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alain01

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Nombres Complexes.

Bonjour à tous.
A et B sont deux points du plan complexe  [tex](O;\vec{u};\vec{v})[/tex] d'affixes respectives 1 et 4.
Partie I.
(d) est la droite (OA) privée de A et (d') la droite perpendiculaire à (d) en A.M et M' sont deux points d'affixes z et Z/
[tex]Z=\frac{z^2}{z-1}[/tex] avec   [tex]z\neq{1}[/tex].
1°) f et g sont deux fonctions définies sur D1 et D2 par   [tex]f(x)=\frac{x^2}{x-1}[/tex]  et  [tex]g(x)=\frac{x^2-1}{x}[/tex].Etudier les variations de f et g et déterminer f<D1> et g<D2>.
Partie II.
1°) résoudre Z=3.
2°)on pose   [tex]z=1+e^{i\theta}[/tex] avec [tex]\theta\in\mathbb{R}[/tex].Déterminer l'ensemble des points M'
quand théta varie sur R.
3°)a)déterminer l'ensemble des points M' quand M parcourt (d).
b)déterminer l'ensemble des points M' quand M varie sur (d').
4°)M(x;y) et M'(X;Y).Ecrire X et Y en fonction de x et y.Déterminer l'ensemble des points M ' quand M varie sur (O;u).

Reponse.
1°)f<D1>=]-oo;0]U[4;+oo[  et  [tex]g<D2>=\mathbb{R}[/tex].
Partie II.
1°)[tex]z_1=\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}[/tex]   [tex]z_2=\sqrt{3}e^{-i\frac{\pi}{6}}[/tex].
2°) on écrit Z en fonction de theta:
[tex]Z=e^{-i\theta} +e^{i\theta}+2=2cos\theta +2[/tex]  donc  [tex]Z\in\mathbb{R^+}[/tex].L'ensemble des polnts M' est la demi-droite [OA) y compris le point A.
3°)je l'ai traitée de deux manières qui ne concordent pas:
Géométriquement:
[tex]arg(Z)=arg(z^2) -arg(z-1)=2argz-arg(z-1)[/tex] bien sur +2kpi.Comme M parcourt (d) on a arg z=kpi et
2argz=2kpi  donc  [tex](\vec{u};\vec{OM')}=-(\vec{u};\vec{AM})[2\pi][/tex] et (u;AM)=kpi donc (u;OM')=kpi.M' est la droite (d).
Algébriquement je trouve :
Si z=x+iy et Z=X+iY .
[tex]X=\frac{x^3-x^2-y^2x+y^2+2xy^2}{(x-1)^2+y^2} ;Y=\frac{y(x^2+y^2-2x)}{(x-1)^2+y^2}[/tex];
Quand M est sur (d) y=0 et on obtient  X=f(x) et Y=0.On connait f(D1) donc l'ensemble des points M' est formé de
LA DROITE R privée du segment  ouvert ]OB[.
Voilà ou j'en suis.Je n'arrive pas à trouver le meme ensemble et normalement  je ne dois utiliser la méthode algébrique qu'à la 4eme question.
Merci de m'aider.

Fred

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Re : Nombres Complexes.

Bonjour,

  Je reviens d'abord sur la question 2.
Ta conclusion n'est pas correcte, car [tex]2\cos\theta+2[/tex] évolue entre 0 et 4. L'ensemble que l'on trouve est donc le segment [OB].
Concernant la question 3, je vais t'expliquer pourquoi tes deux méthodes ne donnent pas le même résultat.

Pour la méthode géométrique, tu te contentes de dire : si M est sur (d), alors M' est sur (d').
Mais tu ne traites pas la réciproque : est-ce que tous les points de (d') sont atteints?
La réponse est non, comme le révèle la méthode "algébrique" (que tu peux parfaitement utiliser
à ce stade de l'exercice).

Fred.

alain01

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Re : Nombres Complexes.

Bonjour Fred.
Tout d'abord merci pour vos indications.C'est vrai que je suis passé trop vite sur la deuxième question.
3°)je démontre donc que  [tex]M'\in(d)\Longrightarrow M\in(d)[/tex].
[tex]argZ=0[\pi]\Longrightarrow 2argz-(\vec{u};\vec{AM})=0[\pi]\Longrightarrow {argz=\frac{1}{2}(\vec{u};\vec{AM})[\frac{\pi}{2}]}[/tex].
Je ne sais pas comment interpréter cet argument.D'ailleurs je n'arrive pas à "isoler" le M.
J'ai pensé à utiliser en meme-temps le module de Z.Si M appartient à (d) z est un réel noté x et |z|=|x|
[tex]|Z|=\frac{x^2}{|x-1|}[/tex] .Si x >1 on a directement avec l'exploitation des variations de f M' appartenant à
[4;+oo[.Si x<1 je ne sais pas.
Merci pour tout.