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#1 03-12-2011 02:03:59
- alain01
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- Messages : 102
Définitions.
Bonjour à tous.
Je ne saisis pas toujours les nuances entre les dénominations mathématiques suivantes:
-corollaire
-lemme
-loi
-règle
-définition
-théorème
-propriété
-formule.
Tous est démontré à part les définitions et peut-etre les lois(on l'utise dans loi de composition..).Pourquoi alors utiliser tous ces termes à la place de théorème?Pourquoi ne démontre-t-on pas les définitions?Je pensais que seuls les axiomes étaient des indémontrables.
Merci beaucoup de m'éclairer.
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#2 05-12-2011 09:36:21
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 348
Re : Définitions.
Bonjour,
Je vais prendre un analogue sportif. Toutes les victoires ne sont pas des exploits.
Au tennis,
*gagner le 1er tour d'un tournoi peut être vu comme un lemme, une étape importante vers un résultat plus important.
*gagner le tournoi est un théorème.
* devenir numéro mondial est une conséquence d'avoir gagner le tournoi, c'est un corollaire.
Mais en réalité, bien sûr, il n'y a pas vraiment de définitions formelles à ce qu'est un théorème, une propriété,
un lemme,... C'est plutôt l'usage qui recommande d'utiliser l'un ou l'autre.
Les définitions, c'est complètement autre chose. Il vaut ici y voir le sens du dictionnaire.
Définir, finalement, c'est juste donner un nom à quelque chose.
Fred.
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#3 05-12-2011 17:05:10
Re : Définitions.
Bonjour,
Le point le plus délicat est la distinction entre définition, axiome et conjecture :
Une définition est l'association d'un terme avec une propriété mathématique. Exactement comme dans le dictionnaire. Il n'y a donc rien à montrer là-dedans. Pour donner une analogie, tu peux voir une définition comme étant l'équivalent papier de la fonction "rechercher et remplacer" de l'ordinateur : chaque fois que tu vois la définition, tu peux la remplacer sans réfléchir par ce qu'elle signifie. Une sorte de raccourci ou d’abréviation en quelque sorte.
Un axiome est une vérité première dans un système de logique, considérée comme "évidente", à partir desquelles toutes les autres sont démontrées. Un ensemble d'axiomes définit une théorie. La seule exigence que l'on a de l'ensemble d'axiomes de départ est la non contradiction. Non seulement ces axiomes sont indémontrables, mais on peut parfois les changer pour aboutir à d'autres théories tout aussi cohérentes. C'est le cas, par exemple, de la géométrie euclidienne, dont on peut changer le cinquième postulat pour aboutir à des géométries non euclidiennes, dont l'exemple le plus connu est la géométrie sphérique.
Enfin, une conjecture est une proposition mathématique dont on ne sait pas avec certitude si elle est vraie ou fausse. C'est la différence avec un axiome : un ensembles d'axiomes est toujours vrai dans le sens où il n'est pas contradictoire. Par contre, une conjoncture peut très bien être fausse, dans le sens où elle est contradictoire avec les axiomes de la théorie, ou au contraire être vraie, ce qui est équivalent au fait que son inverse soit faux, c'est à dire contradictoire avec les axiomes de la théorie.
En espérant avoir pu t'éclairer sur le sujet, et de ne pas t'avoir embrouillé encore plus.
A+
Dernière modification par thadrien (30-01-2012 12:16:23)
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#4 06-12-2011 00:42:56
- alain01
- Membre
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- Messages : 102
Re : Définitions.
Merci à vous Fred et Thadrien.C'est très clair.
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