Exercice sur les vecteurs

Raah · 29-10-2011 18:27:22

Posté par Raah

Bonjour a tous et a toutes! Je dois faire un exercice sur les vecteurs pour la rentrée, mais j'ai du mal avec les dernières questions..

1. Soit G le point défini par vecteur : AG = 2/3 AB
démontrer que GA + 2GB = 0

2.soit H un point tel que 2HB + 3HC = 0
demontrer que BH = 3/5 BC

3.Soit K un point tel que KA+3KC = 0
exprimer Ak en fonction de AC

4.Soit L un pt tel que LA + 2LB +3LC = 0
Démonter que AL = 1/3 AB + 1/2 AC

5.démonter que LA+2LB = 3LG et en déduire que L est le milieu de [GC]

6. a) exprimer 2LB + 3LC en fonction de LH
b) en déduire que L, A et H sont alignés.

7. Procéder de manière analogue pour montrer que le point L appartient à la droite (KB).

8. Que peut-on dire des droites (GC), ( HA) et (KB)?

J'ai déjà répondu a toutes les questions jusqu'à la numéro 5. J'aurais donc besoin d'aide pour les questions 5 à 8.
Si vous pouviez m'aider s'il vous plait? Merci d'avance :)

yoshi · 29-10-2011 19:57:40

Salut,

Bienvenue à bord...
Bon, pour t'aider, il faudrait d'abord que je comprenne ton énoncé...
Q1 : je suppose qu'il existe un segment [AB]. Passe encore...
Q2 Et voilà un 3e point C qui ramène sa fraise... N'aurais-tu pas oublié de dire au départ qu'on partait d'un triangle quelconque ABC ?
Parc que là ton point C, il est où ? sur [AB] en dehors de [AB] ?

@+

yoshi · 29-10-2011 20:16:40

Re,

Après vérification, cela ne peut être que ça...
La 4e question te dit que :
\(\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\vec 0\)
Et Q6 te demande d'exprimer :
\(2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}\) en fonction de \(\overrightarrow{LH}\)...
Ne vois-tu pas le rapport ?
D'autant que tu veux arriver à montrer que L, A et H sont alignés, donc que \(\overrightarrow{LA}+k.\overrightarrow{LH}=\vec{0}\)
Soit encore \(\overrightarrow{LA}=k'.\overrightarrow{LH}\) condition de colinéarité...

Donc yaka faire ce qu'on te demande :
1. Exprimer :
\(2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}\) en fonction de \(\overrightarrow{LH}\)
Relation de Chasles en passant par H.
2. Remplacer \(2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}\) en fonction de \(\overrightarrow{LH}\) dans l'égalité :
\(\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\vec 0\).
3. Mettre en évidence que \(\overrightarrow{LA}=k'.\overrightarrow{LH}\)

Tu devrais pouvoir poursuivre...

@+

Raah · 29-10-2011 21:24:50

Bonsoir!
Merci beaucoup pour votre aide!
Alors en effet je suis désolée, j'ai oublié de préciser qu'il s'agit d'un triangle ABC quelconque!

Donc en suite, pour la question 6, j'ai fais:

2LB+3LC
= 2(LH+HB) +3(LH+HC)
= 5LH + 2HB + 3HC

D'où LA + 2LB + 3LC = 0
LA + 5LH + 2HB + 3HC = 0

Mais après je ne comprends pas comment faire pour la suite..

Merci encore pour votre aide!

yoshi · 29-10-2011 22:36:58

RE,

A partir de là, c'est fin à 98% :
1. La 2e question t'a dit que : \(2\overrightarrow{HB}+3\overrightarrow{HC}=\vec 0\), non ?
Ah, les vecteurs, quel tourment !

2. Tu passes de
\(\overrightarrow{LA}+5\overrightarrow{LH}=\vec 0\) à \(\overrightarrow{LA}= -5\overrightarrow{LH}\)
Tu as bien montré qu'il existe k (ici k = -5) tel que \(\overrightarrow{LA} = k.\overrightarrow{LH}\) ce qui est la condition de colinéarité de 2 vecteurs vue en 2nde, non ?
Et si ces vecteurs sont colinéaires, les points L, K et H aussi...

Ça te va ?

@+

Raah · 30-10-2011 12:13:52

Ah d'accord! Mais que fait-on du 2HB + 3HC ? On peut tout simplement le supprimer?

yoshi · 30-10-2011 13:06:38

Re,

\(2\overrightarrow{HB}+3\overrightarrow{HC}=\vec 0\)
La somme vaut : vecteur nul...
Le vecteur nul, c'est l'équivalent du 0 pour les nombres dans l'addition, non ?
Quand tu ajoutes le vecteur nul à un vecteur donné, tu obtiens quoi ?

@+

Raah · 30-10-2011 13:25:49

Ah oui, j'avais oublié que c'était un vecteur nul! D'accord c'est bon je viens de comprendre comment on passe a LA = -5LH!
Donc il y a colinearité, et les points L, A et H sont donc alignés.

Pour exprimer 2LB + 3LC en fonction de LH, on doit donc écrire : ?
2LB+3LC
= 2(LH+HB) +3(LH+HC)
= 5LH + 2HB + 3HC

yoshi · 30-10-2011 15:02:27

Re,

Oui, bien sûr !

@+

Raah · 30-10-2011 15:30:41

Ok merci! Pour la question 5 j'ai fais :

LA + 2LB = LA+ 2(LA + AB)
= 3LA +2AB
= 3*(-1/3AB -1/2AC) +2AB
= -AB -3/2AC +2AB
= AB -3/2AC

LG = LA + AG
= -1/3AB -1/2AC +2/3AB
= 1/3AB -1/2AC

D'où : LA + 2LB = 3(1/3AB -1/2AC)
= 3LG

Mais comment en déduire que L est le milieur de [GC]?

yoshi · 30-10-2011 15:47:11

Re,

Si tu ne mets pas le nez dans les résultats précédents, tu n'y arriveras pas.
Je les ressors du tiroir sous les chaussettes pour toi
Tu viens de montrer que [tex]\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}=3\overrightarrow{LG}[/tex]
Or il se trouve (Q4) que tu sais aussi que : \(\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\vec 0\), qui s'écrit encore :
\(\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}=-3\overrightarrow{LC}\)

Et maintenant, tu vois ?

@+

Raah · 30-10-2011 16:00:18

Ah oui! Mais je n'y pense jamais a prendre les résultats précédents, alors que je devrais..!
Alors je vois le rapport, mais je ne sais pas vraiment comment rédiger la réponse..:

LA +2LB +3LC = 0
LA + 2LB = -3LC
= 3LG

comment dois-je continuer?

amatheur · 30-10-2011 17:13:41

salut
essais de faire un petit schéma et tu verras que tu as le résultat sous le nez.

Raah · 30-10-2011 17:26:38

Je viens de faire le schéma. Je vois le résultat mais je n'arrive toujours pas a le rédiger..!
Je peux dire que les deux vecteurs sont égaux, sont confondus et de rejoignent en un meme point L, dont l est le milileu de [GC]

Est-ce que ça pourrait aller?

Et pour la question 7, je dois développer KA+3KC = 0 avec la relation de chasles non?

yoshi · 30-10-2011 17:38:34

Re,

Pourtant, ça te crève les yeux :
[tex]\begin{cases}\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}&=-3\overrightarrow{LC}\\\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}&=\quad 3\overrightarrow{LG}\end{cases}[/tex]
Et maintenant, tu ne vois toujours pas quelle 3e égalité tu vas tirer des 2 que tu as sous le nez ?
(Si tu sais que x = y et x = z tu en déduis quoi pour y et z ?)

@+

[EDIT]
Recense toutes les égalités vectorielles qui traduisent la phrase : L est le milieu de [GC].
Parmi elles, se trouve la 3e égalité que je veux te faire trouver...

Raah · 30-10-2011 17:44:55

3CL + 3LG = 3CG ?
Donc L est le milieu de segment [GC]

C'est bon?

Dernière modification par Raah (30-10-2011 17:46:02)

yoshi · 30-10-2011 18:19:53

Re,

Non...
Prends 3 points, P, R, ST n'importe où.
Tu peux toujours écrire que
[tex]\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{PS}[/tex]
et donc que
[tex]3\overrightarrow{PR}+3\overrightarrow{RS}=3\overrightarrow{PS}[/tex]
Est-ce que ça prouve quoi que ce soit ?

Je reprends ma question en la complétant, et cette fois réponds-y :
si tu as
[tex]\begin{cases}x&=3y\\x&=3z\end{cases}[/tex]
quelle conclusion en tires-tu pour3y et 3z ? pour 3y-3z ?

Si tu as répondu à la question ci-dessus, réponds à celles-ci :
tu sais que
[tex]\begin{cases}\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}&=-3\overrightarrow{LC}\\\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}&=\quad 3\overrightarrow{LG}\end{cases}[/tex]
quelle conclusion en tires-tu pour
[tex]-3\overrightarrow{LC}[/tex] et [tex]3\overrightarrow{LG}[/tex] ?
donc pour
[tex]3\overrightarrow{LC}+3\overrightarrow{LG}[/tex] ?
Et enfin pour :
[tex]\overrightarrow{LC}+\overrightarrow{LG}[/tex] ? ([tex]\overrightarrow{LC}+\overrightarrow{LG}= ?[/tex])

J'attend une réponse à chacune de mes questions.

@+

Raah · 30-10-2011 18:46:18

Je n'ai pas vraiment compris, mais pour moi:

3y et 3D dont équivalents, donc 3y-3z vaut 0.
-3LC et 3LG sont égaux donc -3LC + 3LG vaut 0 (vecteur nul)

Est-ce bon pour le début ?

yoshi · 30-10-2011 19:34:59

Salut,

Mais si, tu as compris !
Oui,
Et donc :
[tex]\overrightarrow{LC}+\overrightarrow{LG}=\vec 0[/tex]
Voilà qui suffit pour répondre à la question posée...

Donc, on continue...
Q5, Q6 et Q7 : tout part de là :
\(\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\vec 0\) (1)
La Q7 sans aide est loin d'être évidente...
Il faut penser à repartir de l'égalité ci-dessus et être observateur...

Bon (en parlant d'observateur), je vois qu'on peut aller un poil plus vite et plus simple, ça m'avait échappé...
Dans l'égalité (1) \(\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\vec 0\) , on remplace directement
* pour la Q5 : [tex] \overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}[/tex] par [tex]3\overrightarrow{LG}[/tex]
et on tombe tout de suite sur [tex] 3\overrightarrow{LG}+3\overrightarrow{LC}=\vec{0}[/tex]

* pour la Q6 : [tex]2\overrightarrow{LB}[/tex] par [tex]3\overrightarrow{LG}[/tex] par [tex]5\overrightarrow{LH}[/tex]
pour arriver à écrire que
[tex]\overrightarrow{LH}=k.\overrightarrow{LA}[/tex] où k est un nombre fractionnaire, ce qui vérifie la condition de colinéarité...

Q7.
On repart de \(\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\vec 0\)
Et on cherche à exprimer [tex]\overrightarrow{LA}+3\overrightarrow{LC}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{LK}[/tex]

Pourquoi ai-je dit : être observateur ?
J'observe que G est placé entre A et B, et on a exprimé [tex]\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{LG}[/tex].
Pour arriver à la conclusion que L, G, C alignés (conséquence de L milieu de [GC]

J'observe que H est placé entre B et C, et on a exprimé [tex]2\overrightarrow{LA}+3\overrightarrow{LC}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{LH}[/tex].
Pour arriver à la conclusion que L, A, H alignés.

J'observe que [tex]\overrightarrow{LA}+2\overrightarrow{LB}[/tex] et [tex]2\overrightarrow{LA}+3\overrightarrow{LC}[/tex] sont des morceaux de l'égalité (1)
Alors je me dis que puisque K est entre A et C il faut que j'exprime [tex]\overrightarrow{LA}+3\overrightarrow{LC}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{LK}[/tex]
et remplacer dans (1) pour arriver à [tex]\overrightarrow{LK}=k.\overrightarrow{LB}[/tex], ce qui vérifie la condition de colinéarité...

Q8...
L, G, C alignés
L, H, A alignés
L, K, B alignés
et alors ?

@+

Raah · 30-10-2011 20:54:41

Merci beaucoup je viens de tout comprendre pour une fois!
Donc les droites (GC), (HA) et (KB) sont concourantes car elles se coupent en un point : L.

Ai-je raison?

amatheur · 30-10-2011 21:11:04

salut
dans un vocabulaire mathématique plus correcte, il faut dire que ces droites sont concourante, parce qu'il existe un point, à savoir L, qui appartient à toute ces droites à la fois.

Raah · 30-10-2011 21:11:17

Mais par contre je vois mal comment rédiger la question 7...
Je dois juste expliquer comme vous l'avez redigé, ou je dois détailler les calculs?

yoshi · 30-10-2011 21:45:54

Re,

Q8
Oui Raah, ta réponse est effectivement bonne avec une précision supplémentaire : elles sont concourantes au point L...
Pour le rédiger correctement, tu reprends chaque observation et tu complètes en ajoutant :
donc [tex]L \in [GC)[/tex]
donc [tex]L \in (...)[/tex]
donc [tex]L \in (...)[/tex]
Puis tu enchaînes en disant que le point L appartient donc aux aux 3 droites (et tu donnes leur nom, dans l'ordre des observations et enfin tu réponds en reprenant les mêmes termes que dans la qiestion et tu ajoutes comme au début de ce post, la précision manquante.

Q7.
Pour la rédaction, il est inutile de reprendre les observations que je t'ai citées : elle n'étaient là que pour te faire comprendre comment j'en suis arrivé à penser qu'il fallait procéder.
Ce comment, ce cheminement de la pensée manque souvent dans les explications que donnent, en général, les profs (personnellement, je m'y astreignais systématiquement à chaque exo ou question) sortant un peu de la routine...

Non, toi, tu vas reprendre le cheminement tracé dans la question 6.
J'écrirais, en copiant donc la Q6 :

7 a) Exprimons [tex]\overrightarrow{LA}+3\overrightarrow{LC}[/tex] en fonction de [tex]\overrightarrow{LK}[/tex]
Tu mets alors tes transformations pour arriver à [tex]4\overrightarrow{LK}[/tex]...
b) Là tu vas déduire de ce qui précède que L, K, B sont alignés :
On vient de montrer que ... (et tu rappelles alors) ton résultat précédent)
Or, on sait d'après la Q4 que .... (et là tu rappelles l'égalité que j'ai numérotée (1) dans mon post précédent)
Et tu ajoutes :
Remplaçons maintenant dans cette égalité : [tex]\overrightarrow{LA}+3\overrightarrow{LC}[/tex] par [tex]4\overrightarrow{LK}[/tex] (puis tu le fais...)
Là, tu divises les 2 membres de l'égalité par 2 et tu places [tex]\overrightarrow{LB}[/tex] et [tex]2\overrightarrow{LK}[/tex], chacun dans un membre différent (attention aux signes)...
et tu fais référence à la condition de colinéarité des vecteurs, tu conclus sur les vecteurs, puis sur l'alignement demandé...

Ça te va ?

@+

Raah · 30-10-2011 21:54:24

D'accord! Je vous remercie vraiment pour votre aide!
Vous avez vraiment cherché a m'expliquer l'exercice, et pas seulement a me donner des indications pour répondre aux questions..
Je vous souhaite une bonne soirée, et je m'en vais rédiger mon exercice!

yoshi · 30-10-2011 22:34:48

Re,

ok !

Pour concourantes, voir ici :
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … antes.html

Il faut bien apporter la précision "au point L" ou, peut-être plus français", "en L"...
Sinon, le prof peut très bien te dire que ta conclusion est incomplète parce que, en réalité, tu n'as trouvé le point d'intersection...
C'est de la mauvaise foi, certes, mais si tu ne précises pas il ripostera en te disant : ce n'est pas écrit, et il aura raison...
Voilà comment au lieu d'avoir 20, on a... 19,75 !
Juste pour faire enrager et faire que la fois suivante, tu serres encore plus les boulons... ;-)

@+

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Exercice sur les vecteurs

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