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erichof

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Messages : 29

diférentes expressions du produit scalaire en première scientifique

Bonjour,
Le produit scalaire niveau lycée est présenté sous trois formes différentes :
FORME 1 : vect(AB) . vect(AC) = AB * AC * cos(angleBAC)   
OU FORME 2 : vect(AB) . vect(AC) = AB * AH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB) dans le cas où les vecteurs AB et AH sont de même sens (le produit scalaire serait négatif si les vecteurs AB et AH étaient de sens contraires).
OU FORME 3 : vect(AB) . vect(AC) = 1/2 (AB^2 + AC^2 - BC^2).
J'arrive à prouver que les formes 1 et 2 sont équivalentes mais je n'arrive pas à montrer la forme 3 en partant de la forme 1 ou 2, ni à montrer la réciproque : partir de la forme 3 et montrer la forme 1 ou 2.
Les livres de lycée conjecturent cette équivalence mais je ne trouve pas de preuve.
Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement,
Cédric.

abdoullah

Invité

Re : diférentes expressions du produit scalaire en première scientifique

Bonjour
pour ta troisième proprèté
on a ||vect(AB)+vect(AC)||²=AB²+AC²+2vect(AB).vect(AC)
donc: vect(AB).vect(AC)=(1/2)*(||vect(AB)+vect(AC)||²-AB²-AC²)
alors je pense qu'il y a un petit malaise dans ta propriété 3
en plus quand on est dans l'etat un rectangle , carre , triangle isossele en A
on a ||vect(AB)+vect(AC)||=BC et là : vect(AB).vect(AC)=(1/2)*(BC²-AB²-AC²)
mais la relation que je tes ecrite en haut est la plus générale.
cordialement.

Cédric

Invité

Re : diférentes expressions du produit scalaire en première scientifique

Bonsoir,
Je confirme l'exactitude de la forme 3 :
vect(u) . vect(v) = 1/2 ( (norme de u)^2 + (norme de v)^2 - (norme de v-u)^2)
Par contre dans votre exemple du rectangle on n'a pas vect(AB)+vect(AC)=vect(BC) mais vect(AB)-vect(AC) etc.
Cédric

jeannot23

Invité

Re : diférentes expressions du produit scalaire en première scientifique

Bonjour,

à partir de la forme 3 =1/2(AB²+AC²-BC²)
=1/2*( (AH+HB)² +(AH²+CH²) - (HB²+CH²) )
=1/2*( AH²+ 2*AH*HB + HB² + AH² + CH² - HB² - CH²)
=1/2*(2*AH² + 2*AH*HB )
=AH*(AH+HB) = AH*AB qui est la forme 2 !

Cocovista

Membre

Lieu : Villeurbanne

Inscription : 14-01-2012

Messages : 17

Re : diférentes expressions du produit scalaire en première scientifique

et comme tu passes de la forme 2 à la forme 1 aussi facilement que ça :
vect(AB).vect(AC) = vect(AB).vect(AH) + vect(AB).vect(HC), or vect(AB).vect(HC) = 0 car vect(AB) orthogonal à vect(HC)
vect(AB).vect(AC) = AB*AH*Cos(AHB) or Cos(AHB) = 1 ou -1 car vect(AB) et vect(AH) colinéaires.

Tu as bien un lien entre forme 3 et 2 ainsi que 2 et 1 et donc entre 3 et 1

Dernière modification par Cocovista (14-01-2012 19:30:25)