8 11-03-2012 10:30:30

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#9 11-03-2012 12:49:57

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#10 11-03-2012 13:01:17

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#11 11-03-2012 15:16:16

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#12 11-03-2012 15:45:03

Re : Exercice mathématiques

#13 11-03-2012 16:32:17

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#14 11-03-2012 19:02:04

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#16 16-02-2013 14:24:02

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