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june06

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Exercices

Bonjour, j'ai des exercices niveau première S pourriez vous me dire si tout est OK et me donner une idée pour un car je bloque
SVP, merci d'avance :)

Pour les exos 1-2 et 3 je ne suis pas du tout sûr de mes résultats

Exo 1: Déterminer la fonction f' de la fonction [tex]f(x)=\frac{2x+1}{-x+2}[/tex] ; définie sur [tex]]2; +\infty[[/tex]

[tex]f=\frac{u}{v}[/tex] avec [tex]u(x)=2x+1[/tex] et[tex] v(x)=-x+2[/tex]

Donc f est dérivable lorsque [tex]v(x)\neq 0 \Leftrightarrow -x+2 \neq 0 \Leftrightarrow -x\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 2[/tex]

d'ou f est dérivable sur [tex]]2; +\infty[[/tex]
Donc [tex]f'(x)= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)²}[/tex]
[tex]=\frac{2(-x+2)-(2x+1)(-1)}{(-x+2)²}[/tex]
[tex]=\frac{(-2x+4)-(-2x-1)}{(-x+2)²}[/tex]
[tex]=\frac{5}{(-x+2)²}[/tex]

Exo 2: Determiner la fonction g' de la fonction [tex]g(x)= x(1+\sqrt x)[/tex]; définie sur[tex] ]0; +\infty[[/tex]

[tex]g=u\times v[/tex] avec[tex] u(x)=x[/tex] et [tex]v(x)=1+\sqrt x[/tex]

u est dérivable sur[tex] \mathbb{R}[/tex] et [tex] u'(x)=1[/tex]
v est dérivable sur [tex]]0; +\infty[[/tex] et [tex]v'(x)= \frac{1}{2\sqrt x}[/tex]

Donc g est dérivable sur [tex]]0; +\infty[[/tex] et [tex]g'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)[/tex]
[tex]=1(1+\sqrt x)+ x(\frac{1}{2\sqrt x}[/tex]
[tex]=1+\sqrt x+\frac{x}{2\sqrt x}[/tex]
[tex]=\frac{2\sqrt x+2+x}{2\sqrt x}[/tex]

Exo3: Determiner la fonction h' de la fonction [tex]h(x)= (x+\sqrt x)²[/tex]; définie sur [tex]]0; +\infty[[/tex]

[tex]h=u\times v[/tex] avec[tex] u(x)=x+\sqrt x[/tex] et [tex]v(x)=x+\sqrt x[/tex]

u et v sont dérivables sur [tex]]0; +\infty[[/tex] et [tex]u'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt x}[/tex] et   [tex]v'(x)=1+\frac{1}{2\sqrt x}[/tex]

Donc h est dérivable sur [tex]]0; +\infty[[/tex] et [tex]h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)[/tex]
[tex]=\left(1+\frac{x}{2\sqrt x}\right)(x+\sqrt x)+(x+\sqrt x)\left(1+\frac{x}{2\sqrt x}\right)[/tex]
[tex]=2x+2\sqrt x +4+\sqrt x[/tex]
[tex]=2x+3\sqrt x +4[/tex]

Exo 4: Soit P le courbe d'équation [tex]y=x[/tex]³
Ecrire une équation de la tangente T à P au point B d'abscisse 1
Montrer qu'il existe un point A de la courbe P pour lequel la tangente T' est parallèle a T
Ecrire l'équation de T'

Soit g,la fonction cube.
g est dérivable sur [tex]R[/tex] et [tex]g'(x)=3x²[/tex]
donc [tex]g'(1)=3[/tex] et [tex]g(1)=1[/tex]
d'ou [tex]T:y=g'(1)(x-1)+g(1)=3(x-1)+1=3x-2[/tex]

La tangente T' à pour coefficient directeur 3
d'ou[tex] g'(x)=3 \Leftrightarrow 3x²=3[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x²=1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=\sqrt 1 ou -\sqrt 1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x=1 ou x=-1[/tex]

Donc il existe un point A d'abscisse -1 pour lequel la tangente T' est parallèle a T

g est dérivable sur [tex]R[/tex] et [tex]g'(x)=3x²[/tex]
donc [tex]g'(-1)=3[/tex] et[tex] g(-1)=-1[/tex]
d'ou [tex]T:y=g'(-1)(x+1)+g(-1)=3(x+1)-1=3x+2[/tex]

Exo 5: k est une fonction polynôme du second degré. P, la représentation de k coupe l'axe (y'y) au point d'ordonnée 5. Au même point d'abscisse 2, P admet la même tangente que P' d'équation [tex]y=-2x²+4x+1[/tex]
Determiner la fonction k

k est une fonction dont la courbe coupe l'axe des ordonnées au point d'ordonnées 5, coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2

Pour celui-ci je bloque, pourriez vous m'aider SVP

Merci d'avance :)

yoshi

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Re : Exercices

Bonsoir,

Bienvenue à bord...
Tu as écrit :

[tex]h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left(1+\frac{x}{2\sqrt x}\right)(x+\sqrt x)+(x+\sqrt x)\left(1+\frac{x}{2\sqrt x}\right)[/tex]

Soit donc :
[tex]h'(x)=2\left(1+\frac{x}{2\sqrt x}\right)(x+\sqrt x)[/tex]
Pas d'accord...
[tex]h'(x)=2\left(1+\frac{1}{2\sqrt x}\right)(x+\sqrt x)[/tex]
mais simple erreur d'écriture, je pense, sinon on se retrouverait avec un [tex]x^2[/tex]...
Donc attention, quand tu rédigeras...
Par contre le 4 est faux : 2/2 ça ne fait pas 4...

Exo 5

Ta fonction polynôme k est de la forme [tex]k(x)=ax^2+bx+c[/tex]
Il ne reste plus qu'à déterminer a, b et c avec les infos qu'on t'a données...
[tex]k'(x)=2ax+b[/tex]
Tu peux donc exprimer le coefficient directeur à la courbe représentative de k au point d'abscisse 2, en fonction de a et b :
[tex]k'(2)=4a+b[/tex]
Maintenant tu sais que la tangente en question est la même que P' d'équation [tex]y=-2x^2+4x+1[/tex]
Si c'est la même tangente, elle a donc :
* même coefficient directeur,
* même ordonnée à l'origine.
Qu'attends-tu alors pour calculer l'équation de cette tangente à partir de l'équation de P' ?
Après, tu en déduiras a, b et c...

@+

june06

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Re : Exercices

Bonjour et merci beaucoup mais je ne comprend pas "Tu peux donc exprimer le coefficient directeur à la courbe représentative de k au point d'abscisse 2, en fonction de a et b" comment est ce que l'on trouve cela ?

A bientot :)

yoshi

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Re : Exercices

Bonsoir,

J'ai écrit :

Il ne reste plus qu'à déterminer a, b et c avec les infos qu'on t'a données...
[tex]k'(x)=2ax+b[/tex]
Tu peux donc exprimer le coefficient directeur à la courbe représentative de k au point d'abscisse 2, en fonction de a et b :
[tex]k'(2)=4a+b[/tex]

1. J'ai posé [tex]k(x) = ax^2+bx+c[/tex], la dérivée est donc [tex]k'(x) = 2ax+b[/tex]
2. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2 à la courbe représentative P de k est la valeur de cette dérivée au point d'abscisse 2, soit [tex]m = 2a \times 2+b = 4a+b[/tex]
L'expression cherchée est donc bien 4a +b

Que vaut le coefficient directeur au point d'abscisse 2 de la courbe P' d'équation [tex]y = -2x^2+4x+1[/tex] ?
[tex]y' = -4x+4[/tex] d'où [tex]m'= -4\times 2 + 4 = -4[/tex]
Et comme il s'agit de la même tangente, c'est le même coeff. dir. :
m =m'  d'où 4a+b =-4
Calculer l'équation de la tangente est superflu, en fait.

P et P' ont la même tangente au point d'abscisse 2. Appelons le A.
Donc A est sur les 2 courbes P et P'.

Si tu cherches à exprimer, l'ordonnée à l'origine de l'équation de la tangente en utilisant a, b et c, pour simplifier ton expression tu seras quand même obligé d'utiliser que A est sur les 2 courbes :  ça m'avait échappé n'ayant pas fait les calculs.
L' info à ne pas oublier (chronologiquement, la première donnée) est que P passe par B(0 ; 5), donc que c = ...
Donc, autant chercher c tout de suite, puis utiliser A et enfin le coefficient directeur de la tangente en A.

En résumé, pour suivre l'énoncé dans l'ordre d'apparition des infos :
1. Donner pour équation de P : [tex]y=ax^2+bx+c[/tex] (1)
2. Piocher dans l'énoncé que "P, la représentation de k coupe l'axe (y'y) au point d'ordonnée 5.", donc par B(0 ; 5).
    En déduire c.
    Remplacer c par sa valeur dans (1) tu obtiens une équation (2) avec a et b
3. Expliquer que les 2 courbes passent par A(2 ; ...) : tu vas calculer l'ordonnée correspondante en utilisant l'équation de P'.
    Donc remplacer dans (2), x et y par les coordonnées de A, tu obtiens une première équation à 2 inconnues a et b.
4. Refaire ce que je t'ai montré avec avec les dérivées pour arriver à 4a+b=-4 : 2e équation à 2 inconnues a et b.
5. Résoudre le système d'inconnues a et b

Ai-je été clair ?

@+

Dernière modification par yoshi (31-01-2012 09:56:31)

june06

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Re : Exercices

Bonjour

Donc c= 5 l'ordonnée du point ?

Merci a bientot

june06

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Re : Exercices

Donc je viens d'essayer de faire l'exercice et je trouve :

[tex]P[/tex] a pour équation [tex]y=ax²+bx+c[/tex]
On sait que [tex]k(0)=5[/tex] soit le point [tex]B(0;5)[/tex]

[tex]B(0;5) \in P \Leftrightarrow 5=a \times 0²+b\times 0+c[/tex]
[tex]\Leftrightarrow c=5[/tex]

Donc [tex]P[/tex] a pour équation [tex]y=ax²+bx+5[/tex]

On a [tex]k(x)= ax²+bx+c[/tex] d'où [tex]k'(x)= 2ax+b[/tex]

Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse [tex]2[/tex] à la courbe représentative de [tex]P[/tex] de [tex]k[/tex] est la valeur de cette dérivée au point d'abscisse [tex]2[/tex] soit 2[tex]a\times 2+b=4a+b[/tex]

Soit [tex]g[/tex], la fonction de la courbe [tex]P'[/tex] d'équation [tex]y=-2x²+4x+1[/tex]
[tex]g[/tex] est dérivable sur [tex]R[/tex] et [tex]g'(x)=-4x+4[/tex]
Le coefficient directeur de la tangente du point d'abscisse [tex]2[/tex] à la courbe représentative [tex]P'[/tex] de [tex]g[/tex] est la valeur de cette dérivée au point d'abscisse [tex]2[/tex] soit [tex]-4 \times 2+4=-4[/tex]
Comme [tex]P[/tex] et [tex]P'[/tex] ont la même tangente alors elles ont le même coefficient directeur
D'où [tex]4a+b=-4[/tex]

Soit [tex]A[/tex], le point d'abscisse [tex]2[/tex]
[tex]P[/tex] et [tex]P'[/tex] ont la même tangente au point d'abscisse [tex]2[/tex] donc [tex]A[/tex] est sur les deux courbes [tex]P[/tex] et [tex]P'[/tex]

[tex]A(2;y) \in P' \Leftrightarrow -2 \times 2^2+4\times 2+1=y[/tex]
[tex]\Leftrightarrow -8+8+1=y[/tex]
[tex]\Leftrightarrow1=y[/tex]

Donc [tex]A[/tex] a pour coordonnées [tex](2;1)[/tex]

Par conséquent [tex]1=a\times 2^2+2b+5 \Leftrightarrow 1=4a+2b+5
[/tex]
On résoud le système [tex]\begin{cases} 1=4a+2b+5\\4a+b=-4 \end{cases}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{cases} 1=4a+2b+5\\b=-4-4a \end{cases}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{cases} 1=4a+2(-4-4a)+5\\b=-4-4a \end{cases}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{cases} 1=4a-8+8a+5\\b=-4-4a \end{cases}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{cases} 1=-3-4a\\b=-4-4a \end{cases}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{cases} -1=a\\b=0 \end{cases}[/tex]

Donc [tex]P[/tex] a pour équation [tex]y=-x²+5[/tex]

Ensuite j'ai modifier l'exercice 3 car je m'étais tromper dans mes calculs, je trouve :

[tex]h=u \times v[/tex] avec[tex] u(x)= x+\sqrt x[/tex] et [tex]v(x)= x+\sqrt x[/tex]
[tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] sont dérivable sur ][tex]0;+\infty [[/tex] et [tex]u'(x)= 1+\frac{1}{2\sqrt x}[/tex] et [tex]v'(x)= 1+\frac{1}{2\sqrt x}[/tex]

Donc [tex]h[/tex] est dérivable sur [tex]]0;+\infty [[/tex] et [tex]h'(x) = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)= (1+\frac{1}{2\sqrt x})(x+\sqrt x)+ (x+\sqrt x)(1+\frac{1}{2\sqrt x})[/tex]
[tex]=2(1+\frac{1}{2\sqrt x})(x+\sqrt x)= (2+\frac{2}{2\sqrt x})(x+\sqrt x)= 2x+2\sqrt x +x\sqrt x + x=3x+2x\sqrt x[/tex]

Je ne suis pas encore sur de mes résultats

Et pour l'exercice 4 je me suis tromper d'énoncer, l'énoncer était: Soit [tex]C[/tex] la courbe d'équation [tex]y=\sqrt x[/tex] et [tex](d)[/tex] la droite d'équation [tex]y=x+3[/tex]
Démontrer qu'il existe un point [tex]A[/tex] de la courbe [tex]C[/tex] pour lequel la tangente [tex]T[/tex] est parallèle à la droite [tex](d)[/tex]
Ecrire une équation de [tex]T[/tex]

Je trouve:

La courbe [tex]C[/tex] est la représentation graphique de la fonction [tex]f[/tex] telle que [tex]f(x)=\sqrt x[/tex]
[tex]f[/tex] est dérivable sur [tex]]0;+\infty [[/tex] et [tex]f'(x)= \frac{1}{2\sqrt x}[/tex]

Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ont le même coefficient directeur.
Le coefficient directeur de la droite [tex](d)[/tex] est [tex]1[/tex]
Celui de la tangente à [tex]C[/tex] au point d'abscisse [tex]a[/tex] est [tex]f'(a)[/tex]
Donc on cherche à trouver [tex]a[/tex] tel que [tex]f'(a)=1 \Leftrightarrow \frac{1}{2\sqrt a}=1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 2\sqrt a=1[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt a=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a=\frac{1}{4}[/tex]

Par conséquent il existe un point en lequel la tangente à [tex]C[/tex] est parallèle à [tex](d)[/tex], ce point a pour abscisse [tex]\frac{1}{4}[/tex]

[tex]f'(\frac{1}{4})=1[/tex] donc la tangente est parallèle à la droite [tex](d)[/tex]

[tex]T:y=f'(\frac{1}{4})(x-\frac{1}{4})+f(\frac{1}{4})[/tex]
[tex]\Leftrightarrow T:y=1(x-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow T:y=x-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow T:y=x-\frac{3}{4}[/tex]

PS: la rédaction est elle correct

Merci d'avance :)
A bientot

yoshi

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Re : Exercices

Re,

Oui, l'équation de P est [tex]y =-x^2+5[/tex].
Je regarde le reste
Exercice 4.
C'est bon jusqu'à :
[tex]\Leftrightarrow T:y=x-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}[/tex]
Mais ça c'est faux (erreur qu'on commet en 4e, pas en 1ere S ;-) ) :
[tex]\Leftrightarrow T:y=x-\frac{3}{4}[/tex]

[tex]-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\neq -\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)[/tex]  s'pas ?
A rectifier, donc

Exercice 3 :
[tex]2\left(1+\frac{1}{2\sqrt x}\right)(x+\sqrt x)=2\left(x+\sqrt x + \frac{x}{2\sqrt x}+\frac{\sqrt x}{2\sqrt x}\right)=2\left(x+\sqrt x +\frac{\sqrt x}{2}+\frac 1 2\right)=\cdots[/tex]
A finir...

Sinon, la rédaction ne pose pas de problème.

@+

[EDIT]
Je trouve quand même ta résolution du système un peu laborieuse.
Dans [tex] 1 = 4a+2b+5[/tex], je propose de remplacer 4a+b par - 4 ainsi je tombe sur :
[tex]1 = -4+b+5[/tex] d'où b = 0.
Que je reporte dans [tex]4a+b=-4[/tex] pour obtenir a = -1...

Mais bon, c'est une affaire de goût...

Dernière modification par yoshi (01-02-2012 09:17:15)

june06

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Re : Exercices

Bonjours et merci beaucoup, en comparant mes résultats avec ceux de mes camarades j'ai vue que j'avais fais une erreur de calcul à l'exercice 2

En modifiant mon erreur de calcul je trouve donc [tex]g'(x)=1+\frac{3}{2}\sqrt x[/tex]

Ensuite j'ai refait les calculs de l'exercice 3 et je trouve [tex]h'(x)=2x+3\sqrt x +1[/tex]

Cela est-il juste ?

Merci d'avance :)
A bientot

yoshi

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Re : Exercices

Bonjour,

Oui, c'est juste, cette fois.
As-tu corrigé (exo 4) le  [tex]x-\frac 3 4[/tex]  en  [tex]x+\frac 1 4[/tex] ?
.
Pour ton exo2, cette ligne étant juste :
[tex]=1+\sqrt x+\frac{x}{2\sqrt x}[/tex]
je n'avais pas vérifié celle-là :
[tex]=\frac{2\sqrt x+2+x}{2\sqrt x}[/tex]
qui effectivement était fausse.
Plus simple aurait été de faire :
[tex]1+\sqrt x+\frac{x}{2\sqrt x}=1+\sqrt x+\frac{\sqrt x}{2}=1+\frac{3\sqrt x}{2}[/tex]

@+

june06

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Re : Exercices

Re, oui j'ai corrigé. Merci beaucoup :)

A bientot