Théorie de Galois

imed · 26-09-2011 15:48:54

Bonjour,

J'ai lu quelques articles sur la Théorie de Galois. mais je ne vois toujours pas le rapport avec ce qu'on sait déjà.

quelqu'un peut il sur un exemple quelconque de polynome du 2nd degrés nous indiquer:

- le Groupe de Galois
- corps de décomposition
- corps de rupture....

Merci

Fred · 26-09-2011 20:30:49

Bonjour,

On peut essayer. Pour [tex]P(X)=X^2+1[/tex], les racines sont i et -i.
Son corps de décomposition est [tex]\mathbb Q[ i ]=\{a+ib;\ a,b\in\mathbb Q\}[/tex].
Le groupe de Galois de [tex]P[/tex] est l'ensemble des automorphismes de [tex]\mathbb Q[ i ][/tex]
laissant [tex]\mathbb Q[/tex] invariant. Nécessairement, un tel automorphisme, puisqu'il préserve
[tex]P[/tex], envoie une racine de P sur une racine de P. On en déduit l'existence de simplement
deux tels automorphismes : l'identité, et [tex]\sigma[/tex] défini par [tex]\sigma(a+ib)=\sigma(a-ib)[/tex]

Fred.

imed · 27-09-2011 09:26:36

Merci Fred.
je vois un peu mieux.
mais essaions avec P(x)=x3-3x+1 (à priori, on ne connait pas les racines)

Mon objectif est de voir l'utilité de la théorie de Galois dans la résolution des équa. algébrique

imed · 28-09-2011 11:51:49

Je pose ma question differement:

Est ce qu'on peut trouver les racines d'une équation algébrique grace à la théorie de Galois.
ou bien cette théorie permet seulement de déterminer si l'equa. et résoluble par radicaux fct des coefficient du polynome.

s'il faut se casser le C** à étudier les corps, les extensions normales, séparables et le Groupe de Galois.... pour savoir si les racines sont exprimables (sans pouvoir les exprimer) algébriquement en fct des coefficient....maigre consolation....

Dernière modification par imed (29-09-2011 12:11:47)

Fred · 28-09-2011 12:12:29

Désolé imed, je passe mon tour pour le moment, je n'ai pas le temps d'y réfléchir...

Fred · 29-09-2011 15:00:31

A vrai dire, la théorie des Galois n'est pas faire pour résoudre explicitement une équation par radicaux, si on peut le faire.
Essaie déjà de calculer le groupe de Galois d'un polynôme un peu compliqué... ce n'est pas si facile, et c'est encore une branche de recherche actuelle (la théorie de Galois effective).
En revanche, la théorie de Galois, c'est un merveilleux outil théorique, qui combine avec beaucoup d'élégance algèbre linéaire, théorie des corps et théorie des groupes.

Fred.

pedestre · 01-10-2011 19:44:28

Bonjour,

Comme dit par ailleurs, la théorie de Galois n'a pas pour objet le calcul des racines avec des radicaux, ce calcul étant impossible en général dès que le degré dépasse 4. Pour les degrés [tex]\leq 4[/tex] on dispose de formules depuis la Renaissance (et la plus haute antiquité pour le degré 2).

Quelque mots sur le polynôme [tex]P(X)=X^3-3X+1[/tex].

On voit immédiatement en étudiant la fonction qu'il y a 3 racines réelles [tex]\alpha,\;\beta,\;\gamma\;\;[/tex] avec [tex]-2<\alpha<-1<\beta<1<\gamma<2[/tex].

P(X) est irréductible sur le corps de base [tex]\mathbb Q\;[/tex] (plus petit corps contenant les coefficients). Vérifions cela: Si P(X) était le produit de 2 polynômes non constants, l'un de ces diviseurs serait de degré 1, ce qui signifierait que P(X) possède une racine rationnelle [tex]\;\frac{a}{b}\;[/tex] (on suppose a et b premiers entre eux et b [tex]\in \mathbb N^*[/tex]). On aurait donc [tex]a^3=3 ab^2 +b^3.\,[/tex] b divisant le second membre diviserait le premier et diviserait [tex]a[/tex]. Mais comme a et b sont premiers entre eux, nécessairement on aurait b=1 et donc la racine serait entière, ce qui est exclu.

L'irréductibilité de P(X) entraîne qu'il ne peut exister de polynôme Q(X) de [tex]\mathbb Q[X][/tex] non nul de degré < 3 admettant l'une des racines de P(X). En effet si c'était le cas, P(X) et Q(X) ayant une racine commune complexe (réelle ici, d'ailleurs) auraient un pgcd non constant de degré <3. Le calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide montre qu'en fait ce pgcd [tex]\in \mathbb Q[X][/tex]. Ceci est impossible par irréductibilité de P(X). P(X) est un polynôme de degré minimal admettant [tex]\alpha[/tex] comme racine. En fait on vérifie (par division) qu'il est unique si on impose en plus qu'il soit unitaire. Ce polynôme porte le nom de polynôme minimal de [tex]\alpha[/tex] . En fait c'est aussi celui de [tex]\beta[/tex] et [tex]\gamma[/tex].

Construction d'un corps de rupture.
Choisissons l'une des racines de P(X), soit par exemple [tex]\alpha[/tex]. Nous cherchons une extension du corps de base qui contienne [tex]\alpha[/tex] et qui soit minimale par inclusion. Un tel corps sera dit un corps de rupture de P(X). Il se notera [tex]\mathbb Q[\alpha][/tex].
Montrons que [tex]\mathbb Q[\alpha]=\{a\;\alpha^2+b\;\alpha+c\;/\,(a,b,c)\in \mathbb Q^3\}[/tex].
On peut en effet démontrer facilement que les axiomes des corps sont bien vérifiés. Seuls 2 problèmes:
- la stabilité pour le produit: Ne pas oublier que [tex]P(\alpha)=0[/tex], ce qui entraîne que la valeur pour [tex]\alpha[/tex] de tout polynôme rationnel est égale à celle du reste de la division par P(X).
- L'existence de l'inverse d'un élément non nul: Remarquer d'abord que [tex]a\;\alpha^2+b\;\alpha+c[/tex] ne peut être nul que si [tex]a=b=c=0[/tex]. En effet si a,b,c ne sont pas tous trois nuls, la condition [tex]a\;\alpha^2+b\;\alpha+c=0[/tex] entraînerait l'existence du polynôme de degré 2 [tex]aX^2+bX+c[/tex] admettant la racine [tex]\alpha[/tex], ce qui est impossible comme on l'a vu.
Soit donc [tex]a\;\alpha^2+b\;\alpha+c\;\neq\,0[/tex]. Comme les polynômes [tex]aX^2+bX+c[/tex] et P(X) de [tex]\mathbb Q[X][/tex] sont premiers entre eux (P(X) irréductible) il résulte du théorème de Bézout qu'il existe 2 polynômes U(X) et V(X) [tex]\in \mathbb Q[X][/tex] vérifiant [tex]U(X)(aX^2+bX+c)+V(X)P(X)=1[/tex]. En faisant [tex]X=\alpha[/tex] on voit que [tex]U(\alpha)(a\;\alpha^2+b\;X+c)=1[/tex]. Ainsi [tex](a\;\alpha^2+b\;X+c)^{-1}=U(\alpha)[/tex].

Inversement un corps contenant [tex]\mathbb Q[/tex] et [tex]\alpha[/tex] contient nécessairement tous les nombres [tex]a\;\alpha^2+b\;\alpha +c[/tex] que nous venons de voir. Ceci achève la démonstration.

A suivre dans un prochain message.

Pierre (Pedestre)

Dernière modification par pedestre (08-10-2011 18:08:50)

Groupoid Kid · 01-10-2011 21:58:09

imed a écrit :

s'il faut se casser le C** à étudier les corps, les extensions normales, séparables et le Groupe de Galois.... pour savoir si les racines sont exprimables (sans pouvoir les exprimer) algébriquement en fct des coefficient....maigre consolation....

Groumpf, que voilà une réponse qui respire la mauvaise foi ^^
La "consolation" c'est l'utilisation des outils développés par Galois, pour, entre autres, le codage / conservation de données (typiquement : codes de Reed-Solomon pour lire les CD --excusez-vous du peu-- ou encore le RAID 5.1), le cryptage (ne serait-ce que le RSA), sans compter les multiples applications en maths. La dernière fois que j'ai fait du Galois (~10 ans), je bidouillais des fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann, et la simple implication "ma fonction à le bon ordre dans l'extension" + irréductibilité sauve des heures de travail (va donc faire un changement de coordonnées holomorphes sur une série entière, tu vas voir c'est fun).

Morphismes (du groupe) de Galois
Si tu veux juste utiliser explicitement le groupe de Galois, tu as déjà des utilisations bien pratiques pour les décompositions en éléments simples par exemple. Une fois que tu as passé quelques heures à trouver la partie polaire pour une racine donnée, tu peux utiliser explicitement le groupe de Galois et l'unicité de la DES pour trouver l'intégralité des parties polaires des autres racines du même facteur irréductible du dénominateur. C'est le même principe que la conjugaison dans [tex]\mathbb{C}[/tex], sauf que souvent le groupe de Galois a bien plus d'un seul élément (NB : je ne parle pas de DES sur [tex]\mathbb{C}[/tex], j'ai en tête des corps bien plus exotiques).

Pour la résolution d'équation par radicaux
Et si ce qui t'intéresse est uniquement la résolution d'équations par radicaux, bien sûr que ça marche, ça a été fait pour ! Si tu cherches une version "tout fait à la main", tu peux lire du F. Klein ou même du C.F. Gauss sur la cyclotomie constructible, tu y trouveras ton bonheur (attention, la terminologie moderne n'y apparaît pas, évidemment). C'est le cas groupe cyclique, avec juste l'utilisation des polynomes symétriques pour trouver les coefs des équations.
Pour ton exemple en particulier, Wikipedia. C'est le même principe que chez Gauss on utilise les polynomes symétriques / sommes de Newton pour obtenir les racines à partir des coefficients. Le processus s'itère lorsque tu as un groupe résoluble d'ordre quelconque, tu peux alors trouver une tour d'extensions de corps, avec à chaque étage de la tour des équations résolubles par radicaux qui expriment les générateurs de l'étage suivant par radicaux sur l'étage d'avant (et donc par récurrence, tout le monde s'exprime avec pleins de radicaux sur l'étage de base).

GK, qui n'a pas pu s'empêcher de réagir face à ce crime de lèse-Galois :P

Dernière modification par Groupoid Kid (01-10-2011 22:01:47)

pedestre · 03-10-2011 14:47:50

(suite)

Le corps de décomposition de [tex] X^3-3X+1[/tex]

C'est la plus petite (au sens de l'inclusion) extension du corps de base contenant toutes les racines de P. C'est évidemment une extension de [tex]\mathbb Q[\alpha][/tex]. Nous allons pour le déterminer devoir utiliser une propriété des polynômes [tex]X^3+pX+q[/tex]. Si [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] sont les 3 racines (complexes, non nécessairement distinctes), on a [tex][(\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)]^2=-4p^3-27 q^2[/tex] (ce nombre est désigné par discriminant du polynôme). Dans le cas de [tex]X^3-3X+1[/tex] on obtient [tex]81=9^2[/tex]. Par suite [tex](\alpha-\beta)(\beta-\gamma)(\gamma-\alpha)=9[/tex] ou [tex]-9[/tex] (et même 9 puisque [tex]\alpha<\beta<\gamma[/tex]). Donc [tex]\beta-\gamma=\dfrac{9}{(\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)}[/tex]. Or [tex](\alpha-\beta)(\gamma-\alpha)=(\beta+\gamma)\alpha-\beta\gamma-\alpha^2[/tex] et compte tenu des relations classiques entre coefficients et racines [tex]\alpha+\beta+\gamma=0,\;\alpha\,\beta\,\gamma=-1[/tex] on arrive à [tex]\beta-\gamma=\dfrac{9}{-2\alpha^2+\frac{1}{\alpha}}\;=\;\dfrac{9\alpha}{1-2\alpha^3}[/tex]. Puis comme [tex]\beta+\gamma=-\alpha[/tex], on obtient finalement
[tex]\beta=\dfrac{\alpha(4+\alpha^3)}{1-2\alpha^3}[/tex] et [tex]\gamma=\dfrac{\alpha(\alpha^3-5)}{1-2\alpha^3}[/tex]. Par suite [tex]\beta[/tex] et [tex]\gamma[/tex] appartiennent à [tex]\mathbb Q[\alpha][/tex] et le corps de décomposition de P coïncide avec le corps de rupture [tex]\mathbb Q[\alpha][/tex] .

Cette situation est évidemment assez exceptionnelle parmi les polynômes [tex]X^3+pX+q[/tex] puisqu'il n'y a en général aucune raison pour que le discriminant soit le carré d'un rationnel.

Le groupe de Galois du polynôme [tex]X^3-3X+1[/tex]

Comme on sait il s'agit du groupe des automorphismes du corps de décomposition laissant invariant chaque élément du corps de base. Son ordre est égal au degré du corps de décomposition relativement au corps de base, c'est à dire [tex]3[/tex] dans le cas présent (le corps de décomposition égal ici à [tex]\mathbb Q[\alpha][/tex], le degré de cette extension qui est la dimension de [tex]\mathbb Q[\alpha] [/tex] en tant qu'espace vectoriel sur [tex]\mathbb Q[/tex] est [tex]\;3 \;[/tex] puisque cet espace vectoriel admet comme base [tex](1,\alpha,\alpha^2)[/tex]).

Si [tex]\sigma[/tex] est un élément du groupe de Galois, on a [tex]P(\,\sigma(\alpha)\,)=\sigma(P(\alpha))=\sigma(0)=0[/tex]. Donc [tex]\sigma(\alpha)\,\in\,\{\alpha,\beta,\gamma\}[/tex].
Si [tex]\sigma(\alpha)=\alpha[/tex] il en résulte que [tex]\forall (a,b,c)\in \mathbb Q ^3\;\sigma(a\,\alpha^2+b\,\alpha+c)=a\,\alpha^2+b\,\alpha+c[/tex] et [tex]\sigma[/tex] est donc l'application identité, l'unité e du groupe. Outre e, il reste 2 possibilités : [tex]\sigma(\alpha)=\beta[/tex] (donc [tex]\sigma(a\,\alpha^2+b\,\alpha+c)=a\,\beta^2+b\,\beta+c[/tex]) et [tex]\sigma(\alpha)=\gamma[/tex] (donc [tex]\sigma(a\,\alpha^2+b\,\alpha+c)=a\,\gamma^2+b\,\gamma+c[/tex]). On retrouve bien l'ordre 3 pour le groupe.

Ce groupe à 3 éléments est isomorphe au groupe alterné [tex] A_3[/tex] cyclique, engendré par chacun des 2 éléments différents du neutre.

Bon j'arrête ici. Naturellement il n'a pas été donné de formule donnant les solutions par radicaux, tout au plus on voit comment calculer les racines dès qu'on connaît l'une d'elles (ici [tex]\alpha[/tex], mais on pourrait de manière semblable partir de [tex]\beta[/tex] ou [tex]\gamma[/tex]). Mais ce n'était nullement le but. En fait les équations du 3e degré à discriminant positif, ce qui est le cas ici, conduisent toujours à des calculs de racines cubiques de nombres non réels qu'on ne peut ramener à des racines de réels (c'est le cas dit « irréductible » de l'équation du 3e degré).

Je ne sais pas si tout cela peut apporter quelque réponse à la question qui a été posée (par imed), mais …

A titre de sucrerie, je signale, bien que ceci n'ait pas grand chose à voir avec ce qui précède, la méthode (de Viète) consistant ici à poser [tex]X=2 \cos u[/tex]. Par application de la formule [tex]\cos(3\theta)=4\cos^3\,\theta-3 \cos \theta[/tex] on obtient l'équation [tex]\cos(3u)=-\dfrac{1}{2}[/tex]. Comme il nous suffit d'avoir une racine on peut prendre [tex]u=\dfrac{1}{3} \mathrm{arcos}\left(-\frac{1}{2}\right)\,=\,\dfrac{2\pi}{9}\;[/tex] et on obtient la solution de l'équation [tex]2 \cos\,\dfrac{2\pi}{9}\;[/tex]. (il s'agit de la racine [tex]1,532...[/tex] que nous avons appelée [tex]\gamma[/tex]).
Comme signalé plus haut, on ne peut exprimer ces racines avec des radicaux portant sur des réels. Tout au plus peut-on remarquer que [tex]2\cos\,\dfrac{2\pi}{9}\;=\,e^{\frac{2i\pi}{9}}+e^{-\frac{2i\pi}{9}} [/tex], les 2 termes étant racines cubiques respectives de [tex]j[/tex] et [tex]j^2[/tex].

Pierre (pedestre)

Dernière modification par pedestre (08-10-2011 18:11:58)

SANE Casimir · 24-01-2024 01:50:56

Bonjour,s'il vous plaît aider moi avec cet exercice sur les groupes de Galois
On considère P=X⁴-3X-3
1) Montrer que P est irréductible sur Q
2) Montrer que la fonction qui à t associe P(t) s'annule exactement 2 fois sur IR. En déduire que P admet exactement deux racines réelles x ,y et deux racines complexes z et z barre.
3) Notons X²+aX+b et X²-aX+b' les polynômes unitaires de degrés 2 divisant P dans IR[X]
a) Montrer que a est racine de X⁶+12X-9
b) Déterminer [Q[a²]:Q]
4) On note L le corps de décomposition de P dans C ( espace des complexes)
Montrer que 12 divise [L:Q]
5) Montrer que A4 est l'unique sous groupe d'indice 2 de S4.
Montrer qu'il existe un Q-automorphisme de L échangeant z et z barre laissant invariant x.
7) Déduire des questions précédentes que Gal(L/Q) S4

Je suis bloqué à partir de la deuxième question en allant.
Merci de m'aider

Michel Coste · 24-01-2024 09:47:47

Bonjour,
Tu aurais dû ouvrir un nouveau fil plutôt que de squatter un ancien.
Tu n'arrives pas à résoudre la deuxième question ? Ça ne me paraît pourtant pas très difficile d'étudier la variation de $x\mapsto P(x)$ pour voir combien $P$ a de racines réelles.

yoshi · 24-01-2024 11:03:05

Bonjour,

Voilà Le lien pour ouvrir une nouvelle discussion : Nouvelle discussion

Ce lien n'est présent que 460 fois dans ce forum : ce n'est probablement vraiment pas assez !!!
Quoique... il y a peut-être un problème de méconnaissance du sens du verbe Répondre ?
Car, pour pouvoir poser TA question, il a bien fallu que
- soit tu cliques sur Répondre
- soit que tu écrives directement dans le cadre Réponse rapide

D'accord ?

Alors, ceci m'amène à LA question fondamentale :
As-tu l'impression que ton message constitue une réponse à imed, qui, lui, en 2011, avait trouvé le lien tout seul comme un grand ?....
Si oui, alors je suis d'autant plus inquiet que tu pensais répondre à une question posée en septembre 2011, il y a plus de... 12 ans !!

Je suis désolé pour Michel Coste, je ferme cette discussion : pour plus amples explications ou développements à propos de ton souci :
tu ouvres une Nouvelle discussion, tu choisis un titre et tu y fais un copier/coller de ton post (c'est pour t'épargner le travail de récrire ta question qu'elle est encore présente)
Ceci fait, je supprimerai ton message, et le mien.

Quant à la réponse de Michel Coste, je ferai en sorte qu'elle figure d'une façon ou d'une autre à la suite de ton message : ce ne sera pas très "propre", mais la responsabilité ne m'en incombera pas !

Ne perds pas de temps: tu as 48 h maximum pour réagir après quo, je ferai ce que j'ai dit.

Merci de ta compréhension.

Yoshi
- Modérateur -

yoshi · 26-01-2024 17:13:41

Bonsoir,

Pas intéressé ?
Vexé ?
Rappelle-toi : Tic tac tic tac...

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 26-09-2011 15:48:54

Théorie de Galois

#2 26-09-2011 20:30:49

Re : Théorie de Galois

#3 27-09-2011 09:26:36

Re : Théorie de Galois

#4 28-09-2011 11:51:49

Re : Théorie de Galois

#5 28-09-2011 12:12:29

Re : Théorie de Galois

#6 29-09-2011 15:00:31

Re : Théorie de Galois

#7 01-10-2011 19:44:28

Re : Théorie de Galois

#8 01-10-2011 21:58:09

Re : Théorie de Galois

#9 03-10-2011 14:47:50

Re : Théorie de Galois

#10 24-01-2024 01:50:56

Re : Théorie de Galois

#11 24-01-2024 09:47:47

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#12 24-01-2024 11:03:05

Re : Théorie de Galois

#13 26-01-2024 17:13:41

Re : Théorie de Galois

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