L'avion

Fred · 13-10-2011 20:53:17

Hello,

Voici une petite énigme probabiliste (enfin, presque) pour dégourdir vos neurones.

Dans un avion, chaque passager a sa place numérotée. Mais le premier des passagers de cet avion rempli décide de s’asseoir au hasard dans l’appareil plutôt que de s’asseoir forcément à sa place. Les passagers suivants entrent un à un. Ils prennent leur place si elle est libre, sinon s’assoient au hasard. Quelle est la probabilité pour que la dernière personne à entrer s’assoit à sa place ?

Bonne nuit....

Fred.

tibo · 13-10-2011 23:31:57

Salut,

Pas trop d'idée pour l'instant
Il faudrait savoir c'est un ULM ou un charter,
En espérant que le pilote ne joue pas à ce jeu...

soit n le nombre de place
et P la probabilité que la dernière personne à entrer s'assoit à sa place

▼conjecture

totomm · 13-10-2011 23:45:23

Bonsoir,

▼Pas tout à fait la réponse

jpp · 14-10-2011 05:24:28

Bonjour.

je penserais à

▼Texte caché

mais j'ai quand meme un doute.

à plus.

Dernière modification par jpp (14-10-2011 06:53:29)

tibo · 14-10-2011 09:23:17

Salut,

▼remarque sur la solution de jpp

Numérotons chaque passager par ordre d'entrée dans l'avions
premier passager --> 1, second passager --> 2, ..., dernier passager --> n
(notation peut-être triviale, mais autant que ce soit clair)

Numérotons aussi chaque siège par le numéro du passager à qui elle était destiné
siège 1 = siège initialement réservé pour le passager 1
...
siège n = siège initialement réservé pour le passager n

on a donc P=probabilité que le passager n s'assied sur le siège n

▼remarque générale

PS: je ne suis pas sûr d'avoir bien conjugué le verbe s'asseoir. Faut dire qu'il est assez moche

totomm · 14-10-2011 10:11:55

Bonjour,

▼ proposition fausse

Cordialement

Dernière modification par totomm (14-10-2011 11:32:38)

freddy · 14-10-2011 10:17:00

Salut,

▼suggestion

Entre temps, tonton a trouvé !

Dernière modification par freddy (14-10-2011 10:17:31)

jpp · 14-10-2011 11:53:55

Salut.

j'avais mal lu mon texte

et finalement

▼Texte caché

Dernière modification par jpp (14-10-2011 12:24:27)

Fred · 14-10-2011 12:20:09

jpp a écrit :

si le premier refuse sa place , le dernier n'a aucune chance de trouver sa place.

Je ne suis pas d'accord. Prends un avion à 3 places :
si le premier choisit sa place, c'est ok pour le dernier.
si le premier prend la place du deuxième, le deuxième peut prendre la place du premier ou du dernier, s'il prend la place du premier,
le dernier s'assoit à sa place....

Il me semble que la conjecture de Tibo est à creuser (et à dérécurrencer... dieu que c'est moche!)

Fred.

jpp · 14-10-2011 12:29:35

re
Fred,
tu as raison si le premier qui ne trouve pas sa place , prend par hasard la place du tout premier , chacun , sauf les 2 en question, trouve sa place y compris le dernier. donc il faut encore chercher.

Dernière modification par jpp (14-10-2011 12:30:10)

totomm · 14-10-2011 15:33:06

Bonsoir,

▼Solution confirmée

freddy · 14-10-2011 16:31:09

Dans un avion, chaque passager a sa place numérotée. Mais le premier des passagers de cet avion rempli décide de s’asseoir au hasard dans l’appareil plutôt que de s’asseoir forcément à sa place.
Les passagers suivants entrent un à un. Ils prennent leur place si elle est libre, sinon s’assoient au hasard.
Quelle est la probabilité pour que la dernière personne à entrer s’assoit à sa place ?

Salut,

j'ai lu trop vite ce matin et n'ai pas vu l'obéissance civile des [tex] n-1[/tex] derniers passagers !

J'avais voulu comprendre que tout le monde choisissait sa place au hasard, et donc la proba de tontonm était correcte.

Effectivement, il faut récurer, genre : si n = 2 alors p = 1/2

si n= 3, alors p est composée de la proba que 1 prenne sa place, soit 1/3, ou bien qu'il prenne la place de 2 (soit 1/3) et que 2 prenne la place de 1, soit 1/2, donc p = 1/3(1+1/2) = 1/2 ;

n = 4 donc soit 1 prend sa place, 1/4, soit il prend la place de 2 ou 3 (2/4)

S'il a pris la place de 2, ce dernier peut prendre celle de 1 (1/3), ou bien de 3 (1/3) et 3 peut prendre celle de 1 avec 1/2.

Donc p = 1/4 + 2/4(1/3+ 1/3*1/2) = 1/4+2/4(1/2) = 1/2

Bon, ensuite faut trouver la bonne formalisation ...

(...)

Dernière modification par freddy (14-10-2011 17:18:54)

jpp · 14-10-2011 19:07:52

Bonsoir.

dans un avion à 2 places la proba est de 0.5 puisqu'il y a 2 situations possibles : ou le premier passager prend sa place , ou il prend celle de 2 p=0.5

maintenant dans un avion à n places , si le premier prend la place du (q+1)^ième passager , on peut dire

que , du second passager au q^ième passager tout le monde est à sa place . Il reste donc (n-q) passagers

ou le (q+1)^èmepassager devient le premier passager d'un avion de n-q places.

maintenant si n-q = 2 alors , par récurrence la proba est toujours 0.5 car il reste 2 places à prendre,puisqu'elle a été démontrée pour n=2 .

à plus.

totomm · 14-10-2011 21:09:27

Bonsoir,

Considérant les sièges comme les passagers numérotés de 1 à n,
Je propose un raisonnement simple (simpliste ?) qui rejoint des arguments déjà donnés :

Quand arrive le dernier passager, les sièges de 2 à (n-1) sont forcément occupés car les passagers de 2 à n-1 ont occupé leur siège s'il était libre à leur arrivée.
Et il ne reste qu'un seul de deux sièges, soit le 1, soit le n-ième, susceptibles d'être restés libres ou occupés, car aucun passager de 1 à n-1 ne les a différenciés. Donc ces 2 sièges ont chacun le même probabilité = 1 / 2 d'être libres. C.Q.F.D.

Cordialement

freddy · 14-10-2011 21:46:54

(...)
je continue et remarque ensuite que pour n quelconque, soit il occupe sa place ([tex]\Pr=\frac1n[/tex]), soit il occupe les places de 2 à n-1 (disons la place n° q) et on repart sur le calcul de la proba p avec q places, soit [tex]\frac12[/tex] comme supposé.

Donc [tex] p=\frac1n + \frac{n-2}{n}\times \frac12=\frac12 [/tex]

Bb

totomm · 15-10-2011 08:37:48

Bonjour,

Fred me pardonnera de généraliser sa démarche :

Quand plusieurs passagers sont déjà assis, un passager prend lui aussi une place au hasard, et peut-être plus tard encore un autre fait de même. Quelle est la probabilité pour que la dernière personne à entrer s’asseye à sa place ?

Cordialement

totomm · 17-10-2011 20:56:40

Bonsoir,

Solution généralisée :
Si N est le nombre de passagers (et de places) numérotés de 1 à N,
la probabilité que le p-ième passager trouve sa place libre en entrant dans l'avion est \(\frac{N-p+1}{N-p+1+k}\).
k étant le nombre de passagers qui, avant lui, se sont assis au hasard
sans regarder si la place qui leur était affectée était libre.

Cordialement

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 13-10-2011 20:53:17

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